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1、,第一章习题解答,1.2 证明,证：,n为奇数,0,1.4 计算下面两个函数的一维卷积,解：（1）改变量,（2）折叠,（3）位移,当,（3）位移,当,相乘、积分得卷积,如图,当,如图,相乘、积分得卷积,0,其它,1.5 计算下列一维卷积,解（1）,2,1,0,其它,0,其它,=2,=,1.6 已知,的傅里叶变换为,试求,解：,利用傅里叶变换的坐标缩放性质可求得答案,1.10设线性平移不变系统的原点响应为,试计算系统对阶跃函数step(x)的响应。,解：,（1）、将f(x)和h(x)变为f()和h()，并画出相应的曲线,（2）、将h()h(-),只要将h()曲线相对纵轴折叠便得到其镜,像h(-)
2、曲线。,（3）、将曲线h(-)沿x轴平移x便得到h(x-)，,因此 g(x)=0,1.11 有两个线性平移不变系统，它们的原点脉冲响应分别为,和,试计算各自对输入函数,的响应,和,解：,1.12 已知一平面波的复振幅表达式为,试计算其波长以及沿x,y,z方向的空间频率。,第二章习题解答,2.1单位振幅的平面波垂直入射到一半径为a的圆形孔径上，试求菲涅耳衍射图样在轴上的强度分布。,解：,解：设入射激光束的复振幅A0，强度为,2.2 焦距f=500mm，直径D=50mm的透镜将波长,的激光束聚焦，激光束的截面D1=20mm。试求透镜焦点处的光强是激光束光强的多少倍？,通过透镜后的出,射光场为,将此
3、式代入菲涅耳衍射公式,3、波长为的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上，在孔径平面上有一个足够大的模 板，其振幅透过率为,求透射场的角谱。,解：,2.10一个衍射屏具有下述圆对称振幅透过率函数,（1）这个屏的作用在什么方面像一个透镜？（2）给出此屏的焦距表达式。（3）什么特性会严重地限制这种屏用做成像装置（特别是对于 彩色物体）,平面波,会聚球面波,发散球面波,在成像和傅里叶变换性质上类似于透镜。,焦距,色散特性会严重地限制这种屏用做成像装置,第三章习题,3.1参看图，在推导相干成像系统点扩散函数式时，对于积分号前的相位因子,试问（1）物平面上半径多大时，相位因子,相对于它在原点之值正好改变弧
4、度？,（2）设光瞳函数是一个半径为a的圆，那么在物平面上相应h的第一零点的半径是多少？,（3）由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么a,和d0,之间存在什么关系时可以弃去相位因子,解：,（1）原点相位为零，因此，与原点相位差为的条件是,（2）由式，相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅和费衍射图样，其中心位于理想像点,式中,考虑(x0,y0)的点扩散函数,且设其第一个零点在原点处,如图，只有在以r0为半径的区域内的各点才对,有贡献,（3)根据线性系统理论,像面上原点处的场分布,必须是物面上所有点在像面上的点扩散函数对原点的贡献h(x0,yo;0,0).按照上面的分析,如果略去h第一
5、个零点以外的影响,即只考虑h的中央亮斑对原点的贡献,那么这个贡献仅仅来自于物平面原点附近r小于等于r0范围内的小区域.当这个小区域内各点的相位因子expjkr20/2d0变化不大,就可认为(3.1.3)式的近似成立,而将它弃去.假设小区域内相位变化不大于几分之一弧度(例如/16)就满足以上要求,则,数据：,这一条件是极容易满足的。,3.2一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为,放在上图所示的成像系统的物平面上，用单色平面波倾斜照明，平面波的传播方向在x0z平面内，与z轴夹角为，透镜焦距为f,孔径为D。（1）求物体透射光场的频谱；（2）使像平面出现条纹的最大角等于多少？求此时像面强度分布；（3）若采
6、用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与=0时的截止频率比较，结论如何？,解：斜入射的单色平面波在物平面上产生的场为,则物平面上的透射光场为,其频谱为,由此可见，相对于垂直入射照明，物频谱沿轴整体平移了sin/距离。,（2）要使像面有强度变化，至少要有两个频率分量通过系统。系统的截止,最大的角,此时像面上的复振幅分布和强度分布为,(3）照明光束的倾角取最大值时，,系统的截止频率为,因此光栅的最大频率,因此当采用最大倾角的平面波照射时，系统的截止频率提高了一倍，也就是提高了系统的极限分辨率，但系统的通带宽度不变。,3.3光学传递函数在=0处都等于1,这是为什么？光学传递函数的值可能
7、大于1吗？如果光学系统真的实现了点物成点像，这时的光学传递函数怎样？,解：（1）,光学传递函数为,所以当,=0,时。,这是归一化的结果。,（2）由上式可知，光学传递函数的值不可能大于1。,（3）如果光学系统真的实现了点物成点像，点扩散函数是函数，这时的光学传递函数为常数，等于1.,3.4 当非相干成像系统的点扩散函数hI(xi,yi)成点对称时，则其光学传递函数是实函数。,OTF,所以OTF为实函数,3.5非相干成像系统的出瞳是由大量随机分布的小圆孔组成。小圆孔的直径都为2a，出瞳到像面的距离为di，光波长为，这种系统可用来实现非相干低通滤波。系统的截止频率近似为多少？,用公式(3.4.15)
8、来分析.首先,由于出瞳上的小圆孔是随机排列的,因此无论沿哪个方向移动出瞳计算重叠面积,其结果都一样,即系统的截止频率在任何方向上均相同.其次,作为近似估计,只考虑每个小孔自身的重叠情况,而不计及和其它小孔的重叠.这时N个小孔的重叠面积除以N个小孔的总面积,其结果与单个小孔的重叠情况是一样的,即截止频为约为2/di,由2很小,所以系统实现低通滤波。,OTF,第五章习题,5.1证明:若一平面物体的全息图记录在一个与物体相平行的平面内,则最后所得到的像将在一个与全息图平行的平面内.(为简单起见,可设参考光为一平面波.),解：利用点源全息图公式(5.5.13)-(5.5.15),取物平面上任一点来研究
9、.为简单起见,设1=2,参考光波和再现光波是波矢平行于yz平面的平面波,即zP=zr=,xP=xr=0.于是有,不管是原始虚像还是共轭实像，zi均与x0,y0无关，即不管物点在物平面上位于何处，其像点均在同一平面内,但位置有变化,随参考光波和再现光波的不同而在像平面内发生平移.实际上zi只与z0有关，而平面物体的z0都相同，所以再现像在同一平面内。,(2)设 zp=,Zr=2zo,zo=1Ocm,问Zi是多少?放大率M是多少?,5.2 制作一全息图,记录时用的是氧离子激光器波长为488.Om的光,而成像是用He-Ne激光器波长为632.8m的光:,(1)设zp=,zr=,zo=1Ocm,问像距
10、zi是多少?,5.3证明:若2=l,及zp=Zr,则得到一个放大率为1的虚像;若2=l,及zp=-Zr时,则得到一个放大率为1的实像.,由可证明,5.4下表列举了几种底片的MTF的近似截止频率:型号 线/mm Kodak Tri-x 5O kodak 高反差片 60 kodak S0-243 300 Agfa Agepam FF 600设用632.8m波长照明,采用无透镜傅里叶变换记录光路,参考点和物体离底片lOcm.若物点位于某一大小的圆(在参考点附近)之外,则不能产生对应的像点,试对每种底片估计这个圆的半径.,5.6.3 无透镜傅里叶变换全息图,解：物点离参考点越远，空间频率越高。若,最高
11、空间频率，那么，只有坐标满足条件,是乳胶能分辨的,的那些物点才能在再现像中出现。,5.8、彩虹全息照相中使用狭缝的作用是什么?为什么彩虹全息图的色模糊主要发生在与狭缝垂直的方向上？,解：在彩虹全息照相中使用狭缝的目的是为了能在白光照明下再现准单色像.在普通全息照相中,若用白光照明全息图再现时,不同波长的光同时进入人眼,我们将同时观察到相互错位的不同颜色的再现像,造成再现像的模糊,即色模糊.在彩虹全息照相中,由于狭缝起了分色作用,再现过程中不同波长的光对应不同的水平狭缝位置,通过某一狭缝位置只能看到某一准单色的像,从而避免了色模糊.在彩虹全息照相中,为了便于双眼观察,参考平面波的选择总是使全息图
12、的光栅结构主要沿水平方向,（P142）因而色散沿竖直方向.狭缝沿水平方向放置,这样色散方向与狭缝垂直,即色模糊主要发生在与狭缝垂直的方向上.这样做的结果便于人眼上下移动选择不同颜色的准单色像.,5.9、说明傅里叶变换全息图的记录和再现过程中,可以采用平行光入射和点光源照明两种方式,并且这两种方式是独立的.,解：傅里叶变换全息图的核心是(1)通过一个傅里叶变换装置将物频谱记录下来;(2)再通过一个傅里叶装置将物谱还原成物.因此,不管记录和再现装置有何具体差异,只要有傅里叶变换功能即可.当把物体置于变换透镜的前焦面,若用平行光照明,则透镜的后焦面则为物的标准频谱面:若用点光源照明,则点光源的物像共
13、轭面即为物的标准频谱面.,因此,记录时无论用平行光或点光源照明,均可在相应的共轭面处记录下标准的物谱.同样,再现时无论用平行光照明或点光源照明均可在共轭面处得到物.平行光照明和点光源照明可任意配置,这两种方式是独立的。,5.10、曾有人提出用波长为0.1m的辐射来记录一张X射线全息图,然后用波长为600.nm的可见光来再现像.选择如图题5.3(上部)所示的无透镜傅里叶变换记录光路,物体的宽度为0.1mm,物体和参考点源之间的最小距离选为0.1mm,以确保孪生像和“同轴”干涉分离开。X射线底片放在离物体2cm处。（1）投射到底片上的强度图案中的最大频率（周/mm)是多少？（2）假设底片分辨率足以
14、记录所有的入射强度变化，有人提议用图5.3(下部）所示的方法来再现成像，为什么这个实验不会成功？,0.lmm,0.1mm,y,解：（1）选择参考光源位于坐标原点，且y轴方向向下，则在公式,这样一张全息图所记录的空间频率范围为,中,（2）当用波长600nm的单色平面波垂直照射这张全息图时，设U（x,y,0）为透过全息图的光场复振幅分布，则它的角谱为,因为,所以,不为零,0,其它,由角谱传播公式得,因为,这表明全息图所透过的波是倏逝波，在全息图后几个波长的距离内就衰减为零，没有波会通过透镜再成像，故实验不会成功。,第八章习题,8.1利用阿贝成像原理导出相干照明条件下显微镜的最小分辨距离公式,并同非
15、相干照明下的最小分辨距离公式比较,解：显微镜是用于观察微小物体的，可近似看作一个点，物近似 位于物镜的前焦点上。设物镜直径为D，焦距为f,如图所示。,对于相干照明，系统的截止频率由物镜孔径限制的最大孔径角,决定，截止频率为,从几何上看，近似有,因为物面上的空间频率大,于截止频率的细节不能通过系统，故其倒数为分辨距离。,对于非相干照相明，由瑞利判据可知其分距离为,非相干照明时显微镜的分辨率大约为相干照明的两倍。,8.2、在4f系统输入平面放置4Omm-l的光栅,入射光波长632.8nm.为了使频谱面上至少能够获得土5级衍射斑,并且相邻衍射斑间距不小于2mm,求透镜的焦距和直径.,设光栅比较宽，可
16、视为无穷，则透过率为,频谱为,x2,所以谱点的位置由,决定，即m级衍射在后焦面上,的位置由下式确定：,相邻衍射斑之间的距离,由光栅方程得,（2）,要在后焦面上能够获得土5级衍射斑,截止频率应大于第五级谱对应的衍射角，小角度下,因为D1不为零，所以当D满足下式时，上式一定成立,8.3观察相位型物体的所谓中心暗场方法,是在成像透镜的后焦面上放一个细小的不透明光阑以阻挡非衍射的光.假定通过物体的相位延迟1弧度,求所观察到的像强度(用物体的相位延迟表示出来).,在一般情况下,用显微镜只能观察物体的亮暗变化,不能辨别物体相位的变化.最初相位物体(如细菌标本)的观察必须采用染色法,但染色的同时会杀死细菌,
17、改变标本的原始结构,从而不能在显微镜下如实研究标本的生命过程.1935年策尼克提出的相衬显微镜,利用相位滤波器将物体的相位变化转换成可以观察到的光的强弱变化.这种转换通常又称为幅相变换.,如图透明相位物体放在P1面上，其复振幅透过率为,假定相移1，则可忽略2及更高级的项，于是复振幅透过率可以写为,物光波实际上可看作两部分，强的直接透射光和由于相位起伏造成的弱衍射光，一个普通的显微镜对上述物体所造成像，其强度可以写成,若在谱平面上放置细小的不透明的光阑作为空间滤波器，滤掉零频背景分量，则透过的频谱为,像面复振幅分布为,像面强度分布为,因此在像面上得到了正比于物体 相位平方分布的光强分布，实现了将
18、相位转换为强度分布的目的。不过光强不是相位的线性函数，这给分析带来一定的困难。,物体频谱为,8.4、当策尼克相衬显微镜的相移点还有部分吸收,其强度透射率等于(O1)时,求观察到的像强度表示式.,物体频谱为,现用一个滤波器使零频减弱，同时使高频产生一个/2的相移，即滤 波器的透过率表达式为,因此滤波后的谱为,像面复振幅分布为,像面强度分布为,像面强度分布为,像强度分布与相位分布成线性关系，容易分析，而且可以提高像衬度,更有利于观察。,输入为单位脉冲时，在L2的后焦面上形成的光场复振幅为,透过频率平面模片的光场分布为,如果要使系统的脉冲响应为s(x,y)，则应利用上式第三项，应要求该项的二次相位因子为零，即有,d=2f,这时输出为（反演坐标系中）,如果要使系统的脉冲响应为s*(-x,-y),则应利用上式中的第二项，应要求该项的二次相位因子为零，即有 d=0,这时输出为（反演坐标系中）,
