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1、-向量中的经典“奔驰定理”证明及应用与推广一、奔驰定理及证明图 1如图 1，已知 P 为 ABC 内一点，则PA S BPCPB S APCPCS APB0奔驰定理证明：若 PAPBPC0 ，则 P为 AB C 重心 ，不妨设 xPAPA , yPBPB , zPC PC x P Ay P Bz P 0C(1)1|S PBCxS PBC1 |PB| PCS PBC| PB | | PC | sinBPCsin B PC2 yzyzxyz2同理可得 S PACyS ，SPABzSPACPA BxyzxyzSS又SPBCP A CP A Bx:y:zSSPAC:SP B CPBC:(1)式可化为
2、P A SB P CP BSAPCP CSA P B0奔驰定理得证最简单的一个就是面积法。用三角形面积公式带入，约去三条线段长度之积，得到三个单位-1向量的关系，将它们放入单位圆中。图2如图 2，已知、 、所对的角分别为， ，则P为单位圆， A， B， C在圆上 ， AP BP CPAP sinBP sinCP sin0真奔驰定理这时的图形就真的很想奔驰车标了，所以我称它【真奔驰定理】。奔驰车标接下来，我们要证明的就是这个了。这个证明只需要建立平面直角坐标系，利用三角函数定义、三角恒等变换公式、向量坐标运算就可以轻松证明了。于是整个定理就得到了证明。二、奔驰定理在向量中应用2例 1 、若ABC
3、 内接于以 O 为圆心，以 1 为半径的圆， 且 3OA4OB5OC0 ,则该ABC 的面积为。答案： 56答案解析：由奔驰定理得：设S O B C3 x， S O A C 4 ，xSO A B5 x例 2 、【 2016 年清华领军】若OABCS AOB :S BOC :S COA4:3: 2AOABAC，为内一点，满足，设则 + =答案： 23例 3 、，且满足 |PB|=2 ，|PA|=2 ， APB5，且2 AP 3PB PC40，则P为 ABC内部一点6ABC的面积为（）94C、16A、B、D、835答案： 98三、奔驰定理推广3推广 1 、如果 P 不在三角形内呢？既然有向量，那么我们可以给面积也定义方向，当然有向面积 不是向量，只是有正负，内部为正，外部为负。因为我没有想出合适的符号，所以用了向量的符号。在三角函数定义时，三角函数线是有向线段，x 轴上方为正，下方为负图 3如图 3，已知 P 为平面内一点，则PA S BPCPB S APCPCS APB0EX奔驰定理这个是对 奔驰定理 的推广，我称它为 【EX奔驰定理】。那么最后我们对它做进一步推广，大家可以来思考一下。推广 2、【 EX奔驰定理-A 】将三角形改为多边形，结论是否依旧成立？推广 3、【 EX奔驰定理-B 】将三角形改为棱锥， P 为顶点，结论是否依旧成立？若不成立，需要如何修改？4
