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1、浙江师范大学数理与信息工程学院 计算机图形学,第二章 直线、圆、椭圆生成算法,图形的扫描转换(光栅化)：确定像素、显示图形的过程。步骤如下：确定像素用图形属性，对像素进行写操作一维图形，用一个像素宽的直线来显示图形二维图形的光栅化，即区域的填充：确定像素，填色或图案。图形的光栅化，必须显示在窗口内，否则不予显示。确定图形的哪些部分在窗口内，哪些在窗口外，即裁剪,浙江师范大学数理与信息工程学院 计算机图形学,图形显示前需要：扫描转换+裁剪裁剪-扫描转换：最常用，节约计算时间。扫描转换-裁剪：算法简单；,浙江师范大学数理与信息工程学院 计算机图形学,本章内容,直线的生成算法圆的生成算法区域填充算法
2、字符的生成图形求交图形裁剪,浙江师范大学数理与信息工程学院 计算机图形学,直线的生成算法,确定最佳逼近该直线的一组象素，并且按扫描线顺序，对这些象素进行写操作三个常用算法：数字微分法(DDA)中点画线法Bresenham算法,浙江师范大学数理与信息工程学院 计算机图形学,数字微分法(),假定直线的起点、终点分别为：（xa,ya),(xb,yb)，则斜率m为：m=(yb-ya)/(xb-xa)=dy/dx,(x i,yi),(x i+1,yi+k),(x i,int(yi+0.5),栅格交点表示象素点位置,。,。,。,。,浙江师范大学数理与信息工程学院 计算机图形学,数值微分(DDA)法,基本思
3、想直线的起点和终点分别为(xa,ya),(xb,yb)，斜率m为：m=(yb-ya)/(xb-xa)=dy/dx直线中每个点坐标由前一点坐标加增量(Dx,Dy)而得到 xi+1=xi+Dx 其中x1=xa yi+1=yi+Dy y1=ya 并且 Dy=mDx,浙江师范大学数理与信息工程学院 计算机图形学,数值微分(DDA)法,直线方向的8个象限 在1a取Dx=1,Dy=m;在1b取Dx=1/m,Dy=1;得到 象限|dx|dy|?Dx Dy 象限|dx|dy|?Dx Dy 1a true 1 m 3a true-1-m 1b false 1/m 1 3b false-1/m-1 2a true
4、-1 m 4a true 1-m 2b false-1/m 1 4b true 1/m-1,浙江师范大学数理与信息工程学院 计算机图形学,数值微分(DDA)法,二个规律(1)|dx|dy|时，|Dx|=1,|Dy|=m|dx|dy|时，|Dx|=1/m,|Dy|=1(2)Dx、Dy的符号与dx、dy的符号相同增量算法：在迭代算法中，如果每一步的x、y值是用前一步的值加上增量来获得，则称为增量算法DDA算法就是一个增量算法,浙江师范大学数理与信息工程学院 计算机图形学,数值微分(DDA)法,#include stdio.h#include graphics.hvoid dda_line(int
5、xa,int ya,int xb,int yb,int c);void main()int driver=DETECT,mode;int x0,y0,x1,y1,background=WHITE,color=RED;scanf(%d,%d,%d,%d,浙江师范大学数理与信息工程学院 计算机图形学,数值微分(DDA)法,void dda_line(int xa,int ya,int xb,int yb,int c)float delta_x,delta_y,x,y;int dx,dy,steps,k;dx=xb-xa;dy=yb-ya;if(abs(dx)abs(dy)steps=abs(dx)
6、;else steps=abs(dy);delta_x=(float)dx/(float)steps;delta_y=(float)dy/(float)steps;x=xa;y=ya;putpixel(x,y,c);for(k=1;k=steps;k+)x+=delta_x;y+=delta_y;putpixel(x,y,c);,浙江师范大学数理与信息工程学院 计算机图形学,Bresenham画线算法,由DDA算法可知：yi+1=yi+m。由于m不一定是整数，由此式求出的yi也不一定是整数本算法于1965年由Bresenham提出在直线生成的算法中，Bresenham算法是最有效的算法之一令
7、m=y/x，就0m1的情况来说明Bresenham算法,浙江师范大学数理与信息工程学院 计算机图形学,Bresenham画线算法,设直线从起点(xa,ya)到终点(xb,yb)。直线可表示为方程y=mx+b，其中b=y1-mx1,x1=xa,y1=yam=(yb-ya)/(xb-xa)=dy/dx,浙江师范大学数理与信息工程学院 计算机图形学,Bresenham画线算法,设(xi,yi)表示直线上当前点A，B是理想直线上的点，下一个表示直线的点到底取图中的C点还是D点，即当xi+1=xi+1时，yi+1取yi+1还是yi?选择的原则取决于y与yi及yi+1的距离d1与d2。,xi,xi+1,y
8、i,yi+1,C,D,B,y=m(xi+1)+b d1=y-yi d2=yi+1-y如果d1-d20,yi+1取D(yi+1)，否则取C(yi)。因此算法的关键在于求出d1-d2的符号。d1-d2=(y-yi)-(yi+1-y)=2y-2yi-1=2dy/dx(xi+1)-2yi+2b1,A,d1,d2,浙江师范大学数理与信息工程学院 计算机图形学,Bresenham画线算法,取Pi=(d1-d2)dx,经整理，得 Pi=2xidy-2yidx+2dy+(2b-1)dx 由于在1a象限，有dx0，故Pi仍可以用来判断符号求递推公式 Pi+1=2xi+1dy-2yi+1dx+2dy+(2b-1)
9、dx=2xidy+2dy-2yi+1dx+2yidx-2yidx+2dy+(2b-1)dx=Pi+2dy-2(yi+1-yi)dx 即求得 Pi+1=Pi+2dy-2(yi+1-yi)dx求初值 Pi中代入x1和y1，得初值 P1=2dy-dx,浙江师范大学数理与信息工程学院 计算机图形学,Bresenham画线算法,算法思想 1.画点(x1,y1),dx=xb-xa,dy=yb-ya,计算P1=2dy-dx,i=1;2.xi+1=xi+1,如果Pi0，则 yi+1=yi,Pi+1=Pi+2dy；否则 yi+1=yi+1，Pi+1=Pi+2dy-2dx；3.画点(xi+1,yi+1);4.i=
10、i+1,如果idx+1,转2；否则结束优点 1.不必计算斜率，无除法 2.不用浮点数，只用整数 3.只做整数加/减运算，乘2运算可用移位实现,浙江师范大学数理与信息工程学院 计算机图形学,程序如下：BresenhamLine(int xa,int ya,int xb,int yb,int color)int x,y,dx,dy,p,i;putpixel(xa,ya,color);dx=xb-xa;dy=yb-ya;p=2*dy-dx;x=xa;y=ya;putpixel(x,y,color);for(i=2;i=dx;i+)if(p0)y+;p=p+2*dy;else p=p+2*dy-2*d
11、x;x+;putpixel(x,y,color);,Bresenham画线算法,浙江师范大学数理与信息工程学院 计算机图形学,直角坐标法,给定圆心坐标(xc,yc)和半径r,则当x-xc从-r到r加1递增时，可得相应的y值。缺点：浮点运算、开方、取整、不均匀,浙江师范大学数理与信息工程学院 计算机图形学,极坐标法,x=x0+Rcos y=y0+Rsin dx=-Rsind dy=Rcosd xn+1=x n+dx=x n-Rsind x n-(y n-y 0)d y n+1=y n+dy=y n+Rcosd y n+(x n-x 0)d 显然，确定x,y的初值及d值后，即可以增量方式获得圆周上
12、的坐标，然后取整可得象素坐标 缺点：浮点运算、乘法运算、取整运算,浙江师范大学数理与信息工程学院 计算机图形学,Bresenham画圆算法,下面仅以圆心为(xc,yc)、半径R为整数的圆为例，讨论圆的生成算法 设圆的半径为r，考虑圆心在(0,0)，并从x=0、y=r开始的顺时针方向的1/8圆周的生成过程 如图中的点Pi是已选中的一个表示圆弧上的点，根据弧AB的走向，下一个点应该选择H或者L。显然应选离AB最近的点作为显示弧AB的点,Pi,H,L,A,B,xi xi+1,yiyyi-1,浙江师范大学数理与信息工程学院 计算机图形学,Bresenham画圆算法,y2=r2-(xi+1)2 d1=y
13、i2-y2=yi2-r2+(xi+1)2 d2=y2-(yi-1)2=r2-(xi+1)2-(yi-1)2令判别式为pi=d1-d2，并代入d1、d2，则有 pi=2(xi+1)2+yi2+(yi-1)2-2r2pi的递归式为 pi+1=2(xi+1+1)2+yi+12+(yi+1-1)2-2r2=2(xi+1+1)2+yi+12+(yi+1-1)2-2r2=pi+4xi+6+2(yi+12-yi2)2(yi+1-yi),yiyyi-1,xi xi+1,A,B,浙江师范大学数理与信息工程学院 计算机图形学,Bresenham画圆算法,pi+1=pi+4xi+6+2(yi+12-yi2)2(yi
14、+1-yi)如果pi0,则pi+1=pi+4xi+6,xi+1=xi+1,yi+1=yi 如果pi0,则pi+1=pi+4xi+6+2(yi+1-yi)(yi+1+yi-1)=pi+4xi+6-2(2yi-2)=pi+4(xi-yi)+10 xi+1=xi+1,yi+1=yi-1,在pi中代入xi=0，yi=r，得到pi的初值p0 p0=2(0+1)2+r2+(r-1)2-2r2=3-2r,Pi,Hi,Li,浙江师范大学数理与信息工程学院 计算机图形学,Bresenham画圆算法,circle(int xc,int yc,int r,int c)int x,y,p;x=0;y=r;p=3 2*
15、r;while(xy)plot-circle-point(xc,yc,x,y,c);if(p0)p=p+4*x+6;else p=p+4*(x-y)+10;y-=1;x+=1;if(x=y)plot-circle-point(xc,yc,x,y,c);,浙江师范大学数理与信息工程学院 计算机图形学,原理：,设圆的方程为X2+Y2-R2=0;记 F(x,y)=X2+Y2-R2;假设求得Pi的坐标为(xi,yi)；则当Pi在圆内时-F(xi,yi)向右-向圆外 Pi在圆外时-F(xi,yi)0-向下-向圆内,生成圆弧的正负法,浙江师范大学数理与信息工程学院 计算机图形学,生成圆弧的正负法,即求得P
16、i点后选择下一个象素点Pi+1的规则为：当F(xi,yi)0 取xi+1=xi+1，yi+1=yi;当F(xi,yi)0 取xi+1=xi，yi+1=yi-1;这样用于表示圆弧的点均在圆弧附近，且使F(xi,yi)时正时负，故称正负法。快速计算的关键是F(xi,yi)的计算，能否采用增量算法？,浙江师范大学数理与信息工程学院 计算机图形学,生成圆弧的正负法,若F(xi,yi)已知，计算F(xi+1,yi+1)可分两种情况：1、F(xi,yi)0 xi+1=xi+1，yi+1=yi;F(xi+1,yi+1)=(xi+1)2+(yi+1)2-R2=(xi+1)2+yi2-R2=F(xi,yi)+2
17、xi+1 2、F(xi,yi)0 xi+1=xi，yi+1=yi-1;F(xi+1,yi+1)=(xi+1)2+(yi+1)2-R2=xi2+(yi 1)2-R2=F(xi,yi)-2yi+1 3、初始值：F(0,r)=02+r2-r2=0,浙江师范大学数理与信息工程学院 计算机图形学,生成圆弧的多边形逼近法,?圆的内接正多边形迫近法?圆的等面积正多边形迫近法,浙江师范大学数理与信息工程学院 计算机图形学,圆的内接正多边形逼近法,思想：当一个正多边形的边数足够多时，该多边形可以和圆无限接近。即因此，在允许的误差范围内，可以用正多边形代替圆。设内接正n边形的顶点为Pi(xi,yi),Pi的幅角为
18、i,每一条边对应的圆心角为，则有xi=Rcos i yi=Rsin i,浙江师范大学数理与信息工程学院 计算机图形学,圆的内接正多边形逼近法,内接正n边形代替圆计算多边形各顶点的递推公式 xi+1 Rcos(+i)=yi+1 Rsin(+i)xi+1 cos-sin xi=yi+1 sin cos yi 因为:是常数，sin，cos只在开始时计算一次所以，一个顶点只需4次乘法，共4n次乘法，外加直线段的中点算法的计算量。,浙江师范大学数理与信息工程学院 计算机图形学,圆的等面积正多边形逼近法,当用内接正多边形逼近圆时，其面积要小于圆的面积；而当用圆的外切正多边形逼近圆时，其面积则要大于圆的面积
19、。为了使近似代替圆的正多边形和圆之间在面积上相等，只有使该正多边形和圆弧相交，称之为圆的等面积正多边形。,浙江师范大学数理与信息工程学院 计算机图形学,圆的等面积正多边形逼近法,步骤：求多边形径长，从而求所有顶点坐标值由逼近误差值，确定边所对应的圆心角,浙江师范大学数理与信息工程学院 计算机图形学,椭圆的扫描转换,椭圆方程 x2/a2+y2/b2=1F(x,y)=b2x2+a2y2-a2b2椭圆的对称性，只考虑第一象限椭圆弧生成，分上下两部分，以切线斜率为-1的点作为分界点椭圆上一点(x,y)处的法向：N(x,y)=(F)x+(F)y=2b2 x+2a2 y,浙江师范大学数理与信息工程学院 计
20、算机图形学,在上半部分,法向量的y分量大在下半部分,法向量的x分量大,上半部分,下半部分,法向量两分量相等,M1,M2,在上半部分的当前中点，法向量(2b2(xp+1)，2a2(yp-0.5)的y分量比x分量大，即：b2(xp+1)a2(yp-0.5)而在下一个中点，不等式改变方向，则说明椭圆弧从上部分转入下部分,浙江师范大学数理与信息工程学院 计算机图形学,椭圆的中点画法,与圆弧中点算法类似：确定一个象素后，接着在两个候选象素的中点计算判别式的值，由判别式的符号确定更近的点 先讨论椭圆弧的上部分设(xp,yp)已确定，则下一待选像素的中点是(xp+1,yp-0.5)，其相应的判别式为d1=F
21、(xp+1,yp-0.5)=b2(xp+1)2+a2(yp-0.5)2-a2b2,浙江师范大学数理与信息工程学院 计算机图形学,根据d1的符号来决定下一像素是取正右方的那个，还是右下方的那个。若d10，中点在椭圆内，取正右方象素，判别式更新为：d1=F(xp+2,yp-0.5)=d1+b2(2xp+3)d1的增量为b2(2xp+3)当d10，中点在椭圆外，取右下方象素，更新判别式：d1=F(xp+2,yp-1.5)=d1+b2(2xp+3)+a2(-2yp+2)d1的增量为b2(2xp+3)+a2(-2yp+2)d1的初始条件：椭圆弧起点为(0，b)；第一个中点为(1,b-0.5)，初始判别式
22、：d1=F(1,b-0.5)=b*b+a*a(-b+0.25),浙江师范大学数理与信息工程学院 计算机图形学,转入下一部分。下一象素是正下方或右下方。下部分的中点判别式及其初始化d2 d2=F(xp+0.5,yp-1)=b2(xp+0.5)2+a2(yp-1)2-a2b2若d2=0,中点在椭圆外，取正下方像素，d2=F(xp+0.5,yp-2)=d2+a2(-2yp+3)下半部分弧的终止条件为 y=0,浙江师范大学数理与信息工程学院 计算机图形学,程序：MidpointEllipse(a,b,color)int a,b,color;int x,y;float d1,d2;x=0;y=b;d1=b*b+a*a*(-b+0.25);putpixel(x,y,color);while(b*b*(x+1)0)if(d2 0)d2+=b*b*(2*x+2)+a*a*(-2*y+3);x+;y-;else d2+=a*a*(-2*y+3);y-;putpixel(x,y,color);/上部分,
