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1、竖直平面内的圆周运动模型考点规律分析（1）竖直平面内的圆周运动模型在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况，可分为 三种模型。一是只有拉（压）力，如球与绳连接、沿内轨道的“过山车”等，称为 “轻绳模型”；二是只有推（支撑）力的，称为“拱桥模型”；三是可拉（压）可推 （支撑），如球与杆连接，小球在弯管内运动等，称为“轻杆模型”。（2）三种模型对比轻绳模型拱桥模型轻杆模型情景图示弹力特征弹力向卜（也可能等于零）弹力向上（也町 能等于零）受力示意图弹力可能向卜，叮能 向上也可能等于零力学方程mg土I临界特征叫=。，即F向=0 ,此 时F- = mg,方向 向上对速度的理解明时小球能
2、过最高点&p = Ygr 时*小球刚好过 最高点；口曰法/尿时7车物体）离开拱桥最高点做平抛运动；口J亦时，杆或管道的外侧对球产生向下的拉力或惮/gr时小球不 能过最高点 V7时车 （物体）能过最 高点且不离开 拱桥力；叫=旬寸，球 在最高点只受重力, 不受杆或管道的作用力；。O /讦 时，杆或管道的内侧 对球产生向上的弹力典型例题例1长度为L = 0.50 m的轻质细杆OA, A端有一质量为m = 3.0 kg的小 球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球 的速率是2.0 m/s, g取10 m/s2则此时细杆OA受到（）B. 6.0 N的压力D. 24 N的压
3、力A. 6.0 N的拉力C. 24 N的拉力规范解答设小球以速率v0通过最高点时，球对杆的作用力恰好为零，即mg =得 v0 = ：gL = ! 10 X 0.50 m/s = 仔 m/s。由于v = 2.0 mls_ V2由牛顿第_定律mg-N=mj-,4曰杼V2 （2.022得N=mg-mj- = 13.0X10 - 3.0X0I N = 6.0 N由牛顿第三定律知，细杆OA受到6.0 N的压力。完美答案B一貌停点拨竖直面内圆周运动过顶点的问题关键在于能不能过 顶点，能过顶点的条件下物体的受力情况究竟是怎样的。 下面是竖直面内圆周运动的求解思路：（1）确定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模
4、型，两 种模型过最高点的临界条件不同，其原因主要是“绳不能 支持物体，而“杆”既能支持物体，也能拉物体。（2）确定临界点E临=J讦，对轻绳模型来说是能否 通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是表现为支持力 还是拉力的临界点口（3）确定研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运 动只涉及最高点和最低点的运动情况占(4) 分析求解：对物体在最高点或最低点进行受力分析，列方程F合=向=m = r求解，例2 一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与水一起以细绳的另一端点 为圆心在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m=0.5kg，水的重心到 转轴的距离l=50 cm，g取10 m/s2。求：(1) 若在
5、最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字)(2) 若在最高点水桶的速率。=3 m/s，求水对桶底的压力大小。规范解答(1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水 的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小。此时有：mg =%mi则所求速率即为桶的最小速率：。0=.,.2.24 m/s。(2)在最高点水桶的速率 0 = 3 m/s2.24 m/s, 水桶能过最高点，此时桶底对水 有一向下的压力，设为fn ,则由牛顿第二定律有：FN + mg = m；代入数据可得：Fn = 4 N由牛顿第三定律可得水对桶底的压力：FJ =4 N。完美答案(1)2.24
6、m/s (2)4 N一规律点拨绳、杆模型对比(1)绳模型、杆模型中小球做的都是变速圆周运动，在最高点、最低点时由小 球竖直方向所受的合力充当向心力。(2)在最低点的受力特点是一致的，在最高点杆、轨道可以提供竖直向上的支持力，而绳不能提供支持力，只能提供向下的拉力。举一反三1.（多选）如图所示，长为L的轻杆一端固定一质量为m的小球，另一端有固定轴 O,杆可在竖直平面内绕轴O无摩擦转动，已知小球通过最高点P时，速度的大 小为vP=%2gL，已知小球通过最低点Q时，速度的大小为vQ=，、J6gL，则小球的 运动情况为（）Pr、H4fs0!:IQA. 小球到达圆周轨道的最高点P时受到轻杆向上的弹力B.
7、 小球到达圆周轨道的最低点Q时受到轻杆向上的弹力C. 小球到达圆周轨道的最高点P时不受轻杆的作用力D. 若小球到达圆周轨道的最高点P速度增大，则在P点受到轻杆向下的弹 力增大答案BD解析 小球在P点的速度vP=.顽g，所以小球在P点受到的弹力向 下，且随着七增大，受到向下的弹力增大，A、C错误，D正确。在最低点Q点， 由于重力向下，合力即向心力向上，故弹力一定向上，B正确。2（多选）如图所示，半径为L的圆管轨道（圆管内径远小于轨道半径）竖直放置， 管内壁光滑，管内有一个小球（小球直径略小于管内径）可沿管运动，设小球经过 最高点P时的速度为0，则（）A. v的最小值为寸gZB. v若增大，球所需
8、的向心力也增大C. 当v由、.jgZ逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小D. 当v由顼gZ逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大答案BD解析 由于小球在圆管中运动，最高点速度可为零，A错误；根据向心力公 式有F尸蒲,v若增大，球所需的向心力一定增大，B正确；因为圆管既可提 供向上的支持力也可提供向下的压力，当vfg时，圆管弹力为零，故v由一网 逐渐减小时，轨道对球向上的支持力增大由一.招Z逐渐增大时，轨道对球向下 的压力也增大，C错误，D正确。3杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的 总质量为m = 0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运 动，如图所
9、示，若“水流星”通过最高点时的速率为4m/s，则下列说法正确的 是(g=10 m/s2)( )如A. “水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B. “水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零C. “水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用D. “水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N答案B解析 “水流星”在最高点的速度 v = 4 m/s = 预，由此知绳的拉力恰为零， 且水恰不流出，“水流星”只受重力作用，容器底部受到的压力为零，故只有B 正确。4. （绳模型）（多选）如图所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平 面内做圆周运动，则下列说法中正确的是（
10、）./,X/1LiA. 小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力B. 小球在最高点时绳子的拉力不可能为零C. 若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为%glD. 小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力答案CD解析小球在圆周最高点时，向心力可能等于重力也可能等于重力与绳子的 拉力之和，取决于小球的瞬时速度的大小，A错误；小球在圆周最高点时，如果 向心力完全由重力充当，则绳子的拉力为零，B错误；小球刚好能在竖直面内做 圆周运动，则在最高点，重力提供向心力* = -押,C正确；小球在圆周最低点 时，具有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，拉力一定大于重力，故D正 确。5. （绳模型
11、）如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅 里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R人体重为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为（）A. 0 Ba.1gR CA.2gR D.,顽答案CV2解析 由题意知，乘客受到座椅的压力F=mg，则F+mg = 2mg = mR，故 最高点处速度大小。二,C正确。6. （杆模型）如图所示，质量为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的 另一端O做圆周运动。小球运动到最高点时速度为v= %, L是球心到O 点的距离，则球对杆的作用力是（）A.；mg的拉力B.；mg的压力一3C.零D.mg的压力答案
12、BV 2解析 当重力完全充当向心力时，球对杆的作用力为零，mg = m下，解得1V2V =、.JgL，而.；2gL；gL时，故杆对球是支持力，即mg - FN = L，解得fn = |mg，由牛顿第三定律，球对杆的压力为?mg，故选B。7. （轻杆模型）（多选）如图所示，小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆 周运动，下列说法正确的是（）A. 小球通过最高点时的最小速度是.；位B. 小球通过最高点时的最小速度为零C. 小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力D. 小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力答案BD解析圆形管外侧、内侧都可以对小球提供弹力，故
13、小球通过最高点的最小 速度为零，A错误，B正确。小球在水平线ab以下时，合外力必须有指向圆心 方向的分力提供向心力，故外侧管壁一定对小球有作用力，C错误，D正确。8. （杆模型）长L = 0.5 m的轻杆，其一端连接着一个零件A, A的质量m = 2 kg。现让A在竖直平面内绕轻杆另一端。点做匀速圆周运动，如图所示。在A 通过最高点时，求下列两种情况下A对杆的作用力大小。（g=10 m/s2）（1）A的速率为1 m/s；（2）A的速率为4 m/s。答案（1）16 N （2）44 N解析 以A为研究对象，设其受到杆的拉力为巳则有mg + F=m。(1) 代入数据v1 = 1 m/s ,可得 F =mfVi-gl = 2xf- -10)N=- 16 N, 1kL7E5J即A受到杆的支持力为16 N。根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为压力，大小为16 N。(2) 代入数据v2 =4 m/s ,可得乌 = 2乂儒-10)N = 44 N,即A受到杆的拉力为44 N。根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为拉力，大小为44 N。
