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1、高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用 系 专业 班 姓名 学号 3.1 微分中值定理一选择题1 在区间上，下列函数满足罗尔中值定理的是 A (A) （B） （C） （D）2 若在内可导,、是内任意两点，且，则至少存在一点，使得 C （A） （）； （B） （）；（C） （）；（D） （）3下列函数在给定区间上不满足拉格朗日定理条件的有 B （A）, （B）, （C）, 0,1 （D）,4设，是恒大于零的可导函数，且，则当时，有 A （A） （B）（C） （D）二填空题1 对函数在区间上应用拉格朗日定理时,所求的拉格朗日定理结论中的，总是等于 2 若在上连续，在内可导,则至少存在一点
2、,使得 成立3设,则有 3 个根,它们分别位于区间 （0,1）; (1,2); (2,3) 内.三证明题1 当，试证：证：令， 可知 在连续，在上可导由拉格朗日定理可知，存在 使得 又， 所以 ， 且 ， 即 。 得证2 证明： 证明：令 则在上可导，且 所以，（c为常数）， 又， 故3 证明方程只有一个正根.证: 令，则在上连续，且 由闭区间上连续函数的性质可知，存在 ，使得。即有一正根。 又假设另有一个正根, 则，（不妨设）， 而在上连续，在可导，所以由罗尔定理可知，存在， 使得，但 矛盾，假设不能成立。所以。高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用 系 专业 班 姓名 学号 3.
3、2 洛比达法则一 填空题1 2 2 3= 4= 15= 6 7下列极限能够使用洛必达法则的是 C ：（A）； （B） ； （C）； （D）的值， 二、判断题：（正确的括号内打“”，错误的在括号内打“”）1（不存在） 2 三 计算题1 2 3 4 5 6 解: 令, 则 所以 7 8（见下一页）解: 令, 则所以 8解: 设， 则 ， 所以，高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用 系 专业 班 姓名 学号 3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性一 填空题1函数在区间 内单调减少, 在区间 内单调增加2在区间 内单润减少，在区间 内单调增加3函数的单调增区间是 R 。4函数在区间 内单调减少
4、, 在区间 内单调增加5曲线的凸(向上凸)区间是_，凹(向下凸)区间是 .6若曲线在处有拐点，则与应满足关系 。7.当 , ， 时, 点为曲线的拐点。二 选择题1. 曲线在区间内 B （A）凹且单调增加 （B）凹且单调减少 （C）凸且单调增加 （D）凸且单调减少2若二阶可导，且，又时，则在内曲线 C （A）单调下降，曲线是凸的 （B）单调下降，曲线是凹的（C）单调上升，曲线是凸的 （D）单调上升，曲线是凹的3条件是的图形在点处有拐点的( D )条件（A）必要条件 （B）充分条件 （C）充分必要条件 （D）以上都不是4设函数连续，且，则存在，使得 C （A）在内单调增加 （B）在内单调减少（C）
5、对任意的有 （D）对任意的有5曲线的拐点个数为 C (A) 0 （B）1 （C）2 （D）3三讨论方程在区间内有几个根？ 解：设0，则在 0, 1上连续.又 , 故由闭区间上连续函数的性质可知存在 即在至少有一个根。 又当时, 所以在(0, 1)单调减少, 即在至多有一个根。 综上所述, 在只有一个根。 四证明题：1 证明 证明：令 故 又， 所以，即在 单调递增 ， 即 。 得证2利用函数的凹凸性证明 证：令 所以 在上是向上凹的 故 对任意的 即 所以，高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用 系 专业 班 姓名 学号 3.5 函数的极值一.填空题1. 当时，函数有极值，那么 2函
6、数，在区间上的极大值点 0 .3当 2 时，函数在处取得极 大 值时，其极 大 值为 .4若曲线在处取得极值，点是拐点，则 ， ， 0 ， 0 二.选择题1设函数满足，不存在，则 D (A) 及都是极值点 (B) 只有是极值点(C) 只有是极值点 (D) 与都有可能不是极值点2当时,当时,则必定是函数的 D (A) 极大值点; (B) 极小值点; (C) 驻点; (D) 以上都不对3下列命题为真的是 D (A) 若为极值点，则 (B) 若，则为极值点 (C) 极值点可以是边界点 (D) 若为极值点，且存在导数，则4如果在达到极大值,且存在，则 A (A) ; (B) ; (C) ; (D) 0
7、yx5设函数在内连续，其导数的图形如图所示，则有 C （A）一个极小值点和两个极大值点（B）两个极小值点和一个极大值点（C）两个极小值点和两个极大值点（D）三个极小值点和一个极大值点6函数在定义域内 A （A）无极值 （B）极大值为 （C）极小值为 （D）为非单调函数7若函数的极大值点是，则函数的极大值是 D (A) (B) (C) (D)三求下列函数极值1 解： 令 可得 当 时，当时， 所以在处 取得极大值 当时 当 时 所以在3处 取得极小值 。2 解： 令 可得 或 当 时，不存在 由，把分成四个部分区间，并列表讨论如下： 不存在 0 0极小值 极大值 极小值 所以，函数的极大值为.
8、极小值为 ,高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用 系 专业 班 姓名 学号 函数的最大值最小值一. 填空题1. 函数在上的最大值为 ，最小值为 2. 在 3 处取得最大值 11 , 在 2 处取得最小值 .二. 选择题1在上没有 A （A）极大值 （B）极小值 （C）最大值 （D）最小值2函数在内的最小值是 D （A）0 （B）1 （C）任何小于1的数 （D）不存在3函数在区间上的最大值是 D （A）0 （B）1 （C）2 （D）不存在4设有一根长为L的铁丝，将其分为两断，分别构成圆形和正方形，若记圆形面积为S1，正方形面积为，当最小时， C (A) (B) (C) (D) 三.、
9、要造一圆柱形油罐，体积为，问应半径和高等于多少时，才能使表面积最小? 这时底直径与高的比是多少?解： 已知 可得 （方法一） = = = ， 令 由于驻点唯一，且最小值存在，所以当时，表面积最小。（方法二）当面积取得最小值为 。四. 某地区防空洞的截面积拟建成矩形加半圆如下图，截面的面积为m2，问底宽为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省解：由已知 可得，= 由于驻点唯一，且最小值存在，所以当时，材料最省。 五.作函数的图形 解：（1）所给函数的定义域为R，= =（2）的零点为， 的零点为， 这些点把定义域分成四个部分 (3) 在各个区间，得符号，相应的曲线的升降性及凹凸性，
10、以及拐点，如下表： x000图形拐点极大值拐点 （4），所以，是函数的水平渐进线。 （5）描点作图（略）高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用 系 专业 班 姓名 学号 3.7 曲率 一、填空题1抛物线在点处的曲率 ，曲率半径 .2曲线，在处的曲率，曲率半径.3曲线在点的曲率为 二、选择题：椭圆 在长轴端点的曲率 B （A）0 （B） （C） （D）不存在三、计算题：1求曲线上曲率最大的点及该点处的曲率半径 解：， 令 ， 且可知 当时取得最大值。 曲率半径 2 汽车连同载重共5吨，在抛物线拱桥上行驶，速度为21.6（公里/小时）桥的跨度为10米，拱的矢高为0.25米，求汽车越过桥顶
11、时对桥的压力。解：取桥顶为原点，竖直向下为y轴的正方向，则抛物线的方程为桥端点（5，0.25）在抛物线上，所以抛物线的方程为， ，所以 所以在桥顶处抛物线的曲率半径为，向心力为 所以汽车越过桥顶时对桥的总压力为 高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用 系 专业 班 姓名 学号 综合练习一填空题1函数在上满足罗尔定理的条件,由罗尔定理确定的 2 。 2极限 1 。3在区间 内单调减少在区间 内单调增加。4在 处取得极小值5在的最大值点为 。6曲线的凸区间是 , 凹区间是 拐点是 。二选择题1函数在定义域内 A （A）无极值 (B)极大值为 (C)极小值为 (D)为非单调函数2曲线 B
12、（A）是垂直渐近线 （B）为斜渐近线 （C）单调减少 （D）有2个拐点3设函数，则 C （A）该函数在处有最小值 (B) 该函数在处有最大值（C）该函数所表示的曲线在处有拐点 (D) 该函数所表示的曲线处无拐点4设函数在上满足，则、或的大小顺序为 B （A） （B）（C） （D）5设一阶可导，且，则 C （A） 一定是的极大值 (B) 一定是的极小值（C） 一定不是的极值 (D) 不一定是的极值6曲线在区间内 D （A）上凹 (B) 下凹 (C) 既有上凹又有下凹 (D) 直线段7函数可微，则函数 D （A）无零点； (B)只有一个零点； (C)只有两个零点； (D)至少有两个零点8设在上可导
13、，且，在(0，1)上，则方程在(0，1)上实根的个数为 B （A）0 (B) 1 (C) 2 (D) 二计算题1. 2 2. 3. 三 设有甲乙两城甲城位于一直线形的河岸上，乙城离河岸40千米，且到河岸的垂足与甲城相距50千米两城拟于此河边合建一水厂取水，从水厂到甲城和乙城之水管费用分别为每千米500元和700元为使水管费用最省，水厂应设于何处? 解：以河岸为x轴，过乙城且垂直于河岸的为y轴，指向甲城和乙城的方向飞别分x轴，y轴 的正方向， 假设水厂离原点为x千米，总的费用为S 则 ， 令 令 可得 由于驻点唯一，且最小费用存在，所以当水厂建在离甲城50-40.82=9.18（千米）时，总的费用最省。
