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1、第四节 平面向量应用举例,1.向量在平面几何中的应用(1)平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题.,(2)用向量解决常见平面几何问题的技巧.,a=b(b0),x1y2-x2y1=0,ab=0,x1x2+y1y2=0,(3)用向量方法解决平面几何问题的步骤.2.平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成和向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决.(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积,即W=Fs=|F|s|cos(为F与s的夹角).,判断下面结论是否正确(请在
2、括号中打“”或“”).(1)若 则A,B,C三点共线.()(2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决.()(3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算.()(4)在ABC中，若 则ABC为钝角三角形.(),【解析】(1)正确.因为 有相同的起点A，故A，B，C三点共线，故正确.(2)正确.解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题可利用向量的共线、数量积、模等知识解决，故正确.,(3)正确.由于向量的坐标把数和形结合在一起，所以在向量的应用中，坐标运算起到“桥梁”的作用.(4)错误.由 可得角B为锐角，但三角形的形状不能判定.故
3、不正确.答案:(1)(2)(3)(4),1.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1,F2成60角，且F1,F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()【解析】选D.|F3|2=|F1|2+|F2|2+2|F1|F2|cos 60=28,所以|F3|=选D.,2.若不重合的四点P，A，B，C，满足 则实数m的值为()(A)2(B)3(C)4(D)5【解析】,3.在ABC中，C90，且CACB3，点M满足 等于()(A)2(B)3(C)4(D)6【解析】选B.由题意可知，,4.在ABC中，已知向量 满足 则ABC为()(A)等边三角形(B)直角三角形(C
4、)等腰非等边三角形(D)三边均不相等的三角形【解析】选A.由 知ABC为等腰三角形，且ABAC.由 知，60，所以ABC为等边三角形，故选A.,5.在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足 则点P的轨迹方程是_.【解析】由 得(x，y)(1，2)4，得x2y4，即x+2y-4=0.答案:x2y40,考向 1 向量在平面几何中的应用【典例1】(1)平面上O,A,B三点不共线，设 则OAB的面积等于(),(2)若等边ABC的边长为 平面内一点M满足 _.,【思路点拨】(1)先求出cosa,b，再求出sina,b，求出三角形的面积化简即可.(2)一种方法是建立平面直角坐标系
5、，将问题转化为向量的坐标运算即可;另一种方法是将 表示,然后用数量积的定义计算.,【规范解答】(1)选C.由条件得,(2)方法一:以BC的中点为原点，BC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，根据题设条件可知A(0，3)，B(0),C(0).,答案:-2,【拓展提升】平面几何问题的向量解法(1)坐标法.把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.(2)基向量法.适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于未知量的方程来进行求解.,【提醒】用坐标法解题时，建立适当的坐标系是解题的关键，用基向量解题时要
6、选择适当的基底.,【变式训练】(1)如图，O，A，B是平面上的三点，向量 设P为线段AB的垂直平分线CP上任意一点，向量若|a|=4，|b|=2，则p(a-b)=()(A)8(B)6(C)4(D)0,【解析】选B.知|p-b|=|p-a|，|p-b|2=|p-a|2，p2-2pb+b2=p2-2pa+a2，得2pa-2pb=a2-b2=16-4=12，p(a-b)=6.,(2)(2013重庆模拟)在直角梯形ABCD中，ABCD,ADAB,B=AB=2CD=2,M为腰BC的中点,则=()(A)1(B)2(C)3(D)4,【解析】选B.如图，以点A为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，由
7、题意知B(2,0),D(0,1),C(1,1).,考向 2 向量在三角函数中的应用【典例2】(1)(2012陕西高考)设向量a=(1,cos)与b=(-1,2cos)垂直，则cos 2等于(),(2)(2013保定模拟)已知点A(1,1),B(1,-1),C(cos,sin)(R)，O为坐标原点.若 求sin 2的值；若实数m,n满足求(m-3)2+n2的最大值.,【思路点拨】(1)由向量垂直关系，可计算cos 2的值.(2)由 得到关于的关系式，两边平方可求解；用含的关系式表示m,n，然后转化为三角函数的最值问题求解.,【规范解答】(1)选C.已知a=(1,cos)，b=(-1,2cos)，
8、ab，ab=0，-1+2cos2=cos 2=0，故选C.,【互动探究】在本例题(2)的第小题中，若将条件“”改为“”，则如何解答？【解析】,【拓展提升】向量与三角函数综合题的答题策略(1)当题目条件中给出的向量坐标中含有三角函数,并且求有关的三角函数问题，解题时首先利用向量相等、共线或垂直等将问题转化为三角函数的关系式，然后利用三角函数的知识解决.(2)当题目条件中给出的向量坐标中含有三角函数,并且求向量的模或其他向量的表达形式，解题时要通过向量的运算，将问题转化为三角函数的有界性，求得最值(或值域).,【变式备选】(1)已知向量a=(cos,-2)，b=(sin,1),且ab，则2sin
9、cos 等于()【解析】选D.由ab得cos=-2sin，,(2)已知A，B，C的坐标分别为A(3，0)，B(0，3)，C(cos，sin)，().若 求角的值；若 的值.,【解析】(cos 3，sin)，(cos，sin 3)，(cos 3)2sin2106cos，cos2(sin 3)2106sin，即106cos 106sin，得sin cos.又()，,由得(cos 3)cos sin(sin 3)1，sin cos 两边分别平方，得12sin cos 2sin cos,考向 3 向量在解析几何中的应用【典例3】(1)已知两点M(3，0)，N(3，0)，点P为坐标平面内一动点，且 则动
10、点P(x，y)到点M(3，0)的距离d的最小值为()(A)2(B)3(C)4(D)6,(2)在平行四边形ABCD中，A(1，1)，=(6,0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.若=(3,5)，求点C的坐标；当 时，求点P的轨迹.,【思路点拨】(1)先判断点P的轨迹，然后根据点M的特点求解.(2)设出点C的坐标，根据 可得所求；设出点P的坐标(x,y)，由条件得四边形ABCD为菱形，根据 可求得x,y间的关系，即得点P的轨迹方程，进而可得轨迹.,【规范解答】(1)选B.因为M(-3，0)，N(3，0)，所以 化简得y2=-12x，所以点M是抛物线y2=-12x的焦点，所以点P到点M
11、的距离的最小值就是原点到M(-3，0)的距离，所以dmin=3.,(2)设点C的坐标为(x0，y0)，又(3，5)(6，0)(9，5)，即(x01，y01)(9，5)，x010，y06，即点C(10,6).设P(x,y)，则=(x-1,y-1)-(6,0)=(x-7,y-1)，,(x7，y1)(3x9，3y3)0，即(x7)(3x9)(y1)(3y3)0.x2y210 x2y220.即(x-5)2+(y-1)2=4.又当y=1时，点P在AB上，与题意不符,故点P的轨迹是以(5，1)为圆心，2为半径的圆且去掉与直线y=1的两个交点.,【拓展提升】向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量
12、在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.(2)工具作用：利用abab=0(a,b为非零向量),aba=b(b0),可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.,【变式训练】已知点A(-1,0)，B(1,0)，动点M的轨迹C满足 的值，并写出轨迹C的方程.【解析】设M(x,y)，在MAB中，|AB|=2，AMB=2，根据余弦定理得,因此点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆(去掉x轴上的两点),a=2，c
13、=1.所以轨迹C的方程为,【易错误区】忽视分类讨论思想的运用致误【典例】(2013衡阳模拟)已知向量(1)若ABC为直角三角形，求k值.(2)若ABC为等腰直角三角形，求k值.,【误区警示】解答本题时容易出现以下错误：1.解决第(1)问时容易误认为只有A为直角，从而导致解答不完整.2.解决第(2)问时不知在上一问的基础上进行，没有分类验证,导致无法解题或结果错误.,【规范解答】(2-k,-1)(1,k)=0，解得k=1;若B=90，则(2-k,-1)(k-1,k+1)=0,得k2-2k+3=0,无解;,若C=90，则(1,k)(k-1,k+1)=0，得k2+2k-1=0，解得综上所述，当k=1
14、时，ABC是以A为直角顶点的直角三角形；当 时，ABC是以C为直角顶点的直角三角形.,(2)当k=1时，,综上所述，当k=1时，ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形.,【思考点评】1.向量共线、向量的模、向量的数量积设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx1y2=x2y1,abx1x2+y1y2=0(a,b为非零向量).2.向量数量积的作用向量数量积在几何中有着广泛的应用，利用向量的数量积可解决长度、夹角和垂直等问题.在应用时要注意数量积的坐标表示与向量共线的坐标表示的区别，在这里容易因为形式上的混淆而导致错误.,1.(2013南平模拟)已知a,b,c为非零的平面向量，甲：ab=ac
15、，乙：b=c，则甲是乙的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件,【解析】选B.由ab=ac得a(b-c)=0，但不一定得到b=c；反之，当b=c时，b-c=0，可得a(b-c)=0，即ab=ac.故甲是乙的必要不充分条件.,2.(2013宣城模拟)已知ABC的顶点坐标为A(3,4),B(-2,-1),C(4,5)，D在边BC上，且SABC=3SABD，则AD的长为(),【解析】选C.由题意知，,3.(2013东营模拟)如图，在ABC中，AB=4，ABC=30，AD是BC边上的高，则 的值等于()(A)0(B)4(C)8(D)-4,【解析】选B.因为
16、AD是BC边上的高，所以由AB=4，ABC=30可得 所以,4.(2013德州模拟)已知向量a=(x2,x+1)，b=(1-x,t),若函数f(x)=ab在区间-1,1上是增函数，则实数t的取值范围是_.【解析】f(x)=ab=(x2,x+1)(1-x,t)=-x3+x2+tx+t,f(x)=-3x2+2x+t.f(x)=ab在区间-1,1上是增函数，,f(x)=-3x2+2x+t0在-1,1上恒成立，t3x2-2x在-1,1上恒成立.而当x-1,1时，3x2-2x5，当且仅当x=-1时等号成立.t5,即所求实数t的取值范围是5,+).答案:5,+),1.设向量a与b的夹角为，定义a与b的“向
17、量积”：ab是一个向量，它的模|ab|=|a|b|sin，若a=(-1)，b=(1,)，则|ab|=()【解析】选C.,2.已知O是坐标原点，点A(-1，1),若点M(x，y)为平面区域 上的一个动点，则 的取值范围是()(A)-1,0(B)0,1(C)0,2(D)-1,2,【解析】选C.由题意，不等式组 表示的平面区域如图阴影部分所示：,由向量数量积的坐标运算易得：令-x+y=z,即y=x+z,易知目标函数y=x+z过点B(1，1)时，zmin=0,目标函数y=x+z过点C(0,2)时，zmax=2,故 的取值范围是0,2.,3.设集合D=平面向量，定义在D上的映射f满足对任意xD，均有f(x)=x(R且0).若|a|=|b|且a,b不共线，则(f(a)-f(b)(a+b)=_；若A(1,2),B(3,6)，C(4,8),且 则=_.,【解析】答案:0 2,
