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1、1,5.1 量纲分析,1.量纲分析基础,量纲用以度量物理量单位的种类，用dim表示。代表被测物理量单位种类的一种符号，从符号可以看出它们的属性。,基本量纲国际单位制中7个基本物理量的量纲。L、M、t、T、E、C、N,量纲公式。a,b,c为量纲指数，量纲指数全为零时，B为无量纲量。无量纲量的值不随单位制改变,量纲分析和相似原理是指导实验设计和理论基础,流体力学的常用基本量纲为L、M、t，其它任意物理量B的量纲可以用三个基本量纲的指数乘积的形式表示出来,5-1,2,流体力学常用物理量的量纲,5.1 量纲分析,3,5.1 量纲分析,量纲齐次性原理：完整物理方程中各项的量纲必须相同。,以单位重量的流体
2、沿流线能量守恒形式的伯努利方程为例,方程左边各项的量纲依次为,对于量纲齐次的方程用方程中的任一项去除其它项，可以使方程无量纲化，从而减少方程的变量个数。,4,2.定理（白金汉定理）,对于某个物理现象或过程，如果可以用n个变量来描述，写成数学表达式为：f(x1,x2,x3,xn)=0,而这些变量含有m个基本量纲，则该现象可以用(n-m)个无量纲量数组的表达式来描述，即 F(1,2,n-m)=0,无量纲量数组的组成方式：在n个变量中取m个量纲不同的量作为基本变量，并把基本变量与其它变量中的一个组成数组，共组成（n-m）个无量纲数组，例取x1,x2,x3 为基本变量，则数组为：,.,5.1 量纲分析
3、,5,应用白金汉定理求某现象的无量纲数组的方法步骤：,（1）列与该物理现象相关的全部n个变量（2）找出基本量纲，设为m个（3）从n个变量中选出包含全部基本量刚的m个基本变量（4）用基本变量与其它的任一个变量组成无量纲方程，并解出 n-m 个无量纲数组（5）利用无量纲数组建立描述该现象的方程,【例5-1】不可压粘性流体在圆管道内流体流动的压降p与下列因素有关：管径d、管长l、管壁粗糙度、管内流体密度、流体的动力粘度，以及断面平均流速v有关。试用定理推出压降p的表达形式。,5.1 量纲分析,6,5.1 量纲分析,【解】,（1）该流动现象共有7个变量p,d,l,v（2）基本量刚为L，M，t，所以m=
4、3（3）选出m=3个基本变量：、v、d（4）组成n-m=4个无量纲数组，求解,将上述表达式写成量纲形式,解得a1=-1,b1=-2,c1=0,故,7,解得a2=-1,b2=-1,c2=-1,故,解得a3=0,b3=0,c3=-1,故,解得a4=0,b4=0,c4=-1,故,5.1 量纲分析,8,（5）所解问题用无量纲数表示的方程为,5.1 量纲分析,上述公式还可以写成,对于给定长度和直径的管道,进行适当的变换后有,令,则,达西公式。为沿程阻力系数。,9,5.1 量纲分析,3.定理的几点说明,（1）无量纲数组的特性 对于确定的物理现象，无量纲数组个数是固定的 但是形式上不是唯一的 无量纲数的算术
5、运算的结果仍是无量纲数,（2）作用在流体上的力,压力,惯性力,黏性力,重力,表面张力,弹性力,10,5.1 量纲分析,（3）流体力学中常见的无量纲数组,雷诺数,欧拉数,弗劳德数,韦伯数,11,5.1 量纲分析,马赫数,毛细数,（4）量纲分析的物理意义,简化试验方案物理量量纲的推导校验方程确定相似试验条件,12,5.2 相似原理与模型实验,为使模型流动能表现出实型流动的主要现象和特性，并从模型流动上预测出实型流动的结果，就必须使两者在流动上相似，即两个互为相似流动的对应部位上对应物理量都有一定的比例关系。,（1）几何相似（空间相似）,1.相似的概念,两流动的对应边长成同一比例，对应角相等。,线性
6、比例系数,面积比例系数,体积比例系数,基本比例常数,13,（2）时间相似,对应的时间间隔成比例,对图示的两种管内流动其平均速度变化的时间间隔成比例,5.2 相似原理与模型实验,14,（3）运动相似,速度（加速度）场相似,在不同的流动空间中，对应点、对应时刻上的速度（加速度）方向一致，大小成比例,速度比例常数,加速度比例常数,流量比例常数,基本比例常数,5.2 相似原理与模型实验,15,（4）力相似,力场的几何相似，作用在流体上的各种力的方向对应 一致，大小成比例。如图所示,力比例常数,密度比例常数,基本比例常数,5.2 相似原理与模型实验,16,用基本比例常数表示的其他比例常数,质量比例常数,
7、力比例常数,压强比例常数,运动粘度比例常数,动力粘度比例常数,5.2 相似原理与模型实验,17,2.相似原理,描述流体运动和受力关系的是流体运动微分方程，两流动要满足相似条件就必须同时满足该方程，并且单值条件必须相似，包括几何条件、物理条件、边界条件、初始条件等。,【例5-2】以不可压缩流体定常流动的N-S微分方程为例导出相似准则。,【解】N-S微分方程在x方向上的投影为,与其相似的流动中流体质点的方程为,(a),(b),5.2 相似原理与模型实验,18,由相似准则必然有,将（c）代入（b）,并整理后有,(c),(d),式（a）和（d）相比较有,(e),说明各相似倍数不是任意选取的，而是受上式
8、约束的。,5.2 相似原理与模型实验,19,将式（e）后三项分别去除第一项，则有,，即,，即,，即,不可压定常流相似，他们的弗劳德数、欧拉数、雷诺数必相等,相似原理可表述为：两种流动现象相似的充分必要条件是：能够用同一微分方程描述同一种类的现象；并且满足单值条件相似；有单值条件中的物理量组成相似准则相等,5.2 相似原理与模型实验,这些无量纲数组称为相似准则或相似判据,20,3.相似原理的应用,应用相似原理进行试验研究的步骤：（1）分析导出的相似准则，判断决定性准则（2）根据选定的相似准则设计实验方案（3）确定实验中要测量的物理量，测定相似准则中的物理量（4）将实验结果换算到实物系统中,4.相
9、似原理和量纲分析的比较,相似理论：从微分方程出发导出无量纲数组 得到的相似准则具有确定的物理意义量纲分析：对试验涉及的物理现象进行分析得到无量纲判据 通常不考虑无量纲数的物理意义，应用范围比相 似理论要广泛,5.2 相似原理与模型实验,21,1.全面力学相似试验,所有的相似准则都分别相等的相似试验,实际的工程应用中很难保证所有的相似准则都相等，例如粘性不可压定常流动，要求模型和原型中的Re和Fr同时相等,即,若采用的流动介质 相同，则,为了保证Fr数相等,与保证Re相等的条件矛盾,5.2 相似原理与模型实验,22,2.近似模化法,在重力起主要作用的流动中，使实物和模型的Fr数相等,（1）弗劳德
10、模化法,抓主要矛盾，简化相似条件,适合于管内粘性流动的阻力损失的研究，保证Re数相等,（2）雷诺模化法,适合于雷诺数很小或很大的“自模化”流动，流动与雷诺数关系不大，此时可只考虑压强与惯性力的比值欧拉数相等。,（3）欧拉模化法,5.2 相似原理与模型实验,23,【例5-3】管径d=50mm的输油管，装有弯头、开关等局部阻力装置，安装前需要测定压强损失，在实验室用空气进行试验。已知20时油的密度油=889.6kg/m3;油的粘度油=10-6m2/s;空气的密度气=1.2kg/m3;空气的的粘度气=15.7x10-6m2/s。试确定（1）当输油管中油的流速为2m/s时，实验室中空气在管内的流速为多
11、少？（2）通过空气测得管道压强损失p气=7747N/m2，油液通过输油管时的压强损失p油为多少？,5.2 相似原理与模型实验,【解】（1）管内流动粘性力起主要因素，雷诺数必须相等,24,5.2 相似原理与模型实验,由于管道直径相同,（2）要对压力进行相似，必须满足欧拉数相等,25,3.方程分析法,利用描述物理现象的微分方程组和全部单值条件导出相似准则。常用的方程分析法有：相似转换法和方程无量纲化法,（1）相似转换法 写出描述现象的基本微分方程和单值条件 写出相似倍数的表达式 将相似倍数的表达式代入微分方程组进行相似转换 根据流动相似，方程相同导出相似准则,（2）方程无量纲化法 写出描述现象的基本微分方程 所有变量无量纲化 方程组无量纲化，导出相似准则,5.2 相似原理与模型实验,
