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1、1,5 孤立奇点,若,在,处不解析,但是在,的一个,去心邻域,内,解析,则,称为,的孤立,奇点.,例如,的孤立奇点:,的孤立奇点:,为整数),的孤立奇点为,由,得,的孤立奇点:,为整数),初等函数,若,在,处无定义，,但在,内有定义，,内解析，,则,为,的孤立奇点,2,孤立奇点的分类:,在,内的,洛朗级数,负幂项，,没有,为,的可去奇点,有有限多个,负幂项，,为,的极点,负幂项，,有无穷多个,为,的本性奇点,是,什么奇点,可去奇点,是,什么奇点,极点,是,什么奇点,本性奇点,3,例如,是,什么奇点,可去奇点,是,什么奇点,极点,是,什么奇点,本性奇点,是,什么奇点,本性奇点,4,可去奇点,一、
2、,若,在,内,的洛朗级数,负幂项，,没有,则,为,的可去奇点。,例如,是,可去奇点,定理4.24,存在。,为,的可去奇点,是,可去奇点,72页11(11),5,极点,二、,若,在,内,的洛朗级数,负幂项，,有有限多个,则,为,的极点,例如,的孤立奇点:,当,时,是它的,极点.,定理4.26,为,的极点,6,本性奇点,三、,若,在,内,的洛朗级数,负幂项，,有无穷多个,则,为,的本性奇点。,是它的,本性奇点.,例如,是它的,本性奇点.,7,定理4.27,为,的本性奇点,不存在，,不为,例如,是,的本性奇点,因为,不存在，,不为,8,证明,不存在，,不为,证,当,时,当,时,动点,沿实轴,趋于,动
3、点,沿正虚轴,趋于,结论正确,是,本性奇点,9,72页10,(6),的孤立奇点为,为本性奇点,(9),是它的,本性奇点.,(7),的孤立奇点:,是它的,本性奇点.,10,四、极点的阶,即,如果,的最高幂为,则,称为,的m阶极点,其中,中括号里的幂级数,收敛,其和函数,在,解析,且,综上所述,如果,是,的m阶极点,则存在函数,在,解析,且,使,洛朗级数中,关于,在,某个邻域内,反过来也正确,11,定理,是,的m阶极点,其中,在,解析,且,例如,极点,?阶,极点,?阶,?阶,72页,11(3),11(5),极点,?阶,?阶,11(1),极点,?阶,?阶,11(4),极点,为整数,?阶,10(10)
4、,极点,?阶,12,(12),72页11,有什么孤立奇点？,如果是极点,指出它的阶.,解,孤立奇点为,因为,不存在，,不为,所以,是它的,本性奇点.,因为,所以,是它的,极点,一阶极点,13,阶数的运算,设,为,的m阶零点、,的n阶零点,则,为,的m+n阶零点,为,的可去,为,的可去奇点,处解析,在,奇点,为,极点,的(n-m)阶,例如,的奇点,它的,是,?阶极点,二阶极点。,14,例1,函数,如果是极点,指出它的阶.,有什么类型的奇点？,解,的所有奇点为,所以,是,的二阶极点,是,的可去奇点,是,的三阶极点,是,的一阶零点,是,的三阶零点,是,的三阶零点,其中,15,选择题,是函数,的,(),A,二阶极点,B,C,可去奇点,D,本性奇点,非孤立奇点,A,因为,是,的,一阶零点,的,三阶零点,是函数,的,(),A,四阶极点,B,C,可去奇点,D,本性奇点,D,三阶极点,因为,是,的,二阶零点,的,五阶零点,16,例2,下列函数,如果是极点,指出它的阶.,的奇点,是它的,是它的,其中,二阶极点,一阶极点,的奇点,是它的,三阶极点,是它的,一阶极点,有什么奇点？,原函数,17,(n为正整数),解,是它的,一阶极点,的奇点:,其中:,是它的,是它的,为整数),一阶极点,可去奇点,
