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1、最佳平方逼近多项式,本节内容1.内积空间2.两类特殊的函数族3.函数的最佳平方逼近4.举例5.MATLAB程序实现,5.2 最佳平方逼近多项式,1.内积空间,权函数：考虑到 在区间a,b上各点的函数值比重不同,常引进加权形式的定义，设在区间a,b上的非负函数 满足条件：,1）存在；,2）对非负的连续函数，若则在a,b上，即 不恒为0。,就称 为a,b上的权函数。它的物理意义可以解释为密度函数。,1.内积空间,内积：设 是a,b上的权函数，则称积分 为函数 与 在a,b上的内积,有下列性质：,1）2）为常数;3）4）当且仅当 时，,1.内积空间,内积空间：满足内积定义的函数空间称为内积空间。如在
2、连续函数空间 上定义了内积就形成了一个内积空间。,向量的模：在n维欧氏空间 中，内积就是两向量的数量积，即,向量的模（范数)的定义为：,1.内积空间,欧式范数：若,则量,称为 的欧式范数。,对任何,有以下结论：,（1），又称柯西-施瓦茨不等式；,（2），又称三角不等式；,（3），又称平行四边形定律。,2.两类特殊的函数族,正交：若 为a,b上的权函数且满足则称 与 在a,b上带权正交。,正交函数族：若函数族满足关系,则称 是a,b上带权 的正交函数族；若，则称为标准正交函数族。,2.两类特殊的函数族,可以证明，三角函数族满足上述条件，是在 上的正交函数族。,线性无关：若函数 在区间a,b上连续
3、，如果,当且仅当 时成立，则称,在a,b上是线性无关的。,2.两类特殊的函数族,线性无关函数族：若函数族中的任何有限个 线性无关，则称 为线性无关函数族。,充要条件：在a,b上线性无关的充要条件是它的Gramer行列式，其中,3.函数的最佳平方逼近,最佳平方逼近函数：对于 及 中的一个子集 若存在 使下式成立:,则称 是 在子集 中的最佳平方逼近函数，其中 是一组线性无关函数族，函数,3.函数的最佳平方逼近,对函数s*(x)的求解：等价于求以下多元函数,的最小值。令 则,引入内积定义，可得,即,3.函数的最佳平方逼近,上式是关于 的线性方程组，称为法方程。用矩阵形式可表示为,简记为。其中,3.
4、函数的最佳平方逼近,由于 线性无关，故其系数矩阵H的行列式非奇异，即，该法方程有唯一解为 则最佳平方逼近函数为,令，则平方误差,3.函数的最佳平方逼近,特别地，取，求其最佳平方逼近多项式。此时，,3.函数的最佳平方逼近,又称为希尔伯特矩阵。,则方程 的唯一解即为所求多项式s*(x)的系数。,4.举例,1.求 在区间0,1上的一次最佳平方逼近多项式。,解：取,由,得,则由,4.举例,得,解得：,故所求一次最佳平方逼近多项式为：,所求最佳一次逼近多项式为：,4.举例,4.举例,Matlab 求定积分（int函数）,d 0=(2*2(1/2)/5-(6*ellipticF(asin(1/(3/2+(
5、3(1/2)*i)/2)(1/2),-(3/2+(3(1/2)*i)/2)/(-3/2+(3(1/2)*i)/2)*(-1/(-3/2+(3(1/2)*i)/2)(1/2)/5+(6*(3/2+(3(1/2)*i)/2)*(2/(3/2+(3(1/2)*i)/2)(1/2)*(-1/2+(3(1/2)*i)/2)/(3/2+(3(1/2)*i)/2)(1/2)*(1/2+(3(1/2)*i)/2)/(-3/2+(3(1/2)*i)/2)(1/2)*ellipticF(asin(2/(3/2+(3(1/2)*i)/2)(1/2),-(3/2+(3(1/2)*i)/2)/(-3/2+(3(1/2)
6、*i)/2)*(-1/(2*(-1/2+(3(1/2)*i)/2)*(1/2+(3(1/2)*i)/2)(1/2)/5,4.举例,4.举例,4.举例,二次,4.举例,三次,4.举例,四次,4.举例,4.举例,4.举例,4.举例,5.MATLAB编程实现,function A=ZJPFBJ(f,n,a,b)C=zeros(n+1,n+1);var=findsym(f);f=f/varfor i=1:n+1 C(1,i)=(power(b,i)-power(a,i)/i;f=f*var;d(i,1)=int(sym(f),var,a,b);endfor i=2:n+1 C(i,1:n)=C(i-1,2:n+1);f1=power(b,n+i);f2=power(a,n+i);C(i,n+1)=(f1-f2)/(n+i);endA=Cd;A=real(double(A);end,5.MATLAB编程实现,程序结果输出,计算结果输出,5.MATLAB编程实现,程序结果输出,计算结果输出,程序正确 简化计算,谢谢,敬请老师、同学们批评指正,
