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1、第十五章 应力状态,15.1 点的应力状态及其分类,15.2 二向应力状态分析,15.3 三向应力状态简介,15.4 广义胡克定律,15.5 四种常用强度理论,本章主要内容,15.1 点的应力状态及其分类,一、什么是应力状态？,三、如何描述一点的应力状态?,二、为什么要研究应力状态?,一、什么是应力状态？,1、应力的点的概念:,各不相同;,同一截面上不同点的应力,横截面上的正应力分布,同一面上不同点的应力各不相同，即应力的点的概念。,横截面上的切应力分布,结果表明：,轴向拉压,同一横截面上各点应力相等：,同一点在斜截面上时：,2、应力的面的概念,应力的面的概念,各不相同；,过同一点不同方向面上
2、的应力,应 力,指明,应力的点的概念与面的概念,3、应力状态,过同一点不同方向面上应力的集合，称为这一点的应力状态；,请看下列实验现象：,低碳钢和铸铁的拉伸实验,低碳钢和铸铁的扭转实验,二、为什么要研究应力状态？,低碳钢拉伸,塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？,铸铁拉伸,两种材料的拉伸试验,为什么脆性材料扭转时沿45螺旋面断开？,低碳钢扭转,铸铁扭转,两种材料的扭转试验,试件的破坏不只在横截面，,有时也沿斜截面发生破坏；,为什么要研究应力状态,不仅要研究横截面上的应力，,而且也要研究斜截面上的应力。,1、单元体,三、如何描述一点的应力状态,用单元体及其各面上的应力来描述一点的应力状态。,约定:
3、,微元体的体积为无穷小；,相对面上的应力等值、反向、共线;,描述出三个相互垂直面上的应力；,主单元体,主平面,主应力,2、常用术语,主平面上的正应力;,约定：,单元体的各个面上切应力等于零时的单元体;,切应力等于零时的面;,空间（三向）应力状态：,平面（二向）应力状态：,单向应力状态：,3、应力状态分类,三个主应力均不为零；,两个主应力不为零；,一个主应力不为零;,一般三向（空间）应力状态,九个应力分量,其中独立的只有六个,一般平面（二向）应力状态,单向应力状态,纯剪应力状态,一般单向应力状态或纯剪切应力状态,三向应力状态,平面应力状态,提取危险点处应力状态；,本章难点,应力状态是一切应力分析
4、的基础；,1 提取拉压变形杆件一点的应力状态,单向应力状态,2 提取拉压变形杆件一点的应力状态-斜截面上,3 提取扭转变形杆件一点的应力状态,纯剪切应力状态,4 提取横力弯曲变形杆件下边缘一点的应力状态,单向应力状态,5 提取横力弯曲变形杆件任意一点的应力状态,平面应力状态,S平面,不计弯曲剪力的影响，画危险点的应力状态,S平面,2,3,不计弯曲剪力的影响，画危险点的应力状态,6 同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式.,练习1 提取危险点的应力状态,2 提取危险点的应力状态,3 提取危险点处应力状态,提取危险点处应力状态,提取图示各点的应力状态,提取图示各点的应力状态,7 1、2、3、4的
5、应力状态中，哪一个是错误的？,15-2 二向应力状态分析,本节讨论,1、方向角与应力分量的正负号约定;,2、微元的局部平衡;,3、平面应力状态中任意方向面上的正应力 与切应力;,4、主应力、主平面，最大切应力;,一、二向应力状态分析解析法,拉为正,压为负,正应力符号约定,1、方向角与应力分量的正负号约定,使微元或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。,切应力符号约定,方向角的符号约定,由 x正向逆时针转到截面外法线x正向为正；反之为负。,2 微元的局部平衡,截取微元体,截取微元体,平衡对象,平衡方程,参加平衡的量,用 斜截面截取的微元局部,力,微元体平衡,应力乘以其作用的面积；,平衡方程,平衡方
6、程,平面应力状态中任意方向面上正应力与切应力的表达式：,3 平面应力状态中任意方向面上的正应力与切应力,用 斜截面截取，此截面上的应力为,即单元体两个相互垂直面上的正应力之和是一个常数。,即又一次证明了切应力的互等定理。,主平面、主应力,平面应力状态的三个主应力,面内最大切应力,过一点所有方向面中的最大切应力,4、主应力、主平面，最大切应力,本部分内容主要讨论,主平面、主应力,切应力=0的方向面为主平面。,上式对 求一次导数，并令其等于零；,解出的角度,角度与 0 完全重合。,求正应力的极值面,主应力是所有方向面上的正应力的极值。,表明,正应力的极值面与主平面重合；,正应力的极值就是主应力；,
7、对于平面应力状态，平行于xy坐标面的平面，其上既没有正应力，也没有切应力作用，这种平面也是主平面。,这一主平面上的主应力等于零。,平面应力状态的三个主应力,将三个主应力代数值由大到小顺序排列;,根据主应力的大小与方向可以确定材料何时发生失效；,确定失效的形式；,因此，可以说主应力是反映应力状态本质的特征量。,x-y坐标系,x-y坐标系,主单元体,同一点的应力状态可以有无穷多种表达形式。,用主应力表达的形式最简单也是最本质的。,用主单元体表示一点的应力状态,由此得出另一特征角，用1表示,对求一次导数，并令其等于零；,不同方向面上的切应力亦随着坐标的旋转而变化，因而剪应力亦可能存在极值。,面内最大
8、剪应力,得到 的极值,上述切应力极值仅对垂直于xy坐标面的方向面而言，因而称为面内最大剪应力与面内最小剪应力。,特别指出:,二者不一定是过一点的所有方向面中剪应力的最大和最小值。,为确定过一点的所有方向面上的最大切应力，可以将平面应力状态视为有三个主应力（1、2、3）作用的应力状态的特殊情形，即三个主应力中有一个等于零。,考察微元三对面上分别作用着三个主应力（123 0）的应力状态。,过一点所有方向面中的最大切应力,x=3,y=2，xy0,这就是组方向面内的最大切应力。,在平行于主应力1方向的任意方向面上，正应力和剪应力都与1无关。因此，当研究平行于1的这一组方向面上的应力时，所研究的应力状态
9、可视为一平面应力状态：,过一点所有方向面中的最大切应力,在平行于主应力2方向的任意方向面上，正应力和剪应力都与2无关。因此，当研究平行于2的这一组方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态：,x=1,y=3，xy0。,组方向面内的最大切应力；,过一点所有方向面中的最大剪应力,x=1,y=2，xy0；,在平行于主应力3方向的任意方向面上，正应力和剪应力都与3无关。因此，当研究平行于3的这一组方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态：,组方向面内的最大切应力。,过一点所有方向面中的最大剪应力,一点应力状态中的最大剪应力，必然是上述三者中最大的；,过一点所有方向面中的最大剪
10、应力,试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。,例题：一点处的应力状态如图。,已知,（1）斜面上的应力,=-30,（2）主应力、主平面,主平面的方位：,代入 表达式可知,主应力 方向：,主应力 方向：,（3）主应力单元体：,例题,已知:应力状态如图所示。,试：1若已知63.7 MPa，=-76.4 MPa，=120，求:、。2写出主应力1、2、3及最大切应力的表达式；,1 求斜截面上的应力,x63.7 MPa，y0，xy一76.4 MPa，120。,三维投影成二维,求斜截面上的应力,2确定主应力与最大剪应力,确定主应力与最大剪应力,D点的最大切应力为,二、二向应力
11、状态分析-图解法,(一)应力圆方程,(二)应力圆的画法,(三)应力圆的应用,本节主要讨论,(一)应力圆方程,具体作圆步骤,(二)应力圆的画法,再将上述过程重复一次,在应用过程中，应当将应力圆作为思考、分析问题的工具，而不是计算工具。,(三)应力圆的应用,信息源,半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍；,半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；,应力圆上某一点的坐标值对应着微元体某一方向面上的正应力和剪应力；,应力圆与单元体的对应关系,1、点面对应,2、转向一致，夹角二倍,3、直径两端，垂直两面,圆上一点，体上一面；,点面对应，确定基准；,转向一致，夹角二倍；,直径两端，垂直两面；,应力圆上直径
12、两端的坐标值对应着微元体上两个垂直面上的正应力和剪应力；,点面对应,转向对应,二倍角对应,与二倍角对应,A,B,E点的横、纵坐标即位该任意斜截面上的正应力和切应力。,1 从应力圆上确定任意斜截面上的应力,A,B,应力圆和横轴交点的横坐标值。,b,e,2 从应力圆上确定主应力大小,D,b,e,3 从应力圆上确定主平面方位,主应力排序：s1s2 s3,有几个主应力？,确定下列应力圆的主应力,4 从应力圆上确定面内最大切应力,应力圆上的最高点的纵坐标对应“面内最大切应力”。,与主应力的夹角为45度。,b,e,例1：画出轴向拉伸单元体的应力圆，并求出最大正应力和最大切应力,轴向拉伸时45方向面上既有正
13、应力又有切应力，但正应力不是最大值，切应力却最大。,轴向拉伸的最大正应力和最大切应力,最大正应力所在的面上切应力一定是零；,b,e,例2：画出纯剪切状态的应力圆并求出主应力,纯剪切状态的主单元体,在纯剪应力状态下，45方向面上只有正应力没有剪应力，而且正应力为最大值。,练习：画应力圆草图。,1、三向等值压缩单元体。,2、三向等值拉伸单元体。,3、图示单元体。,一、三向应力状态的应力圆,只能画出主单元体的应力圆草图,15-3 三向应力状态简介,由s2、s3可作出应力圆 I,由s1、s3可作出应力圆II,I,II,I,由s1、s2可作出应力圆 III,s1,II,I,s3,III,s2,微元任意方
14、向面上的应力对应着三个应力圆之间某一点的坐标。,已知:三向应力状态如图所示，图中应力的单位为MPa。,例 题,试求：主应力及微元内的最大切应力。,二、三向应力状态解析法,作应力圆草图,所给的应力状态中有一个主应力是已知的；,x=20 MPa，xy=40 MPa。,三个主应力,微元内的最大切应力,应力圆草图,关于应力状态的几点重要结论,平衡方法是分析应力状态最重要、最基本的方法,怎样将应力圆作为思考和分析问题的 重要工具，求解复杂的应力状态问题,关于应力状态的不同的表示方法,注意区分两种最大切应力,结论与讨论,应力的点的概念;应力的面的概念;应力状态的概念.,变形体力学基 础,一、关于应力状态的
15、几点重要结论,结论与讨论,关于A点的应力状态有多种答案，请用平衡的概念分析哪一种是正确的？,二、平衡方法是分析应力状态最重要、最基本的方法,请分析图示四种应力状态中，哪几种是等价的?,三、关于应力状态的不同的表示方法,四、注意区分两种最大切应力,注意区分面内最大切应力;,所有方向面中的最大切应力 一点处的最大切应力;,最大切应力,1.基本变形的胡克定律,1）轴向拉压胡克定律,横向线应变,2）纯剪切胡克定律,15-4 广义胡克定律,纵向线应变,2、三向应力状态的广义胡克定律,叠加法,3、广义胡克定律的一般形式,各向同性材料的广义胡克定律；,适用性,4 平面应力状态的广义胡克定律,5、三个弹性常数
16、之间的关系,讨论,1),即,2)当 时，即为二向应力状态：,3)当 时，即为单向应力状态；,即最大与最小主应变分别发生在最大、最小主应力方向。,一般的二向应力状态的广义胡克定律,6、体积应变,变形前单元体体积：,变形后单元体体积：,单位体积改变：,（体积应变）,利用广义胡克定律：,（体积弹性模量）,（平均正应力）,（体积变形 胡克定律）,其中,讨论：,1)单位体积改变 只与三个主应力之和有关，与主应 力的大小比例无关。,2)因为，因此 与取轴方向无关，且三 个相互垂直面上的正应变之和不变。,例如纯剪切应力状态：,3)则 即体积不变。因此仅当 时，,结论：,纯剪切应力状态，具有体积不变性。说明体
17、积改变与剪应力无关；,但形状有改变，即形状改变与剪应力有关。,例题 边长 a=0.1m 的铜立方块,无间隙地放入体积较大,变形可略去不计的钢凹槽中,如图 a 所示。已知铜的弹性模量 E=100GPa,泊松比=0.34,当受到P=300kN 的均布压力作用时,求该铜块的主应力、体积应变以及最大切应力。,铜块受力如图 b 所示,变形条件为,铜块的主应力为,解：1、铜块的主应力,体积应变和最大切应力分别为,2、铜块的体积应变,3、铜块的最大切应力,杆件基本变形下的强度条件,15.5 四个基本强度理论,一、问题的提出：,满足,是否强度就没有问题了？,怎样建立一般应力状态下强度条件？,难 点 应力状态的
18、多样性 试验的复杂性及不可能性,强度理论的基本思想是：,确认引起材料失效存在共同的力学原因，提出关于这一共同力学原因的假设；,根据实验室中标准试件在简单受力情况下的破坏实验（如拉伸），建立起材料在复杂应力状态下共同遵循的弹性失效准则和强度条件。,当前工程上常用的经典强度理论都按脆性断裂和塑性屈服两类失效形式，分别提出共同力学原因的假设。,经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。,为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出关于材料破坏原因的假设及计算方法。,强度理论：,人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说；,找出引起破坏的主要因素，,即：不论
19、是处于什么应力状态，相同的破坏形式有相同的失效原因，利用拉伸试验的结果建立复杂应力状态下的强度条件。,构件由于强度不足将引发两种失效形式,如铸铁受拉、扭，低温脆断等。,二、四种常用强度理论,脆性断裂：,材料无明显的塑性变形即发生断裂；,断面较粗糙；,且多发生在垂直于最大正应力的截面上；,例如低碳钢拉、扭，铸铁压。,塑性屈服（流动）：,材料破坏前发生显著的塑性变形；,破坏断面粒子较光滑；,且多发生在最大切应力面上；,1.最大拉应力理论（第一强度理论）,材料发生断裂的主要因素是最大拉应力；,认为无论是什么应力状态，只要危险点处最大拉应力达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生断裂,脆断准则：,适
20、用范围：,混合型应力状态中拉应力占主导,与铸铁、工具钢、工业陶瓷等多数脆性材料的实验结果较符合。,特别适用于拉伸型应力状态：,但,相应的强度条件：,材料的脆断,将强度理论中直接与许用应力比较的量,称之为相当应力ri,铸铁拉伸,铸铁扭转,适用范围,2、对没有拉应力的应力状态无法应用，,3、对塑性材料的破坏无法解释，,4、无法解释三向均压时，不断裂的现象。,1、突出 未考虑的 影响，,局限性：,2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）,无论处于什么应力状态,只要危险点处最大伸长线应变达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生断裂,材料发生断裂的主要因素是最大伸长线应变；,脆断准则：,复杂应力状态下最
21、大线伸长应变,断裂条件,相应的强度条件：,单向应力状态下,铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。,实验表明：,此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂,较符合,要求材料在脆断前均服从胡克定律,适用范围：,铸铁在混合型应力状态中，压应力占主导引起的材料脆断,与实验结果也较符合；,材料的脆断,局限性：,1、第一强度理论不能解释的塑性屈服问题，未能解决。,2、在二向或三向受拉时，,似乎比单向拉伸时更安全，但实验证明并非如此。,但只与石料、混凝土等少数脆性材料的实验结果较符合；,3、考虑了 的影响，,铸铁等材料的脆断实验不支持本理论描写的 对材料强度的影响规律。,，,混凝土、花岗岩受压时在横
22、向（1方向）开裂,局限性,3.最大切应力理论（第三强度理论）,材料发生塑性屈服的主要因素是,最大切应力；,无论处于什么应力状态,只要危险点处最大切应力达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生屈服。,屈服准则：,复杂应力状态下的最大切应力,屈服条件,相应的强度条件：,单向应力状态下,低碳钢拉伸,低碳钢扭转,此理论较满意地解释了塑性材料的屈服现象；,局限性：,2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象，,1、未考虑 的影响，试验证实最大影响达15%。,并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。,适用范围：,偏于安全,常用于载荷往往较不稳定的机械、动力等行业,此准则也称Tresca屈服准则
23、,塑性屈服,4.畸变能密度理论（第四强度理论）,材料发生塑性屈服的主要因素是,畸变能密度；,无论处于什么应力状态,只要危险点处畸变能密度达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生屈服。,屈服准则：,复杂应力状态的畸变能密度,单向应力状态下,屈服条件,强度条件,对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。,载荷较为稳定的土建行业，较多地采用第四强度理论。,适用范围：,它既突出了最大主剪应力对塑性屈服的作用，又适当考虑了其它两个主剪应力的影响；,它与塑性较好材料的试验结果比第三强度理论符合得更好；,此准则也称为Mises 屈服准则；,塑性屈服,强度理论的统一表达式：,相
24、当应力,无论材料处于什么应力状态,只要发生同一种破坏形式,都是由于同一种因素引起。,复杂应力状态,相当应力状态,已有简单拉压试验资料,强度理论,强度条件,（一）对于常温、静载、常见的单向、二向应力状态下,选用原则,塑性材料,第三强度理论,可进行偏保守（安全）设计。,第四强度理论,可用于更精确设计,要求对材料强度指标，载荷计算较有把握。,弹性失效状态为脆断；,通常的塑性材料，如低碳钢，,弹性失效状态为塑性屈服,通常的脆性材料，如铸铁，,因而可根据材料来选用强度理论：,可用于石料、混凝土等少数脆性材料的断裂。,脆性材料,第一强度理论,拉伸型和拉应力占主导的混合型应力状态,第二强度理论,拉应力占主导
25、的混合型应力状态的脆断,必须考虑应力状态对材料弹性失效的影响,但此时的失效应力应通过能造成材料脆断的试验获得。,（二）对于常温、静载但具有某些特殊应力状态的情况,不能只看材料,综合材料、失效状态选取适当的强度理论。,塑性材料（如低碳钢）在三向拉伸应力状态下,呈脆断失效；,应选用第一强度理论；,但此时的失效应力应通过能造成材料屈服的试验获得。,在三向压缩应力状态下，,脆性材料（如大理石）,呈塑性屈服失效状态；,应选用第三、第四强度理论；,在压缩型或混合型压应力占优的应力状态下，,脆性材料,像铸铁一类脆性材料均具有 的性能，,可选择莫尔强度理论。,思考题:把经过冷却的钢质实心球体，放入沸腾的热油锅
26、中,将引起钢球的爆裂,试分析原因。,答:经过冷却的钢质实心球体，放入沸腾的热油锅中,钢球的外部因骤热而迅速膨胀，其内芯受拉且处于三向均匀拉伸的应力状态因而发生脆性爆裂。,思考题:水管在寒冬低温条件下，由于管内水结冰引起体积膨胀，而导致水管爆裂。由作用反作用定律可知，水管与冰块所受的压力相等，试问为什么冰不破裂，而水管发生爆裂。,答:水管在寒冬低温条件下，管内水结冰引起体积膨胀，水管承受内压而使管壁处于双向拉伸的应力状态下，且在低温条件下材料的塑性指标降低,因而易于发生爆裂；而冰处于三向压缩的应力状态下，不易发生破裂。例如深海海底的石块，虽承受很大的静水压力，但不易发生破裂.,例1 已知：铸铁构
27、件上 危险点的应力状态。铸铁拉 伸许用应力=30MPa。试校核该点的强度。,首先根据材料和应力 状态 选择强度理论。,r1=max=1,其次确定主应力,脆性断裂，最大拉应力准则,分析：,129.28MPa,23.72MPa,30,结论：强度是安全的。,1、确定主应力,2、强度计算,一工字形截面梁受力如图所示，已知F=80KN,q=10KN/m,许用应力。试对梁的强度作全面校核。,y,y,分析：,1、可能的危险点：,（单向应力状态）,a,（平面应力状态）,（纯剪应力状态）,全面校核,2、危险点的应力状态：,解：,（1）求支座反力并作内力图,作剪力图、弯矩图。,（2）确定危险截面,危险截面可能是 截面或,（3）确定几何性质,对于翼缘和腹板交界处的a点:,（4）对C截面强度校核,最大正应力在b点:,但,所以仍在工程容许范围内,故认为是安全的.,对于a 点:,a,计算a点处的主应力,第三强度理论相当应力：,计算a点处的相当应力,第四强度理论的相当应力：,a,按第三和第四强度理论校核:,所以C截面强度足够。,（5）对D截面强度校核,对于a 点:,a,按第三和第四强度理论校核,对于c 点:,按第三和第四强度理论校核:,所以D截面强度足够。,本章结束,
