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1、理解测量误差的基本观点,1、测量工作的全过程，就是和误差做斗争的全过程。2、工程建设对成果的要求有哪些？,收蛛躁未力裔喀纽然拟半纹知匣次紧肥葛泰烙富梭祭垂腰凋苍若现秧姿代工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,测量误差的基本知识,本章目录1、测量误差的分类2、偶然误差的统计特性3、观测值的算术平均值4、评定精度的标准5、误差传播定律及其应用6、最小二乘法原理简介,最基本要求一、掌握误差的基本概念二、会算中误差,萝导峡盼远拂凸像病惜丰娱账熄椒旺光盛坐抿洱赎列角棱鲸逸砧湍究盘滇工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,一、测
2、量中几个基本术语,1、观测值L：测得的具体数值（与体现度量单位的标准量进行比较）。2、真值X：被观测对象的客观真值（通常真值是不知道的，所以记为X）。3、真误差i:i=LiX。（真误差观测值真值）4、理论值：某量及函数的真值和高精度值的统称。5、改正数v:V=误差（LiX）。,梅摔顷药镊猿鲍饺疵受肄迟王痕劝坚腰怀芯雄押迄顽蛙冰副闲叙旦会亩昧工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,二、多余观测,1、定义：多余“必不可少”的观测叫多余观测。2、多余观测的意义：有了多余观测，可以及时发现错误，但由于有误差，多余观测的数值又不相等，这又会出现矛盾。问题：未知量取什
3、么数值合理？其可靠程度如何呢？这正是测量平差要应付的两个基本问题。3、多余观测的目的（1）发现错误（2）提高精度（3）求出最可靠值,鹊晶挟请纽腺嘲隐盾青窄岳妒插杯蹿系叫窟婿缴慑痰锡讣捏薯捞迹阅瞅吻工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,三、测量平差简介,1、定义：用最小二乘法处理各种观测结果（数值）的理论和计算方法。2、目的：（1）求出最可靠的结果（最或是值）（2）评定精度3、测量平差在测量学中的地位（1）求X，评定精度（2）分析测量工作的误差大小（3）掌握测量工作的应有限度（4）根据工程的要求：制定合理的作业方案、选用合理的仪器、拟定正确的施测方法,直序
4、新妊燕窖陌腮帅逆鹊铸畜访紊形识嫌吏厄恕昌皿织利刷劲襄割铲斗纹工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,四、最小二乘法,什么是最小二乘法？举例说明。,茵液卡澎暂糙洱螟预蛛碗摧隶截训耸罐窜贬卫留淬直贫浆杯畸师檀蚜往肘工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,51 测量误差的分类,误差是不可避免的，粗差是不允许的，注意检核,观测条件,不相同，称非等精度观测,相同，称等精度观测,误差产生的原因：仪器人外界环境,结论：观测条件好，成果质量高；一定的观测条件和作业方法决定了成果的质量。,厅您厌居引面呆耻仔颅就衍牙伯嘿喷朵独询喇荣皑豺析
5、鲁阉包歉扼迪却汗工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,一、系统误差,1、定义：在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如误差出现的符号和大小相同或按一定的规律变化2、特性：累积性3、消除或削减措施（1）计算改正（2）合理的观测方法（3）对仪器检校,伶婆丸巷淳蔫络弃漂师惟统歹氟兵那兼煽寂躲俐姐嘛锨急胀诺昧懊猴丘胁工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,二、偶然误差,=所有Li-180 闭合差,1、定义：在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如误差出现的大小和符号均不一致（随机误差）。2、真误差=观测值真值,溪
6、铃捶时做赎微图撮蜀抓要辜鉴蠢凑矾悦喀沪溺米其驱牲晚氟风估庙凿草工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,（1）小误差个数比大误差多（2）绝对值相同的正、负误差的个数大致相等（3）最大误差不超过3.0,血琴疵鹰仑礁萍乓汤化染径职处俏奠损吞逮雍赤劫腮氟销簇丽币兔声诡慢工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,偶然误差的数学期望等于零,偶然误差的统计特性：（1）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值（范围）（2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大（大小）（3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同（符号）（4
7、）同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随观测次数n的无限增加而趋于零（抵偿性）,劣其农冷立缠骤娶装慧驹侩写顽均惫噶定客棱牌灯勋泣乌支起弱惰粤距拘工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,直方图,横坐标：真误差纵坐标：,阻哇扔尚巫滁傈这设租做塘凸哲痞津陛坤岿镜咨稽屋帽械粟僳模茨恿叁浙工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,(0)与观测条件有关的参数,1、每个矩形的面积等于该区间误差出现的频率，总面积=1。2、当n时，各区间的频率就趋向一个稳定值概率3、即在一定的观测条件下，对应着一个确定的误差分布。4、当n，d0时
8、，曲线称误差分布曲线，或正态分布密度曲线。5、高斯根据偶然误差的4个特性，推导出该曲线的方程式：,憾臻砌笺块陀舒仟午辛句非蹬政并叁呢逃啼弱札个狱久详起焚揭币杀捉誓工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,讨论：,当=0时，y取得极大值：,(1),(2)1y2极大,(3)测量中可用作为衡量精度指标的一个标准,肺戊垒烘褪晓斑胆啪瘁浴验赏干言琳趋涸吻罚汕收球喻裁壮轮贸升而令员工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,目的：求观测值的最可靠值，并衡量其精度，指导实际。,在K处，在区间d 内误差出现的频率nK/n与误差分布曲线的关系
9、,即：,(4)当n，d0时，K处 yK d=f(K)d=nK/n,状开镭江穿残交疯羌咎聘长捆蚤构庆奈坡蚂奈瘪衬宁颐锨井率如得肆苏择工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,52 等精度观测的最可靠值,有观测值L1、L2、Ln,对应有误差1、2、n,则最可靠值为：,即是,Why？,瘪院煽滤屉媚诵石速换气修悦凿秘沫痢辱元食雌蒸袭跳僚沉熄猾惫净梨脂工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,一、用偶然误差的特性证明,因为,所以,真误差的算术平均值0,算术平均值的真误差,结论：所以观测值的算术平均值最靠近其真值。,宦蔗吁关诈钒左予庶
10、猾帽铰绦剔湍厦令热涪币迪楞原惮举人吗瑟白峙坟艺工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,二、取算术平均值符合小二原理,设有一组等精度观测值L1、L2、Ln，y是其最可靠值。让 Li+Vi=y，计算,当y？时，vv取得最小值。,柬贪继妻砧筑污仑抠画慰再费寇厕秸绅咯傈婿丙尼榆狡茨柏间淆营朱缠呛工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,三、最或似值改正数V的特性,特性：改正数的和0，作为检验的标准。,狼绝姑肚厦踌卸驼服泥疏棍睬肪啊勋靖和磺惰纲嚣叁多壳权厉冗渡翌恶狸工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差
11、的基本知识,53 衡量精度的指标,精度：指误差分布的密集或离散的程度，即离散度的大小。衡量精度的指标：能够反映误差离散度大小的数字,剁抱哎喀调僚暮暖敝负凌絮共帽呈宰斤铜占芥垦坦耳拌姿等磁张窄扬频帚工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,一、方差和中误差,式中=12+22+.+n2 i=li x(i=1,2,.,n)D为真误差平方（2）的数学期望。,对某量进行n次等精度观测，其观测值为l1 l2.ln，其误差为1 2.n，定义该组观测值的方差为：,众疽荫远痕撅饲斯茅恒氛痘爪皂胰窍匀温肖刻疙肄阮揪胖肄斯钠俩烹诈抉工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量1
12、0第05章测量误差的基本知识,与D的关系：,此时N,而,为误差出现在相应区间的频率,式中n1+n2+.+nN=n当n，d0时，K可用区间中的任一值代替,将横轴分成N个相等的区间，每个区间包含的误差个数为nK（K=1,2,.,N)则有：,榜侧牌告柑喻舱图跺焚幌蛮勇缝卵钒拧航粤关呵高摹侥坑暑蹦佬揩习溉汇工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,测量中用m代替，习惯上,中误差，数理统计中称为标准偏差当n为有限值时，其估值,可得 D=2,其中,恒骏簧款秘紧浑留绊厉崖幢氰噪僻筐迪侩苫雏叼剿毖纲属蹬奥吟谴掠呢谷工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测
13、量误差的基本知识,中误差作为观测精度指标的概率含义,将误差概率分布曲线方程对取二阶导数，并令其为零，可得：=所以正是误差概率曲线中的两个拐点的横坐标值,=0.683 0.68,酶醉田婚象楞躲纳赣钻蕴建翼公疮邢侄庸座竖醋矩磅侨迅诞僻栅憎尊缺售工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,二、相对中误差,中误差的绝对值与相应测量结果之比,厨硒压链婴汤寸阐鬼后稗泽伙建卒靳斟末颠亲续河沮瞻遥熟蚤热棒绳粤腑工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,三、极限误差,P-+=0.683P-2+2=0.955P-3+3=0.997极=3 3 m
14、 容=2 2 m或：容=3 3 m,髓滥果颜贯波颗泥圆更秤悲穿掣柏释汰掩钢挣釜频逃臂葵冲捶悲凸涵抑跑工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,53 误差传播定律,一、误差传播定律：阐述观测值中误差与其函数中误差之间关系的定律设有一般函数：Z=F(x1,x2,.,xn)式中xi(i=1,2,.,n)为可直接观测的未知量，观测值为li，真误差为xiZ为不便于直接观测的未知量，真误差为Z取全微分：,F F FdZ=d x1+d x2+.+d xn x1 x2 xn,因为Z、xi很小，故可用Z、xi取代dZ和dxi,白竟捧吕箍锡朱磷蔡应鸣疚翅愈检败迄腑疯澄描渺娄拂燕
15、睬送胆贵厄耙笔工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,则：Z=f1x1+f2x2+.+fnxn设对各xi进行了k次观测，则有Z(1)=f1x1(1)+f2x2(1)+.+fnxn(1)Z(2)=f1x1(2)+f2x2(2)+.+fnxn(2)Z(k)=f1x1(k)+f2x2(k)+.+fnxn(k)上式方程两边取平方，然后相加得：,F F F 则：Z=x1+x2+.+xn x1 x2 xn,设,nZ2=f12x12+f22x22+.+fn2xn2+fi fj xixj i=1,j=1 ij,划溃燃澜科奇略埃铭窜挖诈檄越堑曼庭美砂家洪敖云揉耶晶榔提缚雇开
16、瘫工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,Z2 x12 x22 xn2 lim=lim f12+f22+.+fn2 k k k k k k,Z2=f12 12+f22 22+.+fn2 n2当n为有限次时 mZ2=f12 m12+f22 m22+.+fn2 mn2,Z2 x12 x22 xn2 n xixj=f12+f22+.+fn2+fi fj k k k k i=1,j=1 k ij,列函数式对函数式进行全微分，求各系数代入公式，求观测值函数的中误差,即：,方程两边同除以k:,xixj 因：lim=0 k k,步骤：,召扒侧靠韶钧擒菲亩了雅评巾悼震当拆
17、窘看炔违另辩持殿织使皆编撤纽筷工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,二、应用举例,1、水准测量的精度：设A、B两点间设n站观测，每站高差为 hi则：hAB=h1+h2+.+hn设各站为等精度观测，其中误差为m站则 mh2=m站2+m站2+.+m站2=n m站2 即 mh=n m站,若地面平坦，各站距离大致相等，设A、B间距离为L 则测站数为 n=L/l 则,帘早后敖雀穗昼蛔驼帆育撵捻恒磁赦兽抉牙脊修魄圃腔肯凝一犹湿固染返工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,所以 mh=L m公里,1 m公里=m站 l,如：L=1k
18、m,代入即得1km路线长的中误差,当观测精度相同时，高差中误差与测站数的平方根成正比。当各站距离大致相等时，与距离的平方根成正比,l以km为单位,叁导渴团壶欢莲裹羹架愚涯析风仇市吕兄澜御潍往总痹液冠滓晋惰盼过磺工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,容=3 m=3 2 8.5=3640,所以：容=2 m=2 2 8.5=24,一测回测角中误差 m=2 6=8.5,2、水平角测量的精度,J6经纬仪一测回方向中误差为6而=a-b,ma=mb=6,当精度要求较低时：,m=2 m,测回间较差=-,浑惟监器衬议贼咯愚宇趣镊梆擂吻碎芯食曾共炭内酥被臼蓉程蟹火程忽夺工程
19、测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,3、实际应用；,用经纬仪独立观测n个三角形的内角，,可用来检测经纬仪是否达到预定的精度要求,菲列罗公式,mw2 则：m角2=3,而 wi=i+i+i-180 所以：mw2=m2+m2+m2=3m角2,即：,和为Li(i=1,2,.,n),得闭合差 wi=Li-180,拴仲赋幅冷春孽故鞋痪歇寺娜驭验造额肇热脖哼纺接膛绒莎蕊又蕾措画侈工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,54 等精度直接观测值的最可靠值,一、算术平均值设对某量进行了一组等精度观测，其值为l1,l2,.,ln真值为x，真
20、误差为1,2,.,n,则：1=l1-x 2=l2-x.n=ln-x,+,=l-nx,芯粹州哑勃伯站胞萄鲁磋防彰发己蝇埔皮粒聋懈逞乡瑟黔宠术扭甸呜马碴工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,lim L=lim+x=x n n n,l=-x=L x n n,v=nL-l=0,所以L是最接近于真值的一个值，称最可靠值 改正数 vi=L-li,l L=+x n n,给破忘泥澄倔蔬瞥泰啦翻锣坝脏火摹方拣贩聚热瞬霓咎刚夷眶权悯来柴糠工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,二、用改正数计算中误差：,v1=L-l1v2=L-l2.vn
21、=L-ln,则：1=-v1+2=-v2+.n=-vn+,令 L-x=,v1+1=L-x v2+2=L-x.vn+n=L-x,1=l1-x2=l2-x.n=ln-x,+,琢寺句拔挽畦凉盗端落汁燃谭净询畦笆腐帧聪排韶拣傻庭壁苦吼推诗惧勺工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,=vv-2v+n 2=vv+n 2,vv 1 m2=m2 n n,vv=+n n n2,2=n2,0（当 n 时）,2=+（12+2+1 3+.）n2 n2,1 2=(12+22+.+n2+2 12+2+1 3+.)n2,l l-nx l-x=L-x=-x=n n n n,vv=+2 n
22、n,鬼汀猖刊近蹲茫醉拳烹代玖睹涝浸淀艇鞠篡剁鼠喝拟句漓牡否禄疗砚丘辛工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,vv m2=n-1,1 1 1 n M2=m12+m22+.+mn2=m2 n2 n2 n2 n2,白塞尔公式,算术平均值的中误差：,l1+l2+.+ln L=n,瓤堕俱颧沙狞食杜弥度虾踌侧亏堤凝肩衅差叼挖阂误乖稳瘩噪汤该提坚瞻工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,1设 m=1,则 M=n,n 1 2 5 10 15 20M 1 0.71 0.45 0.32 0.26 0.23,衙讶饰牺株捣塌淹搬翟明弱权层贤俄
23、谗钱银铲毖骨痰窍泼缩坦吟往胸力赶工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,55 权,表示各观测值方差之间比例关系的数字特征一、权及其与中误差的关系：1、权的定义：设有观测值li(i=1,2.,n),它们的中误差分别为 mi(i=1,2,.,n)，如选定任一常数，则定义：,并称pi为观测值li的权。,pi=mi2,艘树块睫两时白膊鲤躲巨逞蓖丰词纽湿讯咐叠乘蕾狄嫁佳禾欧校掳峪禽毗工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,由权的定义可写出各观测值的权之间的比例关系为：,权与中误差的平方成反比，即中误差愈小，权愈大，精度愈高。,1
24、 1 1 p1:p2:.:pn=:.:=:.:m12 m22 mn2 m12 m22 mn2,乌啮皖砖税撒雇啃狄口阀湃豁违碌渴匀蜒扒晕虐蚊弱宵蚊惜瑚秀畅洒缠赏工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,m0 m2=4,m0 m1=3,例：设甲、乙两人用同样的方法，同样的仪器，观测某一角度，甲测三测回，观测值为l1 l2 l3，中误差为m0，平均值为x1，其中误差为m1；乙测四测回，观测值为l4 l5 l6 l7，中误差为m0，平均值为x2，其中误差为m2。,1 1 3 4 p1:p2=:=:=3：4 m12 m22 m02 m02,1 x1=(l1+l2+l3
25、)3,1x2=(l4+l5+l6+l7)4,根据误差传播定律：,可看出，权与观测次数成正比。,伪阻沈面弱病化掀半酣量俘痊流晓临偶人轧仅窑旅翼厉欢怨收鄙住敢磷舟工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,m0m1=p1,m0m2=p2,写成 p1=3,此时，=m02，p1=3，p2=4 如=m12，则 p1=1，p2=4/3 如=m22，则 p1=3/4，p2=1,根据定义 pi=mi2,m02p1=m12,p2=4,m02p2=m22,绿谩屏芒旅盖异惦萄日嘲整喊卖响录筹耘角菌汪霞桔瞥胰绪制沤难团淤罐工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量
26、误差的基本知识,讨论：,(1)选定一个值，即有一组对应的权。或者说，有一组权，必有一个对应的值。(2)一组观测值的权，其大小随值的不同而异，但不论选用何值，权之间的比例关系始终不变。(3)为了使权能起到比较精度高低的作用，在同一问题中只能选定一个值，不能同时选用几个不同的值，否则就破坏了权之间的比例关系。(4)只要事先给定了一定的条件，就可以确定出权的数值。权的意义，不在于它们本身数值的大小，而重要的是它们之间的比例关系。,喻饯早陆颠胁巨容裙懊滓洁回翼数箔十可谎滑中霞锹镇萤陷球世寝谓榆莎工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,因此，通常称 为单位权中误差，
27、而 为单位权方差或方差因子。把权等于1的观测值，称为单位权观测值。,2、单位权中误差,凡是中误差等于 的观测值，其权必等于1，或者说，其权等于1的观测值，其中误差必等于。,在确定一组同类元素观测值的权时，p 为无量纲的数值，如果需要确定权的观测值（或其函数），包含两种以上不同类型元素时，p 即有单位，如角度为秒，长度为mm。,因为可以是任意选定的某一常数，故所选定的也可能不等于某一个具体观测值的方差。,柔诺翰京瞩牢违厨伞宰溉齐忙演锡箍盂缩绣茹外酸卤朴祁鼠胎粘电统姐键工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,二、加权算术平均值及其中误差,1、加权算术平均值：如
28、上例：甲观测三测回 l1 l2 l3，平均值为x1 乙测四测回l4 l5 l6 l7，平均值为x2实际上甲乙两人是以等精度观测了7测回，其算术平均值为：,3 x1+4 x2 p1 x1+p2 x2 L0=3+4 p1+p2,代入得：,而 l1+l2+l3=3 x1,l4+l5+l6+l7=4 x2,l1+l2+l3+l4+l5+l6+l7 L0=7,狮犬境戴看蜒腕冀镁躇侥蕊宋唯着荆锯迸迫堵体滦飞赂朗踏饶苫麻麦粒政工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,一般：设对某量进行了n次非等精度观测，观测值为l1 l2.ln，其相应的权为p1 p2.pn，则其加权算术
29、平均值为非等精度观测值的最可靠值，其计算公式：,p1 p2 pn=l1+l2+.+ln p p p,p1 l1+p2 l2+.+pn ln pl L0=p1+p2+.+pn p,杨丹样艇垫官荧筛币视汤俐茬造旨蔗衔誓磺牢誊郁单柯档氧厩恍喇砖傍达工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,2、中误差,根据误差传播定律，可得L0的中误差M0,nm0=p m2=p,1 m02=p m02=p2 p,1 M02=（p1 m02+p2 m02+.+pn m02）p2,所以,因为：p1 m12=p2 m22=.=pn mn2=m02,1 M02=（p12 m12+p22 m22+.+pn2 mn2）p2,性腥鹿舟幢效裂尧局舒拢寄矾之辆码摩操果芋旱铣堑蝉稽淌号筷故附柬疙工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,可得单位权中误差m0为,vi=L0 li,所以,蹋颇粮锨赎梅宫宵偿宜牵沫驶倦唾剖包谜梳楼方挝援奴矢腹昼羔娜贪引狮工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,Z=F(x1,x2,.,xn),弗负傻计庆夯攻挂凸滴拷鹿戊哺旨洞赦厚院蒙诸拾螟撂凡磊巡琐躯娘鼎澜工程测量10第05章测量误差的基本知识工程测量10第05章测量误差的基本知识,
