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1、第二章,第五节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,极限运算法则,问题:根据极限的定义,只能验证某个常数 A 是否为某个函数(x)的极限,而不能求出函数(x)的极限.为了解决极限的计算问题,下面介绍极限的运算法则.,当,一、无穷小,定义1.若,时,函数,则称函数,例如:,函数,当,时为无穷小;,函数,时为无穷小;,函数,当,为,时的无穷小.,时为无穷小.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注：无穷小 是一个量，和变化过程有关.,定理1.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,推论.常数与无穷小的乘积是无穷小.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.求,解:,利用定理1 可知,二、无穷大,定义2
2、（直观定义）.若当 时，|f(x)|无限增大，,则称函数,当,时为无穷大,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,无穷大又可细分为正无穷大和负无穷大.,例如：,任给 M 0,一切满足不等式,的 x,总有,使对,正数 X,总存在,注意:,1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.,2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!,例如,函数,当,但,不是无穷大!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小;,若,为无穷小,且,则,为无穷大.,则,定理2.在自变量的同一变化过程中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、极限的四则运算法则,则有,定理 3.
3、若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 4.若,则有,推论 1.,(C 为常数),推论 2.,(n 为正整数),定理 5.若,且 B0,则有,因此有：1、设 n 次多项式,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:1、因为数列是一种特殊的函数,因此定理3,4,5,对数列也是成立的.,2、上述定理可推广到有限个情形.,2、设分式函数,其中,都是,多项式,则,若,x=3 时分母为 0!,例3.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.求,例5.求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.求,解:,分子分母同除以,则,原式,比如：,例7.,=0,其中 为,时的无穷小量.,定理 6
4、.(无穷小与函数极限的关系),对自变量的其它变化过程有同样结论.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理7.设,且 x 满足,时,又,则有,说明:若定理中,则类似可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、复合函数的极限运算法则,例7.求,解:令,已知,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8.求,解法 1,原式=,解法 2,令,则,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9.试确定常数 a 使,解:,令,则,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此,内容小结,1.极限运算法则,(1)无穷小性质,(2)极限四则运算法则,(3)复合函数极限运算法则,注意使用条件,2.求函数极限的方法,(1)分式函数极限求法,1）对,型,约去公因子（有理化，因式分解等）,(2)复合函数极限求法,设中间变量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3）对，化为 型,思考及练习,1.,是否存在?为什么?,答:不存在.,否则由,利用极限四则运算法则可知,存在,与已知条件,矛盾.,解:,原式,2.,问,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
