《1、曲线拟合及其应用综述;.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1、曲线拟合及其应用综述;.docx（13页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、曲线拟合及其应用综述摘要：本文首先分析了曲线拟合方法的背景及在各个领域中的应用，然后详 细介绍了曲线拟合方法的基本原理及实现方法，并结合一个具体实例，分析了曲线 拟合方法在柴油机故障诊断中的应用，最后对全文内容进行了总结，并对曲线拟合 方法的发展进行了思考和展望。关键词：曲线拟合最小二乘法 故障模式识别柴油机故障诊断1背景及应用在科学技术的许多领域中，常常需要根据实际测试所得到的一系列数据，求 出它们的函数关系。理论上讲，可以根据插值原则构造n次多项式Pn(x)，使得 Pn(x)在各测试点的数据正好通过实测点。可是，在一般情况下，我们为了尽量反 映实际情况而采集了很多样点，造成了插值多项式Pn
2、(x)的次数很高，这不仅增大 了计算量，而且影响了函数的逼近程度；再就是由于插值多项式经过每一实测样 点，这样就会保留测量误差，从而影响逼近函数的精度，不易反映实际的函数关 系。因此，我们一般根据已知实际测试样点，找出被测试量之间的函数关系，使得 找出的近似函数曲线能够充分反映实际测试量之间的关系，这就是曲线拟合。曲线拟合技术在图像处理、逆向工程、计算机辅助设计以及测试数据的处理 显示及故障模式诊断等领域中都得到了广泛的应用。2基本原理2.1曲线拟合的定义解决曲线拟合问题常用的方法有很多，总体上可以分为两大类：一类是有理 论模型的曲线拟合，也就是由与数据的背景资料规律相适应的解析表达式约束的曲
3、 线拟合；另一类是无理论模型的曲线拟合，也就是由几何方法或神经网络的拓扑 结构确定数据关系的曲线拟合。2.2曲线拟合的方法解决曲线拟合问题常用的方法有很多，总体上可以分为两大类：一类是有理 论模型的曲线拟合，也就是由与数据的背景资料规律相适应的解析表达式约束的曲 线拟合；另一类是无理论模型的曲线拟合，也就是由几何方法或神经网络的拓扑 结构确定数据关系的曲线拟合。2.2.1有理论模型的曲线拟合有理论模型的曲线拟合适用于处理有一定背景资料、规律性较强的拟合问 题。通过实验或者观测得到的数据对(xi,yi)(电况)(i=1,2,n)，可以用与背景资料规律相适应的解析表达式y=f(x,c)y =0来反
4、映乂、y之间的依赖关系，y =0y=f(x,c)称为拟合的理论模型，式中c=c0,c1,cn是待定参数。当C-c在ff中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。有许多衡量拟合优度的标 准，最常用的方法是最小二乘法。2.2.1.1线性模型的曲线拟合线性模型中与背景资料相适应的解析表达式为：(1)式中，Ed81B0,B1未知参数， e 服从 N(0,o2)。n个实验点分别带入表达式（1）得到:yt =A-*-Axj 十与(2)式中i=1,2,nn，e1, e2,，en相互独立并且服从N（0,o2）。根据最小二乘原理，拟合得到的参数应使曲线与试验点之间的误差的平方和 达到最小，也就是使如下的目
5、标函数达到最小：J 二 成-仇）一- E亨1=1（3）J =器曲- 住-气将试验点数据点入之后，求目标函数的最大值问题就变成了求取使目标函数对待求 参数的偏导数为零时的参数值问题，即：(4)从而，就能唯一地确定参数B0,电BiB1的值完成了曲线的最小二乘拟合。2.2.1.2非线性模型的曲线拟合非线性模型的问题一般比线性问题的处理要复杂，模型也分为两类。一类是 能通过某些数学变换使待求参数以线性形式出现的，一般优先对其进行线性变换将 问题转换，这种称为伪线性最小二乘问题；另一类是无法将待求参数线性化的问 题，则必须采用较复杂的非线性问题处理方法。对于第一类问题，其典型代表是多项式模型，设多项式函
6、数为f(x)二 +ax+ a2x2 + . + amxm（6）f(x) =-也或我们令xm=xm，则解析式变为/W=%+6呵+辛十十%阳（7）此时试验点数据为（xi1,xi2,xim, yi ），将试验点数据代入解析式得:六电=%十咕十%十十勺场(8)式中i=1,2,，n。此时的目标函数为(9)为使目标函数得到最小值，需使其对各待求参数的偏导数等于零，即（10）由此便可求得各参数的唯一值，从而完成了曲线的最小二乘拟合。类似的可以进行线性化的常用曲线如下表所示:对于第二类不能直接线性化的问题，通常要借助求解非线性方程组，通过最 优化方法求得所需参数。最常用的最优化方法有：单纯形下山法、拟牛顿法以
7、及Marquadst算法。另外，遗传算法（GA ）、免疫算法（IA ）的研究也为曲线拟合中 的优化问题提供了新的思路。2.2.2无理论模型的曲线拟合无理论模型的曲线拟合通常用于工程当中规律性差、理论模型难以确定或者 根本不需要理论模型的问题的处理。这种情况下一般采用几何方法或神经网络方法 实现曲线拟合。2.2.2.1曲线拟合的圆弧法圆弧拟合是一种描绘通过观测点（型值点）的几何拟合方法。它用分段圆弧代替曲线，并且使相邻两个圆弧有公共切线。这种方法归结为以下三种情况:a.已知圆O和圆外两点A1 、A2,求圆P ，使它通过A1 、A2,并且与圆O相切（外切或内切）。b.已知圆O 和圆外一点A2，求圆
8、P,使它通过A2,并且和圆Oc.已知圆O1和圆O202,求圆P,使它和圆O2相切，且与圆O1切于定点AA。根据上述三种情况可以确定圆的圆心坐标、半径以及切点，从而唯一的确定 拟合曲线。对于常规的已知实验数据点求拟合曲线问题，圆弧拟合法的示意图如图1所示。分别对试验点连线P1P2P1P:和 P2P3p2ps做垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为第一段圆弧的圆心，第一段圆弧过前三 个试验点，以后的每个试验点的圆弧拟合方法以第q个试验点PqPg为例进行说明。先做第q个试验点与第q-1个试验点连线Pq-1PqPq-lPq的垂直平分线，它与第q-1个试验点所在前一段拟合曲线的过第q-1个试验点的半 径或
9、者半径的延长线的交点，即为第q个试验点所在拟合圆弧的圆心，确定了圆 心，便可作出经过该试验点的拟合圆弧。依此对每个试验点使用此法，便可实现对 所有试验点的圆弧曲线拟合。图1可转化为线性式的曲线类型2.2.2.1曲线拟合的神经网络法如果将人工神经网络的每个结点看成是一个基本函数，则人工神经网络实质 上就相当于基本函数族网络（如图2所示），它们在相应的权值3i作用下，生成网络函数Y,可以将其看成是泛化了的曲线模型。图2人工神经网络简图针对曲线拟合的问题，激活函数应该是连续的、非线性的（对非线性拟合问题 而言）。应用最普遍的是Sigmoid函数，其表达式为钢二 UCL + L）蠢斗镇L）（11）式中
10、，c为任意常数。而网络结构的选择一般要根据实验数据的形式确定， 前馈型神经网络是最常用的网络结构。具体地，如果是单条曲线的拟合，网络结构 应该是单输入单输出的；如果是多对曲线的并行拟合，还存在单输入多输出与多输 入多输出的网络结构。常用的神经网络拟合模型有BP网络、径基函数（RBF）神经网络等，这里不 再详细叙述。3曲线拟合的应用3.1运用曲线拟合法进行故障诊断的方法曲线拟合方法在设备故障诊断方面有着广泛的应用。在故障诊断中，需要根 据已知的测试数据找出相应函数的系数。对于每一种故障状态，提取所采集的多组 信号的多个特征参数，求每组特征参数的平均值，然后分别将不同的特征参数的平 均值作为拟合曲
11、线的纵坐标，即：7 =多，叫，上(12)同时取自然数横坐标x = 1.2, njc = I, 2,，占(13)然后运用最小二乘法进行多项式曲线拟合，求出拟合系数，这样便可以得到 不同故障状态下的多项式拟合系数模式M。设对于第k个模式Mk对应的多项式拟合系数ank,an-1k,a2k,a1k (n为 拟合多项式的阶数)，则有：。甘 |，qM 2 可 |，w席1 II III I这样对于每一种模式即可根据采集的大量实验数据求出对应的拟合系数。对于故障模式的一组信号求出其特征参数的拟合系数bn,bn-1,b2,b1 眼_1吨加,定义故障模式与已知模式的距离为：M =（酢一九）一 妃|） + . +
12、（* 九）- 金=（口； 一如尸+ S妇）2 +4 =（丈-如）（忒L 妃H浦 f ）（15）若 di二min（d1,d2,，dk）d. = min （dL, d2l 垃，则可以判断待检故障模式属于第i类故障模式.、3.2运用曲线拟合法进行故障诊断的实例由上述理论叙述可以知道，运用曲线拟合方法进行故障诊断可分为建立标准 故障模式、分析待检信号、故障判断三个步骤进行。现以柴油机故障诊断为例进行 分析。3.2.1建立标准故障模式实验时首先从柴油机表面振动信号中提取各种预设工作状态的时域特征参 数，绘制各状态的时域特征参数拟合曲线，计算各状态的拟合多项式系数，建立标 准故障模式；对柴油机取六种工作状
13、态，每种工作状态取五个时域特征参数，建立 标准故障模式。所选状态及参数如表2所示。表2时域中标准故障时各状态特征参数波形指标S峰值指标C脉冲指标I裕度指标L峭度指标KVa正常状态1.48735.12787.68529.712613.1796b第一缸喷油压力过大1.54696.12689.526312.338513.0475c第一缸喷油压力过小1.49686.04177.75869.70269.8014d第一缸进气门漏气1.52876.04179.206311.744912.7749e第一缸气门间隙过大1.48595.22517.823310.04009.1055f供油提前角提前5- 601.1
14、4584.12875.55876.80115.2104用Matlab采用最小二乘法绘制各个状态下的拟合曲线如下图所示:图3标准故障模式的拟合曲线 计算各状态下的拟合多项式系数，计算结果如下：Ma = 0.0533-0.42920.6919 3.7650 - 2.5785；Mb= -0.07930.8752-3.843211.1812 -6.6093；Mc = -0.0663 0.7375-3.32949.5310-5.3948；Md = -0.0604 0.7112 -3.4209 10.7087 -6.4271；Me = - 0.1328 1.4257 -5.7811 13.1072-7.1706；
