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1、第二章 最佳滤波,性能函数,最佳化（优化）,时域-正弦输入,空域-正弦输入,对于实矢量 x=x1，x2，xnT的纯量实函数f(x),(A.6.10)度方向是函数值增加最快的方向。,A.6 梯度,函数对于一维自变量x1的梯度,就是函数对x1的导数,对于复矢量x,对实矢量的函数的梯度公式x=x1,，xnT a=a1,，anT,对复矢量的函数的梯度公式a=ar+jaj,x=xr+jx,第三章最小均方(LMS)算法,3.1 最小均方误差滤波器,图3.1 横式滤波器,()是埃米尔特矩阵,(2)是正定的或半正定的。,(3)具有Toeplitz性质，即其任意对角线上的元素相等。,最佳解-维纳解,(正规方程)
2、,正规方程的解 直接矩阵求逆算法（DMI算法）或采样矩阵求逆(SMI)算法 最陡下降法（加权系数的递推）-最小均方算法即LMS算法(3)利用矩阵的埃尔米特和Toeplitz性质,正交原理,根据正交原理推正规方程,3.2 关于均方误差性能函数的进一步讨论 3.2.1 均方误差性能函数的各种表达式,图3.2 均方误差性能面,图3.3 等均方误差椭圆族,3.2.2 几何意义,均方误差椭圆的长轴正比于,短轴正比于,3.3 最陡下降法3.3.1 最陡下降法的递推公式,3.3.2 最陡下降法的性能分析 一、收敛性,二、过渡过程（1）权向量的过渡过程,（2）均方误差的过渡过程,（3）特征值分散的影响,当 大
3、时，称方程及其相应的矩阵为病态的。,当 为病态时，最陡下降法的收敛性能很差,（4）步长值的影响,3.4 最小均方（LMS）算法 3.4.1 最小均方（LMS）算法公式,图3.5 LMS算法的第i支路,图3.6 LMS算法框图,表3.1 LMS算法流程,参量：M=滤波器抽头数=步长因子,初始条件：,或由先验知识确定,运算：对,取得,(2)滤波,(3)误差估计,(4)更新权向量,3.4.2 LMS算法的性能分析,最陡下降法的加权矢量的递推校正值为确定值LMS算法的相应的递推校正值为随机量。LMS算法的加权矢量将以随机方式变化。LMS算法又称为随机梯度法,LMS算法,最陡下降法,一、加权矢量的平均值
4、的收敛性和过渡过程,与 无关,仅与 有关，,最陡下降法,类似于最陡下降法,（1）加权矢量的平均值的收敛性,（2）加权矢量的平均值的过渡过程,当 的特征值分散时，即其条件数很大时，即 为病态时，LMS算法的收敛性很差。,值必须选得满足收敛条件。在收敛范围内，愈大，收敛愈快。但 过大时，过渡过程将出现震荡,2.均方误差的过渡过程,为 的对角元素,(3.4.37),2.均方误差的过渡过程（cont）,图3.7 LMS算法的稳态误差,3.稳态误差及失调系数,LMS算法来说，在收敛到最佳值后，由于加权矢量继续按公式,变化，其校正值不为零而是继续随机起伏，从而使加权矢量继续随机起伏。这就使得LMS算法的收
5、敛到（即收敛到零）后，均方误差将大于维纳误差,失调系数用于描述LMS算法的稳态均方误差对维纳误差的相对偏差。,对LMS算法的失调系数的估计(1),对LMS算法的失调系数的估计(2),的误差矢量,各元素互不相关，其方差阵为对角阵。,令 为 的对角元素,当n很大时,当n很大时,对LMS算法的失调系数的估计(3),3.5 修正的LMS算法,基于不同的思路和严格的分析推导NLMS 算法:基于约束优化问题、基于对每次输入多次运行普通LMS算法等。本节根据一种直观的思路来导出NLMS算法。,3.5.1 归一化LMS（NLMS）算法,LMS算法的失调系数 当输入功率变化时，失调系数即过剩误差将变化。若使LMS算法的值随输入功率成反比变化,则过剩误差将保持不变。,NLMS 算法公式,输入信号功率可能很小，所以通常采用,3.5.2 简化的LMS算法由标准的实信号LMS算法的递推公式,自适应调整方向仅取决于的符号，所以式(3.5.1)可以简化成如下几种简化,
