【教学课件】第3章离散时间系统的频域分析-傅里叶变换.ppt

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1、,第3章 离散时间系统的频域分析傅里叶变换,3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质,3.2 周期序列的离散傅里叶级数(DFS)及性质,3.3 有限长序列的离散傅里叶变换(DFT),3.4 频率抽样理论,3.5 利用DFT对连续时间信号处理时应注意的问题,3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质,3.1.1 非周期序列傅里叶变换,1.定义,设离散时间非周期信号为x(n)，则x(n)的序列傅里叶变换(DTFT)为：,正变换：,逆变换：,记为,其中 称为信号序列的频谱。,若将频谱 表示为则 称为频谱 的幅度特性，称为频谱 的相位特性。,例3-1 设序列x(n)的波形如图所示，求x(n)的傅里叶变换。,解：

2、由定义得：,0,1,2,1,3 4 5,2.离散时间序列傅立叶变换的存在的条件,离散时间序列x(n)的傅里叶变换存在的且连续的条件是x(n)满足绝对可和，即,反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定绝对可和。,3.1.2 非周期序列傅里叶变换的性质,1.线性,设,则,2.移位,设,则,3.共轭性,设,，则,4.对称性,共轭对称序列：,设一复序列，如果满足xe(n)=xe*(-n),则称序列为共轭对称序列。,共轭反对称序列：设一复序列，如果满足xo(n)=-xo*(-n)则称序列为共轭反对称序列。,任一序列可表为共轭对称序列与共轭反对称序列之和,对于序列 进行运算，则,相加，则有,相减，则,

3、序列的傅里叶变换可表为共轭对称分量与共轭反对称分量之和：,其中,由此看出，序列x(n)的傅里叶变换具有如下性质：,(1)序列x(n)的实部的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭对称分量，即,(2)序列x(n)的虚部乘j后的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭反对称分量，即,(3)序列x(n)的共轭对称分量 和共轭反对称分量 的傅里叶变化等于序列的傅里叶变换的实部和j乘以虚部：,(4)若序列x(n)实序列，则其傅里叶变换 满足共轭对称性，即：,(5)序列x(n)的傅里叶变换 的极坐标表现形式为：,对实数序列，有,5.时域卷积定理,若，则有,6.频域卷积定理,若，则有,7.帕塞瓦尔(Parseval)

4、定理,例3-2 若x(n)的傅里叶变换为，试利用序列傅里叶变换的性质，求下面序列的傅里叶变换。(1)kx(n)(k为常数)(2)x(n-4)(3)x*(n),(4),为偶数,为奇数,解:(1),(2),(3),(4),例3-3 若序列h(n)是实因果序列，其傅里叶变换的实部为，求序列h(n)及其傅里叶变换,解：利用三角函数关系：,由序列傅里叶变换的定义有：,比较两式得：,由于h(n)是实因果序列，根据共轭对称性得：,因此,3.2 周期序列的离散傅里叶级数(DFS)及性质,1.周期序列的离散傅里叶级数,若离散时间序列x(n)为周期序列，则一定满足：x(n)=x(n+rN)其中N（正整数)为信号的

5、周期，r为任意整数。为了和非周期序列区分，周期序列记作：,因为周期序列不是绝对可和，因此周期序列不能用傅里叶变换来表示，但是周期序列可以用傅里叶级数(DFS)来表示，傅里叶级数(DFS)定义为：,其中 为周期序列傅里叶级数的系数，其大小为,为了书写方便，常令符号,这样周期序列的傅里叶变换对可以写为：,正变换：,反变换：,例 3-4 设，将 以N=10为周期作周期延拓，得到周期信号，求 的DFS。,解：,2.周期序列的傅里叶级数的性质,(1)线性,如果,则有,(2)移位,则有：,如果,(3)调制特性,设 是周期为N的周期序列，则,(4)周期卷积和,若,则有：,记作：,例3-5 两个周期序列N=6

6、序列 和 如图(a),(b)所示，求他们的卷积和。,解:,-N,0,1,2,N-1,N,m,-N,0,1,2,N-1,N,m,-N,0,1,2,N-1,N,m,-N,0,1,2,N-1,N,m,-N,0,1,2,N-1,N,m,-N,0,1,2,N-1,N,m,-N,0,1,2,N-1,N,m,-N,0,1,2,N-1,N,n,5.周期序列相乘,如果,则,3.3 有限长序列的离散傅里叶变换(DFT),离散傅里叶变换的及性质,1.有限长序列与周期序列的性质,设x(n)为有限长序列，长度为N，即x(n)只在n=0,1,N-1有值，其他值时，x(n)=0。因此，可以把x(n)看作周期为N的周期序列

7、的一个周期，即,也可利用矩形序列表示成为,把 看作有限长序列x(n)以N为周期的周期延拓，表示为,通常我们把 的第一个周期n=0,1,N-1定义为主值区间，称x(n)为 的主值序列。,为了书写方便，将上式简写为：,其中，表示数学上“n对N取余数”，或称为“n对N取模值。,例如：,是周期为N=8的序列，则有,有限长序列的傅里叶变换的定义：,2.有限长序列的离散傅里叶变换(DFT),正变换：,反变换：,例3-6 已知，求x(n)的8点DFT和16点DFT,解：N=8时,当N=16时,例3-7,已知，求 的N点DFT。,解：,3.离散傅里叶变换的性质,(1)线性,如果序列 和 长度都为N，且,则有：

8、,(2)序列的圆周移位性,若设 是 的圆周移位，即,则,(3)圆周卷积和,设有限长序列 和，长度分别为 和，,和,的N点DFT分别为：,时域圆周卷积和定理,若,则有：,N,频域圆周卷积和定理,如果,则有：,N,4.圆周相关性质,圆周相关原理,若有两有限长序列 和 圆周相关，即,则相关序列 的DFT与两序列 和 的DFT满足：,当 和 为实序列时，则有,5.共轭对称性,设 为 的共轭复序列，则,有限长序列长度为N，则它的圆周共轭对称分量 和圆周共轭凡对称分量 分别定义为：,任何有限长序列x(n)都可以表示成圆周共轭对称分量 和圆周共轭凡对称分量 之和，即,则有：,若x(n)实序列，两边进行离散傅

9、里叶变换则有,若x(n)是纯虚序列，则显然X(k)只有圆周共轭分量，即满足,(6)帕塞瓦尔(Parseval)定理,3.3.2 圆周卷积与有限长序列的线性卷积关系,设 是长度为 的有限长序列，是长度为 的有限长序列，即,和,的线性卷积和为,一个绝对可和的非周期序列，由于绝对可和,故其傅里叶变换存在且连续,也即其z变换收敛域包括单位圆。这样,对X(z)在单位圆上N等份抽样,就得到,3.4 频率抽样理论,对 进行反变换,并令其为，则,由于,为任意数,其他,这说明由 得到的周期序列是原周期序列的周期延拓序列，其时域周期为频域抽样点数N。因此，有以下结论：,(1)如果 不是有限长序列，必然造成混叠，产

10、生误差。(2)如果 是有限长序列，点数为M，当频率抽样点数 N小于序列长度M，即N=M，则能无失 真的恢复出原信号。,例3-11 设序列 的长度为M=8，其大小为。现对 的序列傅里叶变换 在一个周期内作6点均匀抽样，得，试研究 的逆变换 与原来序列 的关系。,解：根据题意和频率抽样理论，和原序列 的关系满足：,由于频率抽样点数小于序列长度，即NM，因此，将原来8点的序列 延拓成周期N=6的周期序列，必然会发生时域的混叠。混叠的方式是上一周期的后两点和本周期的前两点相加，即,所以，,.,8,7,6,5,4,3,2,1,8,7,6,5,4,3,2,1,8,7,6,5,4,3,2,1,8,7,6,5

11、,4,3,2,1,.,3.5 利用DFT对连续时间信号处理时应注意的问题,3.5.1 混叠失真与参数选择,频谱混叠失真：若信号持续时间无限长，则其频谱无限宽，若信号的频谱有限宽，则持续的时间无限长。而实际处理的信号一般是时限信号，则其频谱无限宽，对其进行抽样时，不满足抽样定理，出现频谱混叠失真。,若对 进行等间隔抽样，抽样间隔为：,其模拟角频率为,设连续信号 持续时间为，最高频率为，其傅里叶变换为,上式可近似为,在实际处理中，一般取，通过抽样得 抽样点数为N，对 作零阶近似，即,是 的连续周期函数，从频域角度出发，需要对 在区间 上等间隔抽样N点，抽样间隔为F，F表示 抽样后的频率间隔，也称为

12、频率分辨率，则,由于 则,结论：(1)在DFT对连续信号频谱进行近似分析时，信号的最高频率 与信号分辨率F之间存在矛盾，随着 增加，时域抽样间隔T就一定减少，即抽样频率 增加；若抽样点数N不变，必须要求F增加而不是减少，所以频率分辨率下降。(2)要提高分辨率（减少T），就需增加(3)要兼顾高频容量 和频率分辨率F，是一个性能提高另一个性能不变的唯一办法是增加记录长度的点数N，三者要满足关系,3.5.2 频谱泄漏,对于持续很长时间的信号，抽样点数太多而导致无法存储和计算，只好截短形成有限长序列 进行DFT。这种截断处理会引起信号的频谱发生变化。,的频谱如图(a)所示，加窗处理后 的频谱,如图(b

13、)所示。,由图可以看出，原序列 的频谱,是离散的谱线，经截短后，原频谱的离散谱线向附近宽展这种现象称为频谱泄漏。,0,(a),0,(b),谱间干扰：在原谱线旁边形成很多旁瓣，引起不同频率分量间的干扰，影响频谱分辨率，这种干称成为谱间干扰,3.5.3 栅栏效应,用DFT计算频谱时，只是知道为频率 的整数倍处的频谱。在两个谱线之间的情况就不知道,这相当通过一个栅栏观察景象一样，故称作栅栏效应。,补零点加大周期，可使F变小来提高分辨力，以减少栅栏效应。,用DFT对模拟信号进行频谱分析是，只能得到模拟信号的近似频谱，其误差主要来自两个方面：(1)截断效应（频谱泄漏和谱间干扰）(2)频谱混叠失真,例3-12 对实际信号进行频谱分析时，若要求频谱分辨率F=5Hz，信号最高频率fh=4kHz，试确定最小记录时间Tpmin，最大抽样间隔Tmax，最少抽样点数Nmin。如果fh不变，要求分辨率增加一倍，重新确定上述分量。,解：,所以最小记录时间,由抽样定理，,所以最大抽样间隔,若频谱分辨率再大一倍，则F应减少一半，F=2.5Hz，则,