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1、 绪论11.1微分方程的解析解11.1.1:求解微分方程的通解11.1.2：求微分方程的特解21.2 利用 Mathematica 作图21.2.1 利用 Mathematica 作一维图像21.2.2 利用 Mathematica 作二维图像41.3 Mathematica 的动画效果4二、运用Mathematic解决数学物理方法里的几个典型的方程52.1三维波动方的求解52.2三维输运方程的解62.3亥姆霍兹在球坐标系下方程的解7三、Mathematica 在电动力学中的应用113.1谐振腔113.2波导13四、结论15致谢17参考文献181、绪论本文主要是介绍Mathematica在大学
2、物理方面的应用，主要的目的是让学生能 够运用这个软件去解决大学学习中的一些复杂问题，在这方面国内外已经有很多 学者把这个计算软件与各门学科联系起来，并且取得了不少的成就，它很好地结 合了数值和符号计算引擎、图形系统、编程语言、文本系统、和与其他应用程序 的高级连接。很多功能在相应领域内处于世界领先地位。本人在学习这个软件是 发现它的计算功能确实很强大，用来计算我们大学物理中遇到的一些难题时会让 我们的解题变的很轻松。所以我想能不能把物理学习和Mathaematica结合起来， 这样能使我们在学习大学物理时省下更多的时间去思考而不是计算。同时 Mathematica有很多其他强大的功能，我们同学
3、如果有什么自己的想法可以通过 Mathematica来进行实验，验证我们的结论是否正确。这是我的一点浅薄的想法。 本文主要采用了文献资料法和理论分析法，以及实验法。以下是关于Mathematica 的一些常用的用法。1.1微分方程的解析解Mathematica提供了一个求解微分方程的函数dsolve，方程求解可以通 过调用dsolve来实现，其调用格式：Dsolvef,yx,x，其中f为求解微分方程 的表达式；x为初始条件(若省略则为求通解)；x为描述微分方程 的自变量；对于f的描述如：Dy表示y，D2y表示y，依次类推；初始条 件的描述如:y 0=1表示y(0)=1 1.1.1：求解微分方程
4、的通解例1：用两种方式解非齐次一阶线性微分方程y+ xy = xf = D y x, x + x * y x = x, DSolve f, y x, x, DSolve f, y, x#12-2Vxyx + y x =x,yx 1 + e一2 C1l,yJ1 + e一 2 C1 J例2：解非齐次二阶线性常系数常微分方程y + y = cosxf = Dyx,x,2 + yx = 2*cos x,DSolvef, yx,xy x + y x = 2cos x ,x 1yx- C2cosx + cosx3-C1sinx + 2sinx(- + sin2x)2 41.1.2 :求微分方程的特解例1.
5、求解二阶线性方程y”+4y=3x的处置条件y(0)=0和y(0)=1的特解f = D y x, x,2 + 4 y x = 3 x, y0 = 0, y 0 = 1, DSolve f, y x, xf = D y x, x,2 + 4 y x = 3 x, y0 = 0, y 0 = 1,-11 . c 、yx- 丁(3x + sin2x)42例2.求解齐次微分方程y =(-2x+y)/(x+2y)在定解条件y(1)=1下的隐式特解eqn = D y x, x = (-2 x + y x)/( x + 2 y x);con = y1= 1;eqns = eqn, consol = DSolv
6、eeqns, yx, xCleareqn, com, c, sol y I x = -2 x + y x, y1= 1x + 2 y xSolve-ArcTan旦+ Log = -； - Log2, y xxx 2(1+ y x2)4x 21.2 利用 Mathematica 作图1.2.1利用Mathematica作一维图像绘制函数y=(ex)*sin(20x)在区间【0，n】上的图形，函数y=tanx在区间【-2 n，2 n】的图形，函数y=sinx/x在区间【-2 n，2 n】的图形。PlotExpx * Sin20x,x,0, PiPlotTan x, x, -2 Pi,2 PiPlo
7、t Sin x / x, x, -2 Pi,2 Pis权ng粟图1.3 y=sinx/x的图像1.2.2利用Mathematica作二维图像作函数z=1/(x-1)”2+(y-2)”2)在区域-1.5, 2x-2,4上的图形，规定z的 范围在0,1.5中，且样本点增加到50点，添加上坐标轴的标签。然后，改造这 个图形，不画范围盒，改变视点位置，取消缺省的光线而代之以用与z坐标有关 的色调来着色，孔洞不再覆盖平面，不画网格线盒坐标轴。将这两个图形列阵显 示，来观察他们间的差异。g1 = Plot 3D1/( x - 1)A2 + (y - 2)人 2), 1.5,2,y,-2,4,PlotRan
8、ge- 0,1.5,PlotPoints- 50AxesLabel- x,y”,”z,DisplayFunction- Identity;g 2 = Showg1,Boxed- False,ViewPo int s- 1,0.7,1,Lighting - False, ColorFunction- Hue,ClipFill- None,Mesh- False,AxesEdge- None,DisplayFunction- Identity;ShowGraphicsArrayg1, g 2;图1.4曲面图形选用不同选项的差异1.3 Mathematica的动画效果例：用函数Animate作曲面动
9、画，动画曲面是变化范围0, n 是参数t的函 数 z=e-(x”2+y2)/80*sin( x2+y2+t( n -t)在矩形区域-3 n ,3 n x-3n ,3 n 上的图形。 False, Boxed一 False, Mesh False, PlotRange 一1.0,1.0, PlotPo int s一 60, t,0, tmaxCleara, b, t max图1.5三维动态图像2、运用Mathematic解决数学物理方法里的几个典型的方程2.1三维波动方的求解这个物理问题会在以后所要学习的电动力学以及量子力学上都会有具体的应 用，这里我们通过运用Mathematica来解决这个问
10、题，为后面学习打下基础。同 时使我们学生学会知识的结合应用。(2-1)（2-2）u 代-a 2 a u=0令u（x,y,z,t）=T（t）v（x,y,z）,带人（1）式分离变量得T + 人 a2 T=0Av+k2v=0(2-3)我们运用Mathematica来解这种常微分方程比较容易。DSolveT t + k 人 2 * a 人 2 * Tt = 0,Tt,tT t , t -2 Cosakt + C1Sinakt 我们令 m=C2,n=C1;由于上面方程中的a ,k,C2,C1,的值都是待定的我们可以给他们赋值K-5,5;a0,50;m0,100;n0,100k = 2; a = 2; m
11、 = 50; n = 50;Plotm * Cosakt + n * Sinakt, t,0,2 Pi图2.1三维波动方程时间函数的图像2.2三维输运方程的解物体内部的温度分部不均匀，热量就要从温度高的放向温度低的地方，这种现 象叫做热传导。这里我们考虑时间和空间的变化。三维热传导方程分有热源和无 热源的，这里我们主要讨论无热源的三维热传导方程u -a 2 A u=0（2-4）我们分离时间与空间变量得到T，+ k 2a 2 T=0（2-5）(2-6)A v+k &=0运用Mathematica对于上面方程中的时间变量进行求解，空间变量得求解我们 放到后面一起求解。DSolveT t + k 人
12、 2 * a 人 2 * Tt=0,Tt,t(T t - e - a2k 2tC1K0,5;a0,5,M0,10k = 1; a = 1; M = 2;图2.3三维热传导方程时间函数的图像2.3亥姆霍兹在球坐标系下方程的解这里我们把上面分离出来的空间变量也就是亥姆霍兹方程拿来分析一下，在平 面坐标系下我们不易求的简易的解，故我们把平面坐标系转换成球坐标系下，得 到下面的亥姆霍兹方程在球坐标系下的方程，1 88 v 155 v 182v厂（尸2 = +k （sin。？） + k 2v = 0（2-7）r2 8 r8 r r2 sin0 8080r2 sin2 0 8甲2利用球坐标将方程分离变量得
13、到v（r, 0 , 9 ）=R（r）Y（ 0 ,中），带入上式得到17(尊+ 土*。尊)+ 七竺 + 如霰=。(2-8) r2 8 r6 r r2 sin0 6060r2 sin2 0 8甲2以r2/RY乘遍上式并分离变量，得到两个方程，d dR(r2 )+ k2r2 -1(l + 1)R = 0 dr dr1 8 八6 Y 18 2Y布 80(Sin侦)+ 和疝 + l(l + 1)Y = (2-9)(2-10)将上式（10）中的Y分离变量得到Y （0，9）= 0 （0）（9）带入（10）式得到sin 0 d d 0-1 d 2 中O d0 (sm0 0) +1(l + 1)sin20 =
14、= *（2-11）sin0 七(sin0 d0) +1(l + 1)sin20 以 0 d0d0（2-12）-1 d 2 中=人中d 9（2-13）sin0 J0 (sin0，；)+ (l(l + 1)sin2 0 -人)Q = 0 +人=0（2-14）（2-15）对于式14中的人=m 2 ,m=0,1,2,3.运用Mathematica进行运算DSolve ”济+ m 人 2 * 。 = 0,。,。- C2Cosm。 + C1SinmA0,100; B0,100; m-10,10A = 50; B = 50; m = 5;Plot = ACosm e(-i-i 2)0C1)d dR而对于万程
15、(9)即(尸2d-) +k2r2 -l(l +1)R =0为l阶球贝塞尔万程，因为k 0。 dr dr可把自变量函数变为yx,x x=kr, R(r)= ：- y(x)(2-21)方程变为x2 d2y + xdy + x2 -(l +1/ 2)2y = 0 dx 2 dxDSolve Dr A 2 D-r , r , r + (k 人 2 * r A2 -1 (l +1) r = 0, r , r -r -*(BesselJ 上(-l 一 2l),2kr C1)+%(BesselJ (l + 2l),2kr C2)令 A=C1,B=C2 l0.1,7;k0.1,10;A0.1,0.1;B10,
16、10A = 0.1; B = 10; l = 5; k = 5;运用Mathematica进行作图Plot-L( BesselJ 上(-l 2l), CCosk1x + C1Sink1xYy- C2Cosk2y + C1Sink2yZz- CCosk3z + C1Sink3zu = X xY y Z z 根据边界条件：当=0dnE = A cos k x s i nk y sik zx 1xyzE = A sin k x cosk y sik z(3-3)Y 2xyzE = Asin k x s i nk y c o k z其中考虑到边界条件有：其中k L1,k L2,k 3必须为兀的整数倍7
17、m兀7n兀7P兀kx =L,ky = L2 ,kz = L3(m，n,p=0,1,2)m,n,p 分别为矩形三边所含的半波数目。由于 V E=0，所以 kA + k A + kA = 0(3-4)x 1 y 2 z 3m兀n兀双E x_, y _, z _J: = a1Cos-Li xSin应 J- zJp冗E x_, y _, z _J: = a2SinL xJCos应 JJSin zJ mL3 . nL3 - al +a 2Ez x _, y _, z _J：=p-L2Si】 xJSin % y JCos% z JL1 = 4; L 2 = 5; L3 = 7; al = 4; a 2 =
18、 3; m = 3; n = 4; p = 5;Ea =非乂x，y，zJ2 + 丫x,y,zJ2 + E x,y,zJ2;DE = D Ea,( x, y, zJ;VectorPlot 3D DE,x, -2,2, y, 2.5,2.5,z, -3.5,3.5,VectorStyle- Arrow3D,VectorPoint s- 25, VecctorColorFunction- Rainbow, ColorFunction- Functionx, y, vx, vy,n, Huen, y,1JJ, VetorScale- 0.1,Scaled0.5J,Re gionFunction- Fu
19、nctionx, y, z,-0.1 = Ea None,ContourStyle Red,Greed,Blue4、图3.2电磁波在波导内传播的图像结论Mathematica系统是目前世界上应用最广泛的符号计算系统，能够完成符 号和数值运算、数学图形绘制甚至动画制作等多种功能。Mathematica被广 泛地应用于数学、物理、化学、生物、航空航天等许多领域。无论您属于什么 领域，Mathematica都能与您的课程和研究结合。无论计算、编程、学习、文 档制作、或是开发，Mathematica都能给到最大的帮助。本文主要讲述了在大 学物理方面的一点应用，我们在大学物理的学习过程中会遇到各种不太了
20、解的 问题，仅凭自己主观的抽象思维有时不能把问题真正的搞懂，这时我们可以借 助Mathematica这个计算工具是我们能够形象的理解一些物理现象。大学中一 些复杂的物理计算过程通过Mathematica来运算就会变得非常的简洁。省下了 很多的时间，让我们同学有更充分的时间在研究物理问题上，而不是单纯的解 数学公式。对于本科生进行探究性学习也很有好处，有些同学在自己学有余力 的时候可以自己研究大学中的一些复杂的物理现象，借助Mathematica使我们 本科生能够自己提高自己的专业水平，这是我的一点浅薄的认识。致谢毕业论文大体部分已经完成，现在回头看看，才知道当初的自己 有多么狂妄。论文认真写起
21、来岂是一件容易的事情，可我第一次见李 老师时就说要选计算物理方面的题目。李老师不仅没有责怪我，反而 很支持我的想法，还帮我借资料，从各个方面给我帮助。我能按照自 己的意愿将论文做到现在，这都有赖于老师宽广的胸怀和不拘一格思 想，能选择李老师当我的指导老师是我的荣幸，在此感谢老师这一学 期来对我的支持和照顾。大学生活即将结束，这是我人生最美好的一段时光，我非常感谢 学校能给我这样一个时间和空间。最后，我要感谢我的“家人”，谢谢他们给我的人生带来莫大的安 慰。参考文献1 赫孝良.周义仓.MATHEMATICA.西安交通大学出版社:2002.12 .P992 桂子鹏.朱小平.方敏.MATHEMATI
22、CA实用手册.2002.10.P1123 周明儒.数学物理方法.高等教育出版社,2008.1.P1534 郭硕鸿.高等教育出版社.2008.6 .P.1295 董键，Mathematics与大学物理计算.清华大学出版社2010.2.P1776 杜建明.Mathematics在电磁场理论中的应用.合肥大 学出版社.2004年.P111 出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣 不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光 先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。宫中府中，俱为一体；陟
23、罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其 刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚 以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰能二是以众议举宠为督：愚 以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。先帝在时， 每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣， 愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也，。臣本布衣，躬
24、耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉 屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。后值倾覆，受任于 败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之 明；故五月渡泸，深入不毛。今南方已定，兵甲己足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝， 攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。至于斟酌损益，进尽 忠言，则攸之、祎、允之任也。愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。若无兴德之言，则责 攸之、祎、允等之慢，以彰其咎；陛下亦宜自谋，以咨诹善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。 臣不胜受恩感激。今当远离，临表涕零，不知所言。
