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1、,第七章 应力状态与应变状态分析,材料力学,第七章 应力状态与应变状态分析,71 应力状态的概念72 平面应力状态分析解析法73 平面应力状态分析图解法,74 梁的主应力及其主应力迹线,75 三向应力状态研究应力圆法,76 复杂应力状态下的应力-应变关系（广义虎克定律）,77 复杂应力状态下的变形比能,7 应力状态的概念,应力状态与应变状态,一、引言,1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？,铸铁,2、组合变形杆将怎样破坏？,四、普遍状态下的应力表示,三、单元体：单元体构件内的点的代表物，是包围被研究点 的无限小的几何体，常用的是正六面体。单元体的性质a、平行面上，应力均布；b、平行
2、面上，应力相等。,二、一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。,x,y,z,s,x,sz,s,y,应力状态与应变状态,x,y,z,s,x,sz,s,y,应力状态与应变状态,五、剪应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress):过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离。,六、原始单元体（已知单元体）：,例1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。,应力状态与应变状态,七、
3、主单元体、主面、主应力：,主单元体(Principal bidy)：各侧面上剪应力均为零的单元体。,主面(Principal Plane)：剪应力为零的截面。,主应力(Principal Stress）：主面上的正应力。,主应力排列规定：按代数值大小，,应力状态与应变状态,s1,s2,s3,x,y,z,sx,sy,sz,单向应力状态（Unidirectional State of Stress）：一个主应力不为零的应力状态。,二向应力状态（Plane State of Stress）：一个主应力为零的应力状态。,应力状态与应变状态,三向应力状态（ThreeDimensional State o
4、f Stress）：三个主应力都不为零的应力状态。,72 平面应力状态分析解析法,应力状态与应变状态,规定：截面外法线同向为正；t a绕研究对象顺时针转为正；a逆时针为正。,图1,设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：,一、任意斜截面上的应力,应力状态与应变状态,图1,应力状态与应变状态,考虑剪应力互等和三角变换，得：,同理：,二、极值应力,应力状态与应变状态,在剪应力相对的项限内，且偏向于x 及y大的一侧。,应力状态与应变状态,例2 分析受扭构件的破坏规律。,解：确定危险点并画其原 始单元体,求极值应力,应力状态与应变状态,O,破坏分析,应力状态与应变状态,铸铁,73 平面应力状态分析图解法,
5、对上述方程消去参数（2），得：,一、应力圆（Stress Circle）,应力状态与应变状态,此方程曲线为圆应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：Otto Mohr引入）,建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）,二、应力圆的画法,在坐标系内画出点A(x，xy)和B(y，yx),AB与sa 轴的交点C便是圆心。,以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆；,应力状态与应变状态,应力状态与应变状态,三、单元体与应力圆的对应关系,四、在应力圆上标出极值应力,应力状态与应变状态,例3 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa),A,B,解：主应力坐标系如图,AB的垂直平分线与sa 轴的交点C便是圆
6、心，以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆,应力状态与应变状态,s1,s2,在坐标系内画出点,应力状态与应变状态,s1,s2,主应力及主平面如图,A,B,解法2解析法：分析建立坐标系如图,应力状态与应变状态,74 梁的主应力及其主应力迹线,应力状态与应变状态,如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），其上M、Q0，试确定截面上各点主应力大小及主平面位置。,单元体：,应力状态与应变状态,1,s1,s3,s3,s1,s3,4,s1,s1,s3,5,a0,45,a0,s,t,A1,A2,D2,D1,C,O,s,A2,D2,D1,C,A1,O,t,2a0,s,t,D2,D1,C,D1,O,2a0=90,s,D
7、2,A1,O,t,2a0,C,D1,A2,s,t,A2,D2,D1,C,A1,O,主应力迹线（Stress Trajectories)：主应力方向线的包络线曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。,实线表示拉主应力迹线；虚线表示压主应力迹线。,应力状态与应变状态,x,y,主应力迹线的画法：,1,1截面,2,2截面,3,3截面,4,4截面,i,i截面,n,n截面,应力状态与应变状态,75 三向应力状态研究应力圆法,应力状态与应变状态,1、空间应力状态,2、三向应力分析,弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。,图a,图b,
8、整个单元体内的最大剪应力为：,应力状态与应变状态,例4 求图示单元体的主应力和最大剪应力。（MPa）,解：由单元体图知：y z面为主面,建立应力坐标系如图，画应力圆和点1,得:,应力状态与应变状态,50,40,30,A,B,C,76 复杂应力状态下的应力-应变关系（广义虎克定律）,一、单拉下的应力-应变关系,二、纯剪的应力-应变关系,应力状态与应变状态,三、复杂状态下的应力-应变关系,依叠加原理,得:,应力状态与应变状态,sz,sy,sx,主应力-主应变关系,四、平面状态下的应力-应变关系:,方向一致,应力状态与应变状态,主应力与主应变方向一致?,应力状态与应变状态,五、体积应变与应力分量间的
9、关系,体积应变：,体积应变与应力分量间的关系:,应力状态与应变状态,例5 已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：1=24010-6，2=16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为=0.3，试求该点处的主应力及另一主应变。,所以，该点处的平面应力状态,应力状态与应变状态,应力状态与应变状态,例6 图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变 t=350l06，若已知容器平均直径D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25，试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2.计算容器所受的内压力。,应力状态与应变状态,s1,sm,p,O,图a,1、轴向应力:(longitudinal stress),解：容器的环向和纵向应力表达式,用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程,应力状态与应变状态,用纵截面将容器截开，受力如图c所示,2、环向应力：(hoop stress),3、求内压（以应力应变关系求之）,应力状态与应变状态,77 复杂应力状态下的变形比能,应力状态与应变状态,称为形状改变比能或歪形能。,应力状态与应变状态,例7 用能量法证明三个弹性常数间的关系。,纯剪单元体的比能为：,纯剪单元体比能的主应力表示为：,应力状态与应变状态,本章结束,
