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1、一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分,三、小结 思考题,1、有理函数的定义：,有理函数：两个多项式的商表示的函数，即如下函数,一、有理函数的积分,真分式与假分式：假定分子与分母之间没有公因式,称这有理函数是真分式；,称这有理函数是假分式。,假分式分解：利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.,例,难点,将有理函数化为部分分式之和.,分母中若有因式，则分解后为,有理函数化为部分分式之和的一般规律：,特殊地：,分解后为,一、有理函数的积分,2、有理函数的分解：,分母中若有因式，其中，则分解后为,特殊地：,分解后为,待定系数法（真分式化为部分分式之和的方法）对未知的 因子用
2、假定的字母表示，然后运用恒等关系来求出假设字 母近而确定未知的因子。,一、有理函数的积分,分子为单字母因子,方法1：恒等式法,代入特殊值来确定系数,取,取,取,并将 值代入,方法2：特殊值法,一、有理函数的积分,例如,整理得,一、有理函数的积分,分子含两个字母二项因子,例1 求积分,解,一、有理函数的积分,3、有理真分式的积分,例2 求积分,解,一、有理函数的积分,例3 求积分,解,令,一、有理函数的积分,说明,将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：,多项式；,讨论积分,令,一、有理函数的积分,记,则,总之，这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数.,结论,有理函数的原函数都是初等函数
3、.,一、有理函数的积分,三角有理式的定义：,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数。一般记为,二、可化为有理函数的积分,1、三角有理式的积分,令,（万能置换公式）,三角有理式的积分：,例4 求积分,解,由万能置换公式,二、可化为有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分,例5 求积分,解（一）,二、可化为有理函数的积分,解(二),修改万能置换公式,令,二、可化为有理函数的积分,解(三),可以不用万能置换公式.,结论,比较以上三种解法，便知万能置换不一定是最佳方法，故三角有理式的计算中先考虑其它手段，不得已才用万能置换。,二、可化为有理函数的积分,例6 求积分,解,二、可化为有理函数的积分,
4、二、可化为有理函数的积分,讨论类型,解决方法,作代换去掉根号.,例7 求积分,解 令,2、简单无理函数的积分,二、可化为有理函数的积分,例8 求积分,解 令,说明,无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.,二、可化为有理函数的积分,例9 求积分,解,先对分母进行有理化,原式,二、可化为有理函数的积分,4.4 有理函数的积分,一、有理函数的积分,1、有理函数的定义,2、有理函数的分解,3、有理真分式的积分,二、可化为有理函数的积分,1、三角有理式的积分,2、简单无理函数的积分,三、小结,简单无理式的积分.,有理式分解成部分分式之和的积分.,（注意：必须化成真分式）,三角有理式的积分(万能置换公式).,（注意：万能公式并不万能）,思考题,练习：第218页 单号题。,将分式分解成部分分式之和时应注意什么？,作业：第218页 双号题。,思考题,将分式分解成部分分式之和时应注意什么？,思考题解答,分解后的部分分式必须是最简分式.,练习题,练习题答案,
