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1、补充：函数一致连续的概念,设函数f(x)在区间 I 上连续，,或：对于 0,0，当|x-x0|时，有|f(x)-f(x0)|。(*),问题 给定一个 0，是否可找到满足（*）式一个最小的，对 I 中的一切x0点都适合？,0，要找对一切 x00.1,1都适用的。从主要不等式,定义 设f(x)在区间 I 上连续，若 0,0（仅与有关，与x0无关），对于 I 上任意二点x,x，只要|x-x|，就有|f(x)-f(x)|，此时称 f(x)在 I 上一致连续。,注 1）非一致连续函数的分析描述对于某一 0，对于任意的0，总可以找到区间 I 中的两点 x,x，虽然|x-x|，但是|f(x)-f(x)|例：
2、1/x,x(0，1.,2）一致连续的几何意义,一致连续函数 只要自变量|x-x|，则函数值|f(x)-f(x)|。,作一个管子如图,几何意义 存在这样的一个管子，可以在一致连续函数曲线上平行移动。,3）通常函数在区间上非一致连续的现象只可能出现在区间的端点上、间断点的附近（图形有无限陡峭的情况）。,康托定理(Cantor)若f(x)在a，b上连续，则 f(x)在a，b 上一致连续。,证明：反证法,假设f(x)在a，b上不一致连续，即：对某一 0 0，对一切,xna，b，xna，b(n=1,2,)，xn，xn是二个有界无穷数列，,“有界无穷数列定存在收敛的子数列”,取xn的一串子列，随之挑出xn
3、的子列.利用两个子列的关系,有,二边取极限，有|f(x0)-f(x0)|0，矛盾！,f(x)在a，b上一致连续。,举例：,1.证明 f(x)=sin(/x)在（0，1）上连续有界的，但非一致连续。,证：命题的前一部分是显然的。现证它并不一致连续。,，只要n充分大，无论 怎样小，,f(x)在(0，1)上非一致连续。,xn 与xn 可以非常靠近,2.函数 f(x)=x2在下列区间中是否为一致连续。,a)（-l，l），l是一正数；b)在（，+）上。,f(x)在（-l，l）上一致连续。,取=2，当x1-x2 时，有f(x1)-f(x2)。,故f(x)在(，+)上非一致连续。,b)0，无论x，x 如何接近，总可以取充分大的 x，x,使 x+x x-x，,
