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1、第 7 章 几何光学基础,7.1 几何光学的基本定律 7.2 单个折射球面的光路计算7.3 单个折射球面的近轴区成像7.4 球面反射镜成像 7.5 共轴球面光学系统 7.6 薄透镜成像 7.7 平面的折射成像 7.8 平面镜和棱镜系统 例题,7.1几何光学的基本定律波面、光线和光束发射光能的物体称为光源。实际光源都有一定的大小，光源的大小影响着光源辐射光场的分布。如果光源的大小与其辐射光能的作用距离相比可略去不计时，该光源称为点光源。点光源是为了简化光波传播问题的研究而引入的一个物理模型，它被抽象为一个几何点。,光源发出的光波是一种电磁波，可以采用描述电磁波的基本参数描述光波，譬如频率、波长和
2、相位等。实际光源发射的光波包含多种频率的成分，称为复色光。通常为了简化光波传播问题的研究，主要研究单一频率的光波，即单色光(或简谐电磁波)。对于由同一光源发出的单色波，在同一时刻由相位相同的各点所形成的曲面称为该光波的波面。波面可以是平面、球面或其它曲面，单色点光源的波面为球面。光波沿波面的法线方向前进，将该方向定义为光波的方向，通常用波矢量描述，它与波面垂直。光波的传播过程实际上是光能量的传播过程，光能量在空间的传播可以用能流密度矢量描述。在几何光学中，光学元件结构尺寸比波长大的多，光波传播时，衍射效应和矢量特性可以忽略不计，通常采用一种简化的方法表征光能量的传播。为了了解这种处理方法，我们
3、首先看一个简单的例子。,考虑图7-1所示的水作稳定流动的水管，水流在水管内任一点的流速确定，可以将水管看做是由许多的细小的细水管即流管构成。如果流管上各点沿轴线的切线方向和水流速度方向相同，则每个流管的水只会在该管内流动，不会流到管外，这时可以将水在水管中的流动看做水在许多细小流管中的流动。,图7-1水作稳定流动的水管,类似地，光在空间传播时，如果系统的结构尺寸比波长大得多，传播过程中光的衍射可以忽略，则可以在空间定义许多细小的管道，称为光管，光管上任一点沿轴线的切线方向与光波在该点的能流密度矢量方向相同，这时光在空间的传播可以看做光沿许多细小的光管传播。相对系统的结构尺寸，如果光管非常细，则
4、可以用一条曲线表示，该曲线就是几何光学的光线。光线是几何光学中为了简化光能量在空间的传播方向而引入的一个模型，光线被抽象为既无直径又无体积的几何线，它的切线方向实际上表示了光波能量的传播方向。,在各向同性介质中，能流密度矢量和波矢量方向相同,光线方向即代表了能量的流动方向，也表示光波传播的波矢量方向。光源发出的光场在空间任一点的光线和相应的波面垂直，光波波面法线就是几何光学中的光线。同一波面的光线束称为光束。如果光束中光线能够直接相交一点或各光线的反向延长线能够相交于一点，这样的光束称为同心光束。球面波对应于会聚或发散的同心光束，平面波对应于平行光束，有时和同一波面对应的光束沿两个相互垂直的方
5、向分别会聚成位于不同位置的两条线段，称为像散光束，如图7-2所示。,图7-2几种光束,几何光学中的传播规律和成像原理，是用光线的传播途径加以直观表示的，光线的这种传播途径称为光路。实际上，一个点光源发出的光线为数条，不可能对每一条光线都求出其光路。几何光学的做法是从光束中取出一个适当的截面，求出其上的几条光线的光路，这种截面通常称为光束截面。,基本定律几何光学理论是以实验定律为基础的理论。为了研究光在介质和光学系统中的传播路径，历史上，人们从不同角度描述光的传播路径，形成了多个基本定律。这些定律主要有光的直线传播定律、光的独立传播定律、光的折射定律和反射定律、费马原理和马吕斯定律。1.光的直线
6、传播定律在各向同性的均匀介质中，光沿着直线传播，这就是光的直线传播定律。这是一种常见的普遍规律。光波在均匀介质中传播时，如果遇到的障碍物大小或通过孔径的大小比波长大得多，衍射可以忽略，就可以基于光的直线传播定律分析光波的传播。例如，利用光的直线传播定律可以很好地解释影子的形成、日蚀、月蚀等现象。,2.光的独立传播定律从不同光源发出的光线，以不同的方向通过介质某点时，各光线彼此互不影响，好像其它光线不存在似地独立传播，这就是光的独立传播定律。利用这条定律，可以使我们对光线传播规律的研究大为简化，因为当研究某一条光线的传播时，可不考虑其它光线的影响。,3.光的折射定律和反射定律1)折射定律和反射定
7、律光波在传播过程中遇到两种不同介质构成的界面时，在界面上将部分反射，部分折射，如图7-3所示。反射光线和折射光线的传播方向可以由光的反射和折射定律确定。光的反射和折射定律最早是由实验得到的，正如1.2节的讨论，也可以基于光的电磁理论进行严格的推导。它实质上反映了入射光波、反射光波和折射光波的波矢量在界面上的切向分量连续。,在图7-3中，光滑界面两侧介质的折射率分别为n和n，入射光线在界面上的入射点为O,虚线为过O点的界面的法线，将入射光线与该法线所确定的平面称为入射面，则反射光线和折射光线均在入射面内。入射光线、折射光线和反射光线的方向可以利用其与法线的夹角表征，夹角依次为I、I和I。进一步规
8、定由光线沿锐角转向法线，如果顺时针转动，光线和法线的夹角为正，反之，光线和法线的夹角为负。按照这样的规定，图中的入射角I和折射角I为正，反射角I为负，图中表示的是角度的大小，所以反射角的大小表示为I。这时折射定律可以表示为n sinI=nsinI(7.1-1)反射定律可以表示为I=I(7.1-2),图7-3反射和折射定律,如果在(7.1-1)式中，令n=n，则得I=I，此即反射定律的形式。这表明，反射定律可以看做是折射定律的特殊情况，凡是基于折射定律推导得到的光线经过界面折射有关的公式，只要令n=n，I=I，便可得到光线经过界面反射时有关的公式。正是因为这样，可以用统一的方法和公式研究光线在折
9、射光学系统和包含有反射光学元件的光学系统中的传播。从折射定律和反射定律的数学表达式(7.1-1)和(7.1-2)可以看出，两个等式两边完全等价，这说明在图7-3中，当光线沿折射光线的反方向入射到界面经过折射后，折射光线沿原来入射光线的反方向出射；或光线沿反射光线反方向入射到界面经过反射后，反射光线也沿原来入射光线的反方向出射，这就是所谓“光路的可逆性”。,光的反射和折射定律是在平面波入射到无限大的几何平面的界面上，基于电磁波在介质界面上的边值关系严格推导出来的。实际上，当界面的大小和曲率半径比入射光波的波长大的多时，反射和折射定律在界面的局部也近似成立。实际几何光学元件表面的大小和曲率半径都是
10、宏观尺寸，我们将光波分隔为许多细小的光管，每个光管的极限光线在界面上传播时，光的反射和折射定律是成立的。正因为此，光的反射和折射定律是借助光线研究光通过几何光学元件构成的光学系统传播的一个基本定律。,2)矢量形式光线沿着一条光路传播时，碰到界面的法线方向可能沿空间任意方向，这时，为确定光线经过界面反射或折射后出射光线的传播方向，可以由光的反射和折射定律的矢量形式直接求解。现在定义三个矢量A、A和A，它们的方向依次沿入射光线、折射光线和反射光线的传播方向，它们的大小分别为各光线所在空间的折射率。假如入射光波在真空中的波矢量大小为k0，入射光线、折射光线和反射光线代表的光电磁波的波矢量依次为ki、
11、kt和kr，则,(7.1-3),根据电磁场的边值关系及图1-19，ki、kt和kr在界面上的切向分量相等，相应的A、A和A在界面上的切向分量也相等，如图7-4所示。定义界面上入射点处的法向单位矢量为N0，它由入射介质指向折射介质，显然有AA平行N0，AA平行N0，它们的关系可以表示为AA=tN0,AA=rN0(7.1-4)上式中t和r分别称为折射和反射偏向常数。在上面两式等号两边同时点乘N0，并且考虑到N0A=n cosI,N0A=ncosI,N0A=n cosI(7.1-5)可以得到,图7-4反射和折射定律矢量关系,(7.1-6a),(7.1-6b),从而反射光线和折射光线矢量可以由入射光线
12、矢量表示为,(7.1-7a),(7.1-7b),3)全反射现象正如第1章的讨论，当光由光密介质进入光疏介质时，在两种介质的光滑界面上会出现所谓的全反射现象。当入射角大于由两种介质折射率所决定的临界角,(7.1-8),时，光线将完全被界面反射。,在实际的光学应用中，对于反射光线的几何光学元件总是希望有高的反射率，为此在几何光学元件表面一般都镀有金属膜或增反介质膜。但是金属膜层对光有吸收作用，增反介质膜的反射率与光波的波长有关，很难保证在一个比较宽的光谱范围内都具有高的反射率。相比之下，利用光在界面发生全反射来代替金属膜反射，可以减少光能的反射损失，且具有很宽的光谱范围。所以全反射在光学仪器中有广
13、泛的应用，例如在光学系统中，经常利用全反射棱镜代替平面反射镜。,4.费马原理费马原理是由费马(Pierr Fermat)在1661年提出来的。这个原理从光程的角度来描述光线传播的路径，是一个极值定律。它不仅可以确定光线在均匀介质中的传播路径，也可以确定光线在非均匀介质中的传播路径。如图7-5所示，如果光线在折射率为n(r)的介质中由A点传播到B点，则在任一时刻，经过A和B的两个波阵面间的相位差不仅与光线从A到B的几何路径有关，还与沿光路介质的折射率分布有关。,图7-5光在介质中的传播路径,通常将光线从A到B的几何路径与沿光路介质的折射率的乘积定义为光线从A到B的光程。如果介质均匀，从A到B的光
14、路几何路程为S，则从A到B的光程L为L=nS(7.1-9)如果介质不均匀，则可以将光路分隔为任意小的线元ds，这时从A到B的光程L可以表示为积分形式：,(7.1-10),进一步，由于线元ds上的光程可以表示为n dsc ds/v=c dt，因而从A到B的光程L可表示为L=ct(7.1-11),即光线在介质中从A到B的光程等于光在介质中从A到B的传播时间与光速的乘积。由于在一个线元上相位的变化量为djk dsk0n ds，因而A和B两点的相位差为k0L，即光线上两点的相位差等于这两点间的光程乘以真空中波矢量的大小。显然，从A到B的可能光路有无数条，每条路径都对应着一个光程值，到底光线沿哪一条路径
15、由A传播到B呢？费马原理指出，光线从A点到B点，是沿着光程为极值的那条路径传播的，即实际光路所对应的光程，或者是所有光程可能值中的极小值，或者是所有光程可能值中的极大值，或者是某一稳定值。若把任意一条几何上可能的路径记为l，则与l对应的光程L(l)可表示为下面的方程：,(7.1-12),对于不同的路径l，光程L(l)可能取不同的值。如果广义地把路径l看做是自变量，则光程L(l)是l的泛函。泛函的极值可以由变分表示为,(7.1-13),这就是费马原理的数学表达式。利用费马原理可以直接导出光的直线传播定律。这是因为两点间的路径以直线的长度为最短，故在均匀介质中直线所对应的光程为最小光程。,当光通过
16、两种不同介质的分界面时，利用费马原理也可导出光的反射定律和折射定律。下面由费马原理推导光的折射定律。如图7-6所示，过A点的光线经过由折射率为n和n的两种介质的界面折射后通过B点。由费马原理推导光的折射定律的问题，实际上就是证明在从A到B的所有可能的路径中，光实际传播的路径为光程取极值的路径，而这时在界面上的入射光线和折射光线满足折射定律。下面，首先证明满足光程极值的路径中，入射光线、折射光线和法线共面。,图7-6光线经界面的折射的传播路径,由于在界面两侧介质均匀，因此在界面两侧光线为直线。假若A和B在介质界面上的垂直投影点为A和B，入射光线在界面上的入射点为O，它位于AB直线外，将其与A和B
17、连接就构成了一条可能的光路。过O作垂直于AB的垂线，与AB相交于O，则在直角三角形AOO和BOO中，有AOAO,OBOB，所以AO+OBAO+OB由此可见，要使从A到B的路径的光程值最小，入射点只能位于AB上，即入射光线、折射光线和经过入射点的界面的法线共面。,进一步，设O为AB上任一点，它相对A的距离为z，A和B间的距离为Z0，点A和B到界面的距离为y1和y2，入射光线和折射光线与O点法线的夹角为I和I，则从A到B的光程为,要使上式光程为极值，则有,因此，相应于光程为极值的路径，其入射角和折射角满足折射定律。,上面讨论的光在均匀介质中的直线传播及在界面上的反射和折射，都是光程最短的例子。由于
18、费马原理是一个极值定律，类似于函数极值，其光程可以是极大值，也可能是极小值，或某一稳定值，这须由系统的光学结构决定。如图7-7 所示，一个以F和F为焦点的椭球反射面，由F点发出的不同光线入射到椭球面上的不同点，可以根据光的反射定律由几何关系证明，其反射光线都通过F点。由于椭球面上各点到两个焦点的距离之和相等，因而相应于从F到F的各个不同光路，其光程都相等，这是光程为稳定值的一个例子。,图7-7光程为稳定值和极大值的例子,如有另一反射镜PQ与椭球面内切于M点，镜上其余各点均在椭球内，则对椭球的两个焦点F和F来说，从任一焦点发出的光线经反射镜PQ一次反射能够通过另一个焦点的实际光路应该是经过M的光
19、路，相比反射镜PQ上其他各个反射点的可能光路，经过M点的实际光路的光程有极大值，即光按光程极大的路程传播。,5.马吕斯定理马吕斯定理是由马吕斯在1808年提出，其后由杜平(Dupin)等人推广形成的。它给出了光波在光学系统中传播时，两个波面之间光沿不同光路传播时光程之间的关系。马吕斯定理指出，垂直于入射波面的入射光线束，经过任意次的反射和折射后，出射光线束仍然垂直于出射波面，并且在入射波面和出射波面间所有光路的光程都相等。从光的电磁理论分析，马吕斯定理显而易见。这是因为任一时刻两个不同的波振面之间的相位差恒定，因而光程也恒定。马吕斯定理在分析光学系统的成像和成像质量方面有重要的意义。光的反射定
20、律和折射定律、费马原理和马吕斯定理都可以用于研究光线在光学系统中的传播路径，它们相互等价，任一个都可以作为几何光学的基本定律。,光学系统及物像的基本概念在生活中我们有许多在光参与下的系统，譬如眼睛、照相机和显微镜等，这种由基本的光学元件构成的系统称为光学系统。构成光学系统的基本光学元件可以是物理光学元件，譬如光栅、偏振片、波片以及各种光学调制器等，也可以是几何光学元件，譬如透镜、球面反射镜和平面镜等。后面几章着重讨论由几何光学元件构成的光学系统，主要研究它们的成像问题。用于成像的光学系统一般都有关于一条轴线旋转对称的性质，即有一条公共的轴线通过各个光学元件表面的曲率中心，该轴线叫做光学系统的光
21、轴，这样的光学系统通常称为共轴光学系统。经过光轴的任一平面称为子午面。如果构成共轴光学系统的各光学元件的表面均为球面或平面，这样的系统称为共轴球面光学系统。,进入光学系统参与成像的光可以直接来自光源或被光源照明的物体，也可以来自另外一个光学系统，所以光源、被光源照明的物体或别的光学系统的像都可能是成像的光学系统的物。在几何光学中，通常将物看做由许多的物点构成，由每个物点发出的进入光学系统的光束为同心光束。相对某个面，譬如薄透镜的前表面、平面镜的表面，如果物点发出的光束为发散的同心光束，即进入光学系统的光线的反向延长线能够相交于一点，称为实物点；反之，如果物点发出的进入光学系统的光束为会聚的同心
22、光束，即进入光学系统的光线的延长线能够相交于一点，称为虚物点。由实物点构成的物称为实物，由虚物点构成的物称为虚物点。成像的光源和被光源照明的物体为实物，而别的光学系统成的像则可能是实物，也有可能是虚物。,物点发出的同心光束经过光学系统后仍为同心光束，就说光学系统对该物点形成了一个完善的像点，或高斯像点，物点和像点称为光学系统的一对共轭点。如果离开光学系统的光束为会聚的同心光束，称该高斯像点为实像点；如果离开光学系统的光束为发散的同心光束，称该高斯像点为虚像点。光学系统对构成物的各个物点均成完善的像点，就说光学系统对物形成了完善像，各像点构成了物的完善像或高斯像。由实像点构成实像，虚像点构成虚像
23、。在阐明了物像概念后，引入物像空间的概念。光学系统中物所在的空间称为物空间，像所在的空间称为像空间。物空间和像空间没有严格的位置界限，光学系统成像以前整个空间为物空间，成像以后整个空间为像空间。,如果光学系统对物点形成了完善像，其物点到像点的不同光路间的光程有什么关系呢？如图7-8所示，一个光学系统对物点A成完善的像点A，若在物空间作一个波面1，显然是以A为球心的球面；同样在像空间作一个波面2，也应该是以A为球心的球面。从A到A的任一光路的光程可以表示为显然，沿不同光路的光程恒相等，又根据马吕斯定律，两个波面间沿不同光路的光程相等，即沿不同光路的光程 相等，因此，光学系统成完善像的条件是从物点
24、到像点沿不同光路的光程相等。,图7-8光学系统成完善像时光程关系,单个界面成完善像最简单的光学系统是单个的折射面或反射面，它们也是复杂光学系统的基础。下面根据光学系统成完善像的基本条件，即物点到像点的光程为定值，研究能够成完善像的单个界面的结构。首先看实物点经过单个界面反射成完善实像点时，反射面的几何结构。由于反射面有旋转对称性，因而仅仅在子午面内分析。如图7-9所示，A在折射率为n的介质中，经界面反射成完善的实像点A，则反射面应是从物点A经界面反射到像点A光程为定值的P点的集合，即,图7-9实物经界面反射成实像,其中c为一个常数。所以，P点的轨迹是以A和A为焦点的椭球面。进一步看实物点经过单
25、个界面反射成完善虚像点时，反射面的几何结构。如图7-10所示，由于成虚像，因而在像空间作一个波面，即是以A为球心、半径为R0的球面。由光学系统成完善像的条件，即沿各光路从A到波面的光程为定值，所以有,图7-10实物经界面反射成虚像,其中c也为一个常数。又PQ=R0PA，所以可得反射界面上P点满足的基本关系,因此这时的反射面是以A和A为焦点的双曲面。当物体位于无穷远的距离时，单个界面反射同样可以成完善像。如图7-11所示，这时在物空间作波面1，它显然是一个平面，进一步选择曲面顶点O到A和波面1的距离相等；在像空间作波面2，它是一个以A为球心半径为R0的球面。要使物体成完善的虚像A，则沿任一光路从
26、波面1到2的光程都应相等，即应有,图7-11无穷远的物经反射成虚像,其中c为一个常数。又由PQ=R0PA，因此,考虑到P点位于曲面顶点O上时，有MP=PA，上式右边为零，所以对于任一位置的P点，恒有,即反射面为到定点和定平面距离相等的点的集合，即是以A为焦点的抛物面。,7.2单个折射球面的光路计算符号法则在数学上为了描述空间物体的位置和形状，最方便的方法是建立一个坐标系。几何光学为了能够采用纯数学的方法描述光学系统的结构、光线的空间位置，以及光学系统物像的相对位置和大小等，引入了符号法则。下面以折射球面为例说明几何光学中的符号法则。,如图7-12所示，球形折射面是折射率为n和n两种介质的分界面
27、，C为球心，OC为球面曲率半径，以r表示，顶点以O表示。经过球面曲率中心的直线为折射球面的光轴，在包含光轴的平面(常称为子午面)内，入射到球面的光线，其位置可以由两个参量决定：一个是光线与光轴的交点A相对顶点O的线度，以L表示，称为物方截距；另一个是入射光线与光轴的夹角EAO，以U表示，称为物方孔径角。光线AE经过球面折射以后，交光轴于A点。光线EA的确定和AE相似，以相同字母表示两个参量，仅在字母右上角加“撇”以示区别，如图中L和U，分别称为像方截距和像方孔径角。在图中，A可以位于O的左边也可以位于O的右边，入射光线可以在光轴以上，也可以在光轴以下，通过符号法则就可以准确地确定它们的具体位置
28、。,图7-12单个球面折射,1.正方向的规定在建立坐标系时必须确定坐标轴的正方向，同样，在描述相对位置时应该规定正方向。正方向的规定具有任意性，几何光学中规定光线的传播方向为正方向，通常以光线从左到右的传播方向为正方向。,2.线量的规定线量包括沿光轴方向的线量和垂直光轴方向的线量，即轴向线量和垂轴线量。轴向线量的规定：在光轴上选择参考点，参考点以右的点相对参考点沿光轴方向的线度为正，参考点以左的点相对参考点沿光轴方向的线度为负。在图7-12中，球面的曲率半径r、物方截距L和像方截距L均为轴向线量，以球面的顶点为参考点，物方截距为负，像方截距和球面曲率半径为正。由于在光路图的表示中，一般给出的是
29、两点之间的距离，因而在图中AO的长度为L。垂轴线量的规定：以光轴为准，在光轴以上的点到光轴的垂轴线度为正，光轴以下的点到光轴的垂轴线度为负。图7-12中，B点相对光轴的线度y大于零，而B点相对光轴的线度y为负值。,3.角量的规定几何光学中的直线有三种，即光轴、光线和界面的法线，它们两两间可以形成夹角。光线与光轴的夹角：规定由光轴按照锐角旋转到光线方向，如果旋转方向沿顺时针方向，夹角为正，否则为负。如图7-12中的U和U，由于U为负值，在光路图中只表示角度的大小，因而图中夹角表示为U。光线和法线的夹角：规定由光线按照锐角旋转到法线方向，如果旋转方向沿顺时针方向，则夹角为正，否则为负。如图7-12
30、中球面上的入射角I和折射角I，均为正值。,法线与光轴的夹角：规定由光轴按照锐角旋转到法线方向，如果旋转方向沿顺时针方向，则夹角为正，否则为负。如图7-12中的球心角j，其为正值。从上面的角量规定来看，几何光学中角量可以为负值，但是大小一律是锐角。应当指出，符号法则是人为规定的，可以和上面的规定不同。如果采用的符号法则不同，表示同一几何光学问题的数学形式就不同。本书以后均采用上述的符号法则。,或,(7.2-1a),单个折射球面的光路计算公式光线经单个折射球面的光路计算，是指在给定单个折射球面的结构参量n、n和r时，由已知入射光线参数L和U，计算折射后出射光线的参数L和U。单个折射球面的光路计算可
31、以分为四步：1)球面上入射角I的计算如图7-12所示，在AEC中，应用正弦定理有,2)折射角I的计算由折射定律得,(7.2-1b),3)像方孔径角U的计算在图7-12中的AEC和AEC中，根据外交关系，可得jI+U=I+U，所以有U=I+UI(7.2-1c)4)像方截距L的计算在AEC中，应用正弦定理有,化简后可得,(7.2-1d),上面的(7.2-1a)(7.2-1d)式就是计算子午面内光线光路的基本公式，可以据此由已知的L和U求出U和L。,由于折射球面关于光轴旋转对称，对于光轴上A点发出的任一条光线的光路，可以表示该光线绕光轴旋转一周所形成的锥面上全部光线的光路，显然这些光线在像方交光轴于
32、同一点。由上面公式可知，当L为定值时，L是角U的函数。在图7-13中，若A为轴上物点，发出同心光束，由于各光线具有不同的U，因而光束经球面折射后，将有不同的L值，也就是说，在像方的光束不和光轴交于一点，即失去了同心性。因此，当轴上点以宽光束经球面折射成像时，其像是不完善的，这种成像缺陷称为像差。,图 7-13 单个折射球面成不完善像,上述折射球面光路计算的四个公式并非适合于所有光路，存在两种例外情况，即物方截距和像方截距为无穷远的情况。当物方截距为无穷远，即物体位于物方光轴上无限远处时，由物体发出的光束是平行于光轴的平行光束，有L=，U=0，如图7-14所示。此时，不能用L和U描述入射光线，也
33、不能用(7.2-1a)式计算入射角I。这时描述入射光线的参数为光线相对于光轴的高度h，即光线在球面上入射点的高度，入射角应按下式计算：,后面三步的计算公式不变。,图 7 14轴上无穷远点入射角的计算,像方截距为无穷远，即出射光线平行于光轴时，光路计算的前三步公式不变，第四步公式需要修改。这时描述出射光线参数不再是L和U，而是出射光线相对于光轴的高度h，其计算公式是h=r sinI(7.2-3)当L和U给定时，L和U确定，可以建立它们之间的一般自洽关系。下面给出一种关系，作为前面逐步光路计算的校对公式。如图7-15所示，自顶点O作入射光线AE的垂线OQ，由直角OEQ和直角OAQ可得,图7-15L
34、计算的校对公式用图,由于,故得,(7.2-4),同理，在像方可得,因此有,(7.2-6),上式即为物方和像方参量的一个自洽方程，可以作为按照(7.2-1)式逐步计算结果的一个验证公式。,(7.2-5),单个折射球面近轴区光路计算公式在图7-12中，如果限制U角在一个很小的范围内，即从A点发出的光线离光轴都很近，这样的光线称为近轴光。由于U角很小，其相应的I、I、U等也很小，因此其正弦值可以用弧度来代替，用小写字母u、i、i、u来表示，物方和像方截距也用小写字母l和l表示。近轴光的光路计算公式可直接由(7.2-1)式得到，即,(7.2-7),当入射光线或出射光线平行于光轴时，(7.2-2)式和(
35、7.2-3)式分别近似为,(7.2-8),h=ri(7.2-9)由校对公式(7.2-4)和(7.2-5)，可以得到近轴区的校对公式为h=lu=lu(7.2-10)上式中h为光线在球面上入射点的高度。,(7.3-1),7.3单个折射球面的近轴区成像物像公式将(7.2-7)式中的第一、第四式i和i代入第二式，并利用(7.2-10)式，可以得到,该式表明，由物点发出的近轴区同心光束，经过折射球面后像方截距相同，即仍为同心光束，所以折射球面在近轴区可以成完善像。,(7.3-1)式称为折射球面的物像公式，其中l称为物距，l称为像距，物距和像距均以折射球面顶点为参考点。这时的物点和像点称为一对共轭点。通过
36、物点和光轴垂直的平面上各点具有相同的物距，该平面称为物面。相应的通过像点和光轴垂直的平面称为像面。物面和像面称为折射球面的一对共轭面。将(7.3-1)式移项，两边同乘以h，并利用(7.2-10)式，可以得到如下两个关系：,(7.3-2),(7.3-3),(7.3-4),焦距及光焦度在折射球面近轴区成像中存在两组特殊的共轭点：物点位于光轴上无穷远处时的像点和像点位于光轴上无穷远处时的共轭物点。对于折射球面，若物点位于光轴上无限远处，即物距l=，则入射光线平行于光轴，经球面折射后交光轴于F点，如图7-16(a)所示。这个特殊的像点，称为折射球面的像方焦点。从顶点O到F的线度定义为像方焦距，用f表示
37、。将l=代入(7.3-1)式，可得,图7-16单个折射面的像方焦点和物方焦点,(7.3-5),(7.3-6),当像点位于光轴上无穷远处时的共轭物点，称为折射球面的物方焦点F，如图7-16(b)所示，从顶点O到F的线度定义为物方焦距，用 f 表示，由(7.3-1)式可得,由(7.3-4)式和(7.3-5)式可得物方焦距和像方焦距的关系为,该式表明，单个折射球面像方焦距f与物方焦距f的大小之比等于相应介质的折射率之比，负号表示物方和像方焦点永远位于折射球面顶点的两侧。,实际上，当一个光学系统可以成完善像时，都存在当物点位于光轴上无穷远处时的一对共轭点和当像点位于光轴上无穷远处时的一对共轭点，类似折
38、射球面可以定义光学系统的物方和像方焦点。(7.3-1)式右端仅与介质的折射率及球面曲率半径有关，因而对于确定的折射球面来说是一个不变量，它表征了球面近轴区成像的光学特征，称为折射球面的光焦度，以j表示,(7.3-7),当r以m为单位时，j的单位为折光度，以字母D表示。例如，n=1.5，n=1.0，r=100 mm 的球面，j=5D。,根据光焦度公式(7.3-7)及焦距公式(7.3-4)和(7.3-5)，折射球面两焦距和光焦度之间的关系为,(7.3-8),所以，焦距f 和f及光焦度j是表征折射面成像的重要光学特征量。,(7.3-9),高斯公式和牛顿公式在折射球面物像公式(7.3-1)两边同乘以r
39、/(nn)，根据焦距公式(7.3-4)和(7.3-5)，得,此式称为折射球面成像的高斯公式。上式不显含折射球面的结构参数，可以用来描述一般能够成完善像的光学系统的物像关系，也称为光学系统成像的高斯公式。如果物距和像距不以折射球面的顶点为参考点，而分别以物方焦点F和像方焦点F为参考点，并用x和x表示，分别称为焦物距和焦像距，如图7-17所示。,图 7-17 牛顿公式导出用图,由图可得如下关系：,(7.3-10),将上式代入高斯公式(7.3-9)，化简后得xx=ff(7.3-11)此式称为牛顿公式。牛顿公式表明，以焦点为参考点，物距和像距之积等于物方和像方焦距之积。牛顿公式的形式较高斯公式简单，对
40、称性显著，有时运用更为方便。对于折射球面近轴区成像，公式(7.3-1)、(7.3-9)和(7.3-11)具有相同的含义，彼此完全等价，适用于球面折射的各种不同情况。,放大率物体经球面折射成像后，通常不仅需要知道像的位置，而且还希望知道像的相对大小、虚实和倒正，以及光线经过折射前后方向的改变等，这些关系可以通过折射球面的放大率描述。折射球面的放大率包括垂轴放大率、轴向放大率和角放大率。1.垂轴放大率垂轴放大率有时也称为横向放大率，是用来描述物体成像前后高度之间的关系。如图7-18所示，物体AB经过折射球面成像为AB，物高和像高分别表示为y和y，即AB=y，AB=y。垂轴放大率定义为像高和物高的比
41、值，一般用表示，即,图7-18垂轴放大率公式导出用图,由图7-18中ABC和ABC相似可得,或,(7.3-13),(7.3-12),根据(7.3-2)式，由上式可得垂轴放大率的表示式为,可见，垂轴放大率仅取决于共轭面的位置，在同一共轭面上，放大率为常数，故像必和物相似。,由垂轴放大率的定义式(7.3-12)和(7.3-13)式可以得到如下结论：(1)0时，y和y异号，表示成倒像；0时，y和y同号，表示成正像。(2)0时，l和l异号，表示物和像处于球面的两侧，实物成实像，虚物成虚像。(3)0时，l和l同号，表示物和像处于球面的同侧，实物成虚像，虚物成实像。(4)|1时，成放大的像；|1时，成缩小
42、的像。,(7.3-14),2.轴向放大率对于有一定体积的物体，物体除了有高度(垂轴尺寸)外，还有厚度(轴向尺寸)，轴向放大率用于描述物体成像前后厚度之间的关系。物体的厚度可以用物面沿光轴的移动量表征，如果物面沿光轴移动一个微小量dl，相应地像移动dl，则轴向放大率定义为,对(7.3-9)式关于l和l微分，可以得到,(7.3-16),由此可得轴向放大率为,(7.3-15),由上述讨论可以得到，折射球面的和满足如下关系：,由该关系式可见，折射球面的轴向放大率恒为正值，这表示物点沿光轴移动时，其像点将沿同样的方向沿光轴移动，故称折射球面成一个一致的像。如果在一个光学系统中，为负值，物点沿光轴移动时，
43、像点以反方向沿光轴移动，则称该光学系统成一个非一致的像。,由(7.3-15)式还可以看出，折射球面的与共轭面的位置有关，当物面位置发生变化时，将发生变化。这说明(7.3-15)式只有当dl很小时才适用。如图7-19所示，如果物点从A1沿光轴移动到A2，沿光轴的移动量为l2l1，相应于像点的移动量为l2l1，这时可定义两对共轭面间的平均轴向放大率为,(7.3-17),对A1和A2两个物点分别应用折射球面成像公式(7.3-1)，可以得到,图7-19轴向放大率,移项整理有,其中1和2分别为物在A1和A2两点的垂轴放大率。将上式带入(7.3-17)式，可得,(7.3-18),3.角放大率在近轴区，通过
44、物点的光线经球面折射后，必然经过其共轭像点。假设这样一对共轭光线与光轴夹角为u和u，定义角放大率为u和u之比，用表示，有,(7.3-19),利用关系式lu=lu，上式可写为,(7.3-20),(7.3-22),(7.3-21),再根据垂轴放大率的表示(7.3-15)式，可得,综合上式和(7.3-16)式，可得三个放大率之间的关系为,拉亥不变量由关系式和，可得nyu=nyu=J(7.3-23)上式称为拉格朗日-亥姆霍兹恒等式，用J表示，称为拉亥不变量。,7.4球面反射镜成像 焦点和焦距将n=n代入(7.3-7)和(7.3-8)式，可以得到球面反射镜的光焦度和焦距公式为,(7.4-2),(7.4-
45、1),该式表明球面反射镜的二焦点重合，位于球心和球面镜顶点间的中点位置。对于凸球面反射镜，如图7-20(a)所示，r0，则f0；对于凹球面反射镜，如图7-20(b)所示，r0，则f0。,图7-20球面反射镜的焦点(a)凸球面镜；(b)凹球面镜,物像公式将n=n代入(7.3-1)式，可以得球面反射镜的物像位置公式为,(7.4-3),(7.4-4),考虑到物方焦距和像方焦距的关系式(7.4-1)，对于球面反射镜，高斯公式可以表示为,牛顿公式和折射球面有相同的形式。,(7.4-5),放大率球面反射镜也定义有垂轴放大率、轴向放大率和角放大率，它们的定义式和折射球面相同。由折射球面放大率的表达式(7.3
46、-13)、(7.3-15)和(7.3-20)，可以得到球面反射镜的三种放大率公式为,7.5共轴球面光学系统转面公式共轴球面光学系统成像过程中的参数包括系统结构参数和成像参数，图7-21给出了由三个折射球面构成系统的关键参数。对于由k个球面构成的系统，它的结构由结构参数唯一确定，结构参数包括：(1)各折射球面的曲率半径r1，r2，rk；(2)相邻两个球面顶点之间的间隔d1，d2，dk1，其中di是第i个球面顶点到第i1个球面顶点之间的间隔；(3)各球面物方和像方介质的折射率n1，n1，n2，n2，nk，nk，其中ni和ni是第i个球面前后介质的折射率。,图7-21共轴球面系统,光学系统近轴区成像
47、和光路计算时涉及的参数有：(1)各个球面的物高和像高：y1，y1，y2，y2，yk，yk；(2)各个球面的物距和像距：l1，l1，l2，l2，lk，lk；(3)光线的物方和像方孔径角：u1，u1，u2，u2，uk，uk。,(7.5-1),考虑到前一个球面成的像正好为下一个球面成像的物，可以得到如下关系:,结合图7-21可以得到物距和像距的转面公式为l2=l1d1，l3=l2d2，lk=lk1dk1(7.5-2)上述转面公式不仅适用于近轴光路，对于非近轴光路也同样适用，这时孔径角和截距的转面公式为,(7.5-3),在进行光路计算时，有时需要求出光线在球面上的入射高度h。如图7-21所示，在近轴区
48、球面上入射高度的转面公式为,(7.5-4),拉亥公式利用(7.3-23)式，对共轴球面系统的每一个球面都可以写出其拉亥公式：n1u1y1=n1u1y1n2u2y2=n2u2y2nkukyk=nkukyk利用(7.5-1)式可得n1u1y1=n2u2y2=nkukyk=nkukyk=J(7.5-5)该式表明，拉亥不变量不仅对一个折射球面的两个空间是不变量，而且对整个光学系统的每一个球面的每一个空间都是不变量。,放大率公式共轴球面光学系统也定义有垂轴放大率、轴向放大率和角放大率，它们的定义式和折射球面相同，只是需要将折射球面的像空间参数换为共轴球面光学系统的像空间(即最后一个球面的像空间)参数，即
49、,(7.5-6),利用转面公式(7.5-1)和(7.5-2)很容易证明，共轴球面系统的各个放大率等于各个球面相应放大率之乘积：,(7.5-7),将单个球面的放大率表示式代入上式，可求得放大率间的关系为,(7.5-8),(7.5-9),(7.5-10),由此可见，共轴球面系统的总放大率为各球面放大率的乘积，三种放大率之间的关系与单个折射球面的相应关系一样。,7.6薄 透 镜 成 像透镜的分类透镜是由两个曲面的透明体制成的。由于球面的对称性较高，容易加工，因而透镜的两个曲面通常为球面或者为平面。将与两个曲面垂直的直线定义为透镜的光轴。如果构成透镜的曲面为球面，光轴通过球心；如果为平面，光轴垂直该平
50、面。光轴和两个曲面存在两个交点，分别称为透镜的前顶点和后顶点，两个顶点之间的距离称为透镜的厚度。透镜有多种分类方法。从结构上可如图7-22所示分为双凸透镜、双凹透镜、平凸透镜、平凹透镜、正弯月透镜和负弯月透镜，它们可以由两个面的曲率半径的数值区分，如表7-1所示。,图7-22透镜按照形状的分类,表7-1透镜结构和曲率半径关系,在透镜成像中，如果透镜的厚度对于成像的位置和质量影响较小，可以忽略，则透镜称为薄透镜，否则称为厚透镜。透镜根据对光束具有发散作用还是会聚作用，可以分为正透镜和负透镜。正透镜对光束具有会聚作用，负透镜对光束具有发散作用。对于由玻璃构成的薄透镜放在空气中，如果中间比边缘厚就是
