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1、第六章 定积分,第一节 定积分的概念,第二节 微积分基本公式,第三节 定积分的换元法,第四节 定积分的分部积分法第五节 广义积分,第一节 定积分的概念,一、定积分问题举例,1曲边梯形的面积,图6-1,所围成的平,面图形称为曲边梯形,如图,6-1.,求其面积的四,个,步骤：,(1)分割,任取分点把底边分成,个小区间.,(2)取近似,(3)求和,(4)取极限,要计算这段时间内所走的路程,(3)求和,二 定积分的定义,2.变速直线运动的路程,设某物体作直线运动，,上的连续函数，,(1)分割 任取分点,(2)取近似,(4)取极限,设函数,上有定义,任取分点,=1,2,n），记,在每个小区间,上任取一点
2、,作乘积,的和式：,上述和式的极限存在，,则称此极限值为函数,在区间,上的定积分，,（此时，也称,）记为,根据这个定义，两个实际问题都可用定积分表示为：,曲边梯形的面积,变速运动路程,三 定积分的几何意义,图形在,轴之上，积分值为正，有,图形在,轴下方，积分值为负，即,则积分值就等于曲线,在,轴上方的部分,与下方部分面积的代数和，如图62所示，有,图62,四 定积分的性质,性质1,性质2,性质3,性质4,性质5,则,性质6,则至少存在一点,使得,例 估计定积分,的值,解 先求,在1，1上的最大值和最小值,得驻点,在驻点及区间端点处的函数值，,故最大值,最小值,由估值定理得，,习 题 6-1,1
3、利用定积分的几何意义，说明：,2利用定积分的几何意义，求下列定积分,3利用定积分估值定理，估值定积分,的值,第二节 微积分基本公式,一、变上限的定积分,通常称函数,为变上限积分函数或变上限积分,定理1 如果函数,则变上限积分,推论 连续函数的原函数一定存在,例1 计算,解 因为,故,例2 求下列函数的导数：,解,设,例3 求,解,二、牛顿莱布尼茨公式,定理2 设函数,则有,上式称为牛顿莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式,为方便起见，,常记作,例4 求定积分,解1,习 题 6-2,1计算,2计算下列各定积分,第三节 定积分的换元法,例1 求,解法1,于是,解法2 设,于是,一般地，定积分换元法可
4、叙述如下：,且当,例1 求,于是,例2 求,于是,例3 求,于是,例4 求,由定积分换元法，得,于是,于是,例6 求,例7 证明,证 比较两边被积函数，可以看出，,于是,习 题 6-3,1计算下列定积分,2利用函数的奇偶性计算下列定积分：,3证明,第四节 定积分的分部积分法,这就是定积分的分部积分法,例1,例2 求,例3 求,这样依次进行下去,当n为奇数时，,当n为偶数时，,这个公式称为递推公式,例4 求,习 题 6-4,计算下列定积分,第五节 广义积分,一、无究区间上的广义积分,定义1 设函数,我们把极限,上的广义积分，记为,若极限存在，称广义积分,收敛；若极限不存在，则称,发散,类似地，可
5、以定义在,上的广义积分为,上的广义积分定义为,其中c为任意常数，当右边的两个广义积分都收敛时，,广义积分,才是收敛的，否,则是发散的,例1 计算广义积分,解,例2 讨论,的敛散性,解,所以,发散,例3 计算广义积分,解,例4,讨论,的敛散性.,解当p1时，,（收敛）；,当p1时,（发散）；,当p1时，,（发散），,综上，,二、无界函数的广义积分,取0，,称极限,的广义积分，记为,若该极限存在，则称广义积分,收敛；若极限不存在，则称,发散,类似地，当,的无穷间断点时，即,上的广义积分定义为：,当无穷间断点,位于区间,内部时，则定义广义积分,为：,上式右端两个积分均为广义积分，当这两个广义积分都收
6、敛时，才称,是收敛的，否则，称,是发散的,上述无界函数的积分也称瑕积分,例5 求广义积分,解 因为,被积函数的无穷间断点，于是,例6 证明广义积分,当p1时收敛，当p1时发散,证p1时，,（收敛）；,当p1时，,（发散）；,当p1时，,（发散）,因此，当p1时，此广义积分收敛，其值为,当p1时，广义积分发散,复 习 题 六,一、填空题,的极小值为,的取值范围为;,二、单项选择题,为连续函数，则积分,A与,，s，t有关;,B与t，,C与s，t有关;,D仅与,有关.,A0;B0;C0;D0.,A充分条件;B必要条件;C充分必要条件;D无关条件.,为连续函数，则下列各式正确的是（）,A2;B1;C1;D2.,A0;B2;C1;D1.,A0;B1;C2;D3.,A必要条件;B充分条件;C充分必要条件;D无关条件.,11下列广义积分收敛的是（）,.,A0;,三、计算题,
