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1、牛顿法与修正牛顿法,1、思想来源,梯度法相邻两次搜索方向总是相互正交，搜索路线呈锯齿形，使得其在极小点附近，收敛速度越来越慢。人们试图找到这样一种方向：它直接指向最优点，使得从任意选定的初始点出发，沿此方向迭代一次就能达到极小点。,2、基本思想 在求目标函数 的极小值时，先将它在 点附近展开成泰勒级数的二次函数式，然后求出函数的极小值点，并以此点作为欲求目标函数的极小值点 的一次近似值。设目标函数是连续二阶可微的，将函数在点 按泰勒级数展开，并取到二次项：,对x求导，其极值点必满足一阶导数为零，所以，得到 式中，为Hessian矩阵的逆矩阵。,在一般情况下，不一定是二次函数，因而 也不可能是
2、的极值点。但是在 点附近，函数 和 是近似的，所以可以用 点作为下一次迭代，即得 如果目标函数 是正定二次函数，那么 是个常矩阵，逼近式1 是准确的。因此由 点出发只要迭代一次既可以求 的极小点。,式与一维搜索公式 比较，则有搜索 方 向，步长因子,牛顿法的迭代算式,其中 称为牛顿方向。,3、迭代步骤 一 给定初始点，计算精度，令k=0；二 计算 点的梯度、及其逆矩阵。三 构造搜索方向,四 沿 方向进行一维搜索，得迭代点 五 收敛判断：若，则 为近似最优点，迭代停止，输出最优解 和 终止计算。若不满足，令k=k+1，转第二步继续迭代。,例：用牛顿法求函数 的极小值。,解：(1)取初始点(2)计
3、算牛顿方向,故,(3)极小值,4、优缺点 数学分析表明，牛顿法具有很好的局部收敛性质，对二次函数来说，仅一步就达到优化点，但对一般函数来说，在一定条件下，当初始点的选取充分接近目标函数的极小点时，有很快的收敛速度，但若初始点选取离最小点比较远，就难保证收敛；牛顿法必须求一阶、二阶导数及求逆阵，这对较复杂的目标函数来说，是较困难的。,5、修正牛顿法,当目标函数为非二次函数时，目标函数在 点展开所得的二次函数是该点附近的一种近似表达式，所求的极小点，当然也是近似的，需要继续迭代。但是当目标函数严重非线性时，用式 进行迭代则不能保证一定收敛，即在迭代中可能会出现，所得到的下一点不如原来的好。这和初始
4、点的选择是否恰当有很大的关系。,为了克服牛顿法的上述缺陷，可以通过在迭代中引入步长因子和一维搜索加以解决，即令 式中，-一维搜索所得的最优步长因子。因而将 称为牛顿方向。经过这种修改后的算法称为修正牛顿法。也称牛顿方向法or阻尼牛顿法。,举例：用修正牛顿法求解下列无约束优化问题，已知,解：因为所以,由修正牛顿法，得带入原函数对 求导解得代入因为 故迭代终止；所以最优解为,6、牛顿法的评价,由于采用了目标函数的二阶导数信息，收敛速度比梯度法快。牛顿法迭代公式与一般迭代公式的区别在于，没有最优步长因子。这使得在接近最优点时，由于步长不能调节，可能会错过最优点，造成算法的稳定性欠佳，甚至造成不能收敛而导致计算失败。为了克服这一点，提出了修正牛顿法，它既保持了牛顿法收敛快的特性，有放宽了对初始点选择的要求，保证每次迭代的结果都是目标函数值下降。需要计算Hessian矩阵及其逆矩阵，内存占用、计算量大；此外二阶导数不存在，或者逆矩阵不存在的情况不能应用。,
