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1、平面向量基本定理,必修系列,数学4,复习回顾,（1）小明从A到B，再从B到C，则他两次的位移之和是：,三角形法则,平行四边形法则,首尾相接，由首至尾,共起点 连对角,复习:共线向量基本定理：,向量 与向量 共线当且仅当有唯一一个实数 使得,(2)证明三点共线的问题:,定理的应用:,(1)有关向量共线问题:,(3)证明两直线平行的问题:,2011年11月3日1时43分，神舟八号与天宫一号第一次交会对接圆满成功，中国成为世界第三个独立掌握无人和载人空间对接技术的国家。承担“神舟八号”飞船和“天宫一号”目标飞行器发射任务的是“长征二号F”运载火箭。,v,v1,v2,v,问题情境,依照速度的分解，平面
2、内任一向量a可作怎样的分解呢？,给定平面内两个不共线的向量e1,e2,可表示平面内任一向量a吗？,O,C,A,B,M,N,活动探究,给定平面内两个不共线的向量e1,e2,可表示该平面内任一向量a吗？,O,C,A,B,M,N,活动探究,给定平面内两个不共线的向量e1,e2,可表示该平面内任一向量a吗？,想一想,（3）,C,再改变成如下情况，怎样构造平行四边形？,取,使,使,活动探究,重要结论,若,则,（）平面向量基本定理,存在性,唯一性,存在,有且只有,建构数学,一维直线,二维平面,思想有多远，就能走多远！,重要结论,若,则,2、基底不唯一，关键是不共线.,4、基底给定时，分解形式唯一.,说明：
3、1、把不共线的非零向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.,3、由定理可将任一向量 在给出基底 的条件下进行分解.,练习：下列说法是否正确？,1.在平面内只有一对基底.,2.在平面内有无数对基底.,3.零向量不可作为基底.,4.平面内不共线的任意一 对向量,都可作为基底.,想一想,（1）一个平面内，可作为基底的向量有 对。,无数,(1)(3),数学应用,因为平行四边形的对角线互相平分,例1,数学应用,例2,课堂练习,(2),课堂练习,课堂练习,B,E,练习,请大家在图中确一组基底，将其它向量用这组基底表示出来,已知梯形ABCD，AB/CD，且AB=2DC，M、N分别是DC，AB的中点,二、
4、向量的夹角:,两个非零向量，,和 的夹角,夹角的范围：,注意:同起点,叫做向量,注意:同起点,O,一个重要结论,结论：,你发现了什么？,三、平面向量的坐标表示,思考？在平面里直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（它的坐标）表示。对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？,2.2.3平面向量的正交分解及坐标表示.,向量的正交分解,物理背景:,三、平面向量的坐标表示,y,O,x,我们把(x,y)叫做向量 的(直角)坐标，记作,其中，x叫做 在x轴上的坐标，y叫做 在y轴上的坐标，(x,y)叫做向量的坐标表示.,正交单位基底,i,j为单位向量,O,x,y,A,当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标
5、就是向量终点的坐标.,坐标(x,y),两个向量相等，利用坐标如何表示？,向量,三、平面向量的坐标表示,解：,j,y,x,O,i,a,A1,A,A2,B,例：,数量看投影 符号看方向,平面向量的坐标运算,平面向量的坐标运算,1.已知a，b，求a+b，a-b，a,解：a+b=(i+j)+(i+j),=（+)i+（+)j,两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差,2.3.3平面向量的坐标运算,解：,一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标,实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相应坐标,思 考,1.两个向量共线的条件是什么?2.如何用坐标表示两个共线向量?
6、,推导过程：,推导过程：,推导过程：,推导过程：,推导过程：,探究：,探究：,探究：,探究：,探究：,讲解范例,例2.已知A(1,1)，B(1,3)，C(2,5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.,讲解范例,2.3.3 平面向量的坐标运算,例2已知a=（2，1），b=（-3，4），求a+b，a-b，3a+4b的坐标,a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；,3a+4b=3（2，1）+4（-3，4）=（6，3）+（-12，16）=（-6，19）,2.3.3 平面向量的坐标运算,例3已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（2，1）、（1，3）、（3，4），求顶点D的坐标,解：设顶点D的坐标为（x，y）,小结,1.平面向量基本定理:,2.向量的夹角:,3.平面向量的坐标表示:,4.一个重要结论:,5.平面向量的坐标运算,谢谢大家,
