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1、,第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例,抓 基 础,明 考 向,提 能 力,教 你 一 招,我 来 演 练,第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入,备考方向要明了,2范围 向量夹角的范围是，a与b同向时，夹角0；a与b反向时，夹角.,0180,3向量垂直 如果向量a与b的夹角是，则a与b垂直，记作.,90,ab,180,二、平面向量数量积1a，b是两个非零向量，它们的夹角为，则数|a|b|cos叫做a与b的数量积，记作ab，即ab.规定0a0.当ab时，90，这时ab.,2ab的几何意义 ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 的 乘积,|a|b|cos,0,|b|cos,三、向量数
2、量积的性质1如果e是单位向量，则aeea,5|ab|a|b|.,4cosa，b.,3aa，|a|.,2ab.,|a|cosa，e,ab0,|a|2,四、数量积的运算律1交换律ab.,3对R，(ab),2分配律(ab)c.,ba,acbc,(a)b,a(b),五、数量积的坐标运算 设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则1ab.,a1b1a2b2,2ab.,3|a|.,4cosa，b.,a1b1a2b20,解析：|ab|a|b|cos|，只有a与b共线时，才有|ab|a|b|，可知B是错误的,答案：B,2(2011辽宁高考)已知向量a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，则k()A12 B6
3、C6 D12,答案：D,解析：2ab(4,2)(1，k)(5,2k)，由a(2ab)0，得(2,1)(5,2k)0102k0，解得k12.,答案：D,答案：4,5(2011安徽高考)已知向量a，b满足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，则a与b的夹角为_,1对两向量夹角的理解(1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向 量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角(2)两向量夹角的范围为0，特别当两向量共线且同 向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为.(3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意 两向量夹角的范围,2相关概念及运算的区别(1
4、)若a、b为实数，且ab0，则有a0或b0，但ab0 却不能得出a0或b0.(2)若a、b、cR，且a0，则由abac可得bc，但由ab ac及a0却不能推出bc.,(3)若a、b、cR，则a(bc)(ab)c(结合律)成立，但对于 向量a、b、c，而(ab)c与a(bc)一般是不相等的，向 量的数量积是不满足结合律的(4)若a、bR，则|ab|a|b|，但对于向量a、b，却有|ab|a|b|，等号当且仅当ab时成立,精析考题例1(2010广东高考)若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)满足条件(8ab)c30，则x()A6B5C4 D3,自主解答8ab8(1,1)(2,5)(6,3)
5、，所以(8ab)c(6,3)(3，x)30，即183x30，解得：x4.,答案C,答案6,巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！),答案：9,冲关锦囊,向量的数量积的运算律类似于多项式乘法法则，但并不是所有乘法法则都可以推广到向量数量积的运算，如(ab)ca(bc).,答案C,若本例条件不变，求为何值时，ab和ab的夹角为90？,例4(2011新课标全国卷)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量ab与向量kab垂直，则k_.,自主解答a与b是不共线的单位向量，|a|b|1.又kab与ab垂直，(ab)(kab)0，即ka2kababb20.k1kabab0.即k1kcos cos 0
6、.(为a与b的夹角)(k1)(1cos)0.又a与b不共线，cos 1，k1.,答案1,答案：B,4(2012郑州模拟)若向量a、b满足|a|b|1，且(a3b)(a5b)20，则向量a，b的夹角为()A30 B45C60 D90,答案：C,5(2012豫南九校联考)已知平面向量a，b满足|a|1，|b|2，a与b的夹角为60，则“m1”是“(amb)a”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件,解析：(amb)a，则(amb)a0，a2mab0.即1m12cos 600.m1.当m1时，(amb)a(ab)aa2ab1ab1|a|b|cos 600，(amb
7、)a.m1是“(amb)a”的充要条件,答案：C,冲关锦囊,1求两非零向量的夹角时要注意(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量 积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两 向量不能共线时两向量的夹角就是钝角2当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得ab及|a|，|b|或得出它们的关系.,答案C,巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！),答案：C,冲关锦囊,巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！),答案：A,冲关锦囊,向量与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识的“交汇处”的命题要求，又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平行、垂直、夹角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题,数学思想（九）数形结合思想在平面向量中的应用,题后悟道 解答本题首先根据已知画出图形，在图形中标出所给条件，结合图形进行数量积运算，这种题型在近几年高考中成为热点，数形结合思想就是将抽象的数学符号语言与直观的图形语言进行熟练转化，从而实现代数问题与图形问题之间的熟练转化，做到代数问题几何化、几何问题代数化,点击此图进入,
