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1、一级倒立摆控制的极点配置方法摘要倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的自然不稳 定系统。因此倒立摆在研究双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整和直 升机飞行控制领域中有重要的现实意义，相关的科研成果己经应用到航天科技和 机器人学等诸多领域。本文通过极点配置，实现了用现代控制理论对一级倒立摆的控制。利用牛顿 第二定律及相关的动力学原理等建立数学模型，对小车和摆分别进行受力分析， 并采用等效小车的概念，列举状态方程，进行线性化处理想，最后通过极点配置， 得到变量系数阵。利用Simulink建立倒立摆系统模型，特别是利用Mask封装功能, 使模型更具灵活性，给仿真带来很大方便。
2、实现了倒立摆控制系统的仿真。仿真 结果证明控制器不仅可以稳定倒立摆系统，还可以使小车定位在特定位置。关键词：倒立摆，数学建模，极点配置THE POLE PLACEMENT CONTROL TO A SINGLEINVERTED PENDULUMAbstractInverted pendulum system is multivariable, nonlinear, strong-coupling and instability naturally. The research of inverted pendulum has many important realistic meaning in
3、 the research such as, the walking of biped robot, the lunching process of rocket and flying control of helicopter, and many correlative productions has applications in the field of technology of space flight and subject of robot.Through the pole placement method, the control of the inverted pendulu
4、m is realized. We get the mathematic model according to the second law of Newton and the foundation of the dynamics, analysis the force of the cart and pendulum, and adopt the concept of the equivaleiDuringiwriiing the equitation of the system, the equitation has been processed by linear. At last, w
5、e get coefficient of the variability. The simulation of inverted pendulum system is done by the SIMULINK Tool box. Specially Mask function is applied, it makes simulation model more agility, the simulation work become more convenient. The result shows that it not only has quite goods ability, but al
6、so is able to make the cart of the pendulum moving to the place where it is appointed by us in advance along the orbit.Key words:inverted pendulum, mathematic model, pole placement目录摘要IAbstractII1绪论11.1倒立摆系统简介11.2倒立摆的控制规律21.3对倒立摆系统研究的意义31.4倒立摆的发展状况41.5论文的主要工作52直线一级倒立摆的牛顿一欧拉方法建模72.1微分方程的推导73状态空间极点配置1
7、03.1状态反馈及输出反馈的两种基本形式103.1.1状态反馈103.1.2输出反馈113.2关于两种反馈的讨论123.3状态反馈的优越性143.4极点配置的提出143.4.1期望极点的选择143.4.2极点配置需要注意的问题153.5理论分析153.6极点配置的方法问题163.7根据极点配置法确定反馈系数184 一级倒立摆系统模块仿真21结论23致谢24参考文献25附录A （外文文献）26附录B （中文翻译）331绪论1.1倒立摆系统简介倒立摆系统是一种很常见的又和人们的生活密切相关的系统，它深刻揭示 了自然界一种基本规律，即自然不稳定的被控对象，通过控制手段可使之具有 良好的稳定性。倒立摆
8、系统是一个非线性，强耦合，多变量和自然不稳定的系 统。它是由沿导轨运动的小车和通过转轴固定在小车上的摆杆组成的。在导轨 一端装有用来测量小车位移的电位计，摆体与小车之间由轴承连接，并在连接 处安置电位器用来测量摆的角度。小车可沿一笔直的有界轨道向左或向右运动， 同时摆可在垂直平面内自由运动。直流电机通过传送带拖动小车的运动，从而 使倒立摆稳定竖立在垂直位置。图1.1 一级倒立摆装置简图由图1.1中可以看到，倒立摆装置由沿导轨运动的小车和通过转轴固定在小 车上的摆体组成。导轨的一端固定有位置传感器，通过与之共轴的轮盘转动可以 测量出沿导轨由图中可以看到，倒立摆装置由沿导轨运动的小车和通过转轴固定
9、 在小车上的摆运动的小车位移；小车通过轴承连接摆体，并在小车与摆体的连接 处固定有共轴角度传感器，用以测量摆体的角度信号；并通过微分电路得到相应 的速度和角速度信号；导轨的另一端固定有直流永磁力矩电机，直流电机通过传 送带驱动小车沿导轨运动，在小车沿导轨左右运动的过程中将力传送到摆杆以实 现整个系统的平衡。倒立摆的种类很多，有悬挂式倒立摆、平行式倒立摆、和球 平衡式倒立摆；倒立摆的级数可以是一级，二级，乃至更多级。控制方法也是多 种，可以通过模糊控制，智能控制，PID控制，LQR控制等来实现倒立摆的动态 平衡，本文介绍的是状态反馈极点配置方法来实现一级倒立摆的控制。1.2倒立摆的控制规律当前，
10、倒立摆的控制规律可总结如下：1、Pm控制，通过对倒立摆物理模型的分析，建立倒立摆的动力学模型，然 后使用状态空间理论推导出其非线性模型，再在平衡点处进行线性化得到倒立摆 系统的状态方程和输出方程，于是设计出PID控制器实现其控制。2、状态反馈H控制1，通过对倒立摆物理模型的分析，建立倒立摆的动力 学模型，然后使用状态空间理论推导出状态方程和输出方程，应用状态反馈和 Kalnian滤波相结合的方法，实现对倒立摆的控制。3、利用云模型2-3 实现对倒立摆的控制，用云模型构成语言值，用语言值构 成规则，形成一种定性的推理机制。这种拟人控制不要求给出被控对象精确的数 学模型，仅仅依据人的经验、感受和逻
11、辑判断，将人用自然语言表达的控制经验， 通过语言原子和云模型转换到语言控制规则器中，就能解决非线性问题和不确定 性问题。4、神经网络控制，已经得到证明，神经网缴(NeuralN etwork NN)能够任意 充分地逼近复杂的非线性关系，NN能够学习与适应严重不确定性系统的动态特 性，所有定量或定性的信息都等势分布贮存于网络内的各种神经元，故有很强的 鲁棒性和容错性;也可将Q学习算法4和BP神经网络有效结合，实现状态未离散化 的倒立摆的无模型学习控制。5、遗传算法(Genetic Algorithms, GA)，高晓智a在Michine的倒立摆控制 Boxes方案的基础上，利用GA对每个BOX中
12、的控制作用进行了寻优，结果表明 GA可以有效地解决倒立摆的平衡问题。6、自适应控制，主要是为倒立摆设计出自适应控制器。7、模糊控制，主要是确定模糊规则，设计出模糊控制器实现对倒立摆的控 制。8、使用几种智能控制算法相结合实现倒立摆控制，比如模糊自适应控制， 分散鲁棒自适应控制等等。9、采用遗传算法与神经网络相结合的方法，首先建立倒立摆系统的数学模 型，然后为其设计出神经网络控制器，再利用改进的遗传算法训练神经网络的权 值，从而实现对倒立摆的控制，采用GA学习的NN控制器兼有NN的广泛映射能 力和GA快速收敛以及增强式学习等性能。1.3对倒立摆系统研究的意义倒立摆装置被公认为自动控制理论中的典型
13、实验设备，也是控制理论教学 和科研中的典型物理模型。通过对它的研究不仅可以解决控制中的理论和技术实 现问题，还能将控制理论涉及的主要基础学科:力学，数学和计算机科学进行有 机的终合应用。倒立摆的研究不仅有其深刻的理论意义，还有重要的工程背景。 在多种控制理论与方法的研究与应用中，特别是在工程实践中，也存在一种可行 性的实验问题，使其理论与方法得到有效检验，倒立摆就能为此提供一个从理论 通往实践的桥梁，由于倒立摆系统与火箭飞行和双足步行机器人的行走有很大的 相似性，因此倒立摆的研究对于火箭飞行和机器人的控制等现代高新技术的研究 具有重要的实践意义。目前，对倒立摆的研究己经引起国内外学者的广泛关注
14、， 是控领域研究的热门课题之一。在控制理论发展的过程中，某一理论的正确性及在实际应用中的可行性需要 一个按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证这一理论，倒立摆就是这 样一个被控对象。倒立摆本身是一个自然不稳定体，在控制过程中能够有效地反 映控制中的许多关键问题，如镇定问题，非线性问题，鲁棒性问题，随动问题以 及跟踪问题等。倒立摆的典型性在于作为一个装置，成本低廉，结构简单，形象 直观，便于实现模拟和数字两者不同的方式的控制;作为一个被控对象，又相当 复杂，就其本身而言，是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强祸合的快速 性系统，只有采取行之有效的控制方法方能使之稳定。因此，倒立摆系统在控
15、制 理论研究中是一种较为理想的实验装置。对倒立摆系统进行控制，其稳定效果非常明了，可以通过摆动角度、位移 和稳定时间直接度量，控制好坏一目了然。理论是工程的先导，对倒立摆的研 究不仅有其深刻的理论意义，还有重要的工程背景。从日常生活中所见到的任 何重心在上、支点在下的控制问题，到空间飞行器和各类伺服云台的稳定，都 和倒立摆的控制有很大的相似性，故对其的稳定控制在实际中有很多用场，如 海上钻井平台的稳定控制、卫早发射架的稳定控制、火箭姿态控制、飞机安全 着陆、化工过程控制等都属这类问题。因此付倒立摆机理的研究具有重要的理 论和实际意义，成为控制理论中经久不衰的研究课题。1.4倒立摆的发展状况倒立
16、摆系统稳定与控制的研究在国外始于60年代，我国则从70年代中期 开始研究。首先根据经典控制理论与现代控制理论应用极点配置法，设计模拟 控制器。国内外专家学者先后控制了单倒立摆与二级倒立摆的称定。随着徽机 的广泛应用，又陆续实现了数控二级倒立摆的租定。此外，由于智能控制理论 的兴起，相继应用模糊理论与神经网络控制了二级倒立摆的稳定。早在60年代人们就开始了对倒立摆系统的研究，1966年Schaefer和C annon应 用Bang-Bang控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置。在60年代后期，作为一个 典型的不稳定、严重非线性证例提出了倒立摆的概念，并用其检验控制方法对不 稳定、非线性和快速性系统
17、的控制能力，受到世界各国许多科学家的重视，从而 用不同的控制方法控制不同类型的倒立摆，成为具有挑战性的课题之一。直到70年代初，用状态反馈理论对不同类型的倒立摆问题进行了较为广范的 研究5-7虽然在许多方面都取得了较满意的效果，但其控制方法过多的依赖于 线性化后的数学模型，故对一般工业过程尤其是数学模型变化或不清晰的对象缺 乏指导性的意义。在80年代后期，随着模糊控制理论的快速发展，用模糊控制理论控制倒立摆 也受到广泛重视，其目的在于检验模糊控制理论对快速、绝对不稳定系统适应能 力，并且用模糊控制理论控制一级倒立摆取得了非常满意的效果，由于模糊控制 理论目前尚无简单实用的方法处理多变量问题，故
18、用适合的方法处理二级倒立摆 多变量之间的关系，仍是模糊控制二级倒立摆的中心问题之一。清华大学的张乃 尧先生等提出了双闭环模糊控制方法控制一级倒立摆。常见的模糊控制器是根据 输出偏差和输入偏差变化率来求控制作用，是二输入一输出的控制器。当控制器 的输入为两个以上时，控制规则数随输入变量数指数增加，不仅使模糊控制器的 设计非常复杂，也使模糊控制的执行时间大大增长，难于实时应用。张乃尧先生 对倒立摆采用双闭环模糊控制方案，很好的解决了上述问题，并在实际装置上取 得了满意的结果，并对其他模糊串级控制也具有参考价值。程福雁先生等研究了 使用参变量模糊控制对二级倒立摆进行实时控制的问题。作者拟通过传统的控
19、布 鲤论得出各种状态变量间的综合关系，来处理系统的多变量问题;通过仿真寻优 和重复试验相结合的方法，得到控制倒立摆所谓的最优参数;采用高精度清晰化 方法，使输出控制等级更为细腻。神经网络控制倒立摆的研究，自90年代初开始得以快速的发展。而早在1963 年，Widrow和Smith就开始将神经网络应用于倒摆小车系统的控制。神经网络控 制倒立摆是以自学习为基础，用一种全新的概念进行信息处理，显示出巨大的潜 力。今天有许多学者正致力于引用神经网络控制一级或二级倒立摆的研究。另外 还有许多其他的控制方法用于倒立摆的控制。近代机械控制系统中，如直升飞机、火箭发射、人造卫星运行及机器人举 重物、做体操和行
20、走机器人步行控制等等都存在有类似于倒摆的稳定控制问题. 倒立摆系统大概可以归纳为如下几类:悬挂式倒立摆、平行式倒立摆和球平衡式 倒立摆系统。倒立摆的级数可以是一级、二级、三级乃至多级，倒摆系统的运 动轨道可以是水平的，还可以是倾斜的（这对实际机器人的步行稳定控制研究更 有意义）。早在60年代，人们就开始了对倒立摆系统控制的研究。1966年Schaefer 和Cannon应用Bang-Bang控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置。在60年代 后期，作为一个典型的不稳定、严重非线性系统的例证，倒立摆系统的概念被 提了出来。人们习惯于用它来检验控制方法对不稳定、非线性和快速系统的控 制处理能力。因而受
21、到了普遍的重视。1.5论文的主要工作1、第一章简介倒立摆，对其结构、发展、控制规律和意义进行阐述。2、为了对被控对象有一个较充分的认识，第二章应用牛顿力学中的第二 定理建立了一级倒立摆系统的数学模型，并在平衡点进行了系统线性化的处理， 得到了系统的线性化模型。3、目前己有多种控制方法实现了一级倒立摆的稳定控制，第三章介绍状 态反馈极点配置的控制方法，首先根据建立的状态方程设计状态反馈控制器， 然后根据状态反馈控制器将系统的极点配置进行介绍，分析，并给出极点配置 的方法和反馈系数的确定过程。4、第四章进行仿真实验，根据仿真获得的结果进行极点的最优化选择。极点距离原点的距离越远系统的控制速度越快。
22、2直线一级倒立摆的牛顿一欧拉方法建模系统建模可分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对 象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检 测其可观测的输出，应用数学手段建立起系列的输入一输出关系。这里面包括 输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。机理 建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手 段建立起系统内部的输入一状态关系。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困 难。但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型 运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理
23、论建立系统的动力学方 程。下面我们采用其中的牛顿一欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模 型。2.1微分方程的推导图2.1我们不妨做以下假设M小车质量m摆杆质量b小车摩擦系数l摆杆转动轴心到杆质心的长度I摆杆的惯量F加在小车上的力X小车的位置0 摆杆与垂直向下方向的夹角(考虑到摆杆初始位置为竖直向下)分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：M x = F - b x - N由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：d 2N = m(x +1 sin 9 )dt 2即：N = m X + ml 9 cos 9 ml 9 2 sin 9把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：
24、(M + m) X + b X + m19 cos 9 m19 sin 9 = F(1.1)为力推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分 析，可以得到下面方程：d2P mg = m(1 cos9 )dt 2即：P mg = ml 9 sin 9 m19 cos 9力矩平衡方程如下：p1 sin 9 N1 cos9 = I9注意：此方程中力矩的方向，9=兀+ ,cos = cos 9 ,sin = sin 9, 故等式前面有负号。合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：(I + m12)9 + mg1 sin 9 = m1x cos 9( 1.2)设9 =K +N是摆杆
25、与垂直向上方向之间的夹角)，假设与1(单位是弧度)相比很小，即 1，即可以进行近似处理: cos0 = 一1, sin0 = -,()2 = 0.dt用u来代表被控对象的输入力F,线性化后两个运动方程如下:(1.3)J( I + ml 2)0 + mgl0 = mlx(M + m) X + ml0 = u以上式子就是建立的数学模型方程式。3状态空间极点配置经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统，控制器设计时一般 需要有关于被控对象的较精确模型。现代控制理论主要是依据现代数学工具， 将经典控制理论的概念扩展到多输入多输出系统。极点配置法通过设计状态反 馈控制器将多变量系统的闭环系统极点配
26、置在期望的位置上，从而使系统满足 工程师提出的瞬态性能指标。前面我们已经得到了倒立摆系统的比较精确的动 力学模型，下面我们针对直线型一级倒立摆系统应用极点配置法设计控制器。3.1状态反馈及输出反馈的两种基本形式用状态向量的线性反馈构成的闭环系统，成为状态反馈系统.状态反馈使用 了系统状态变量的线性组合，作为反馈变量来配置系统的极点，将系统的闭环 极点转移到期望的位置上，从而满足系统的性能要求。根据选用状态变量的多 少，可分为全状态反馈和部分状态反馈。全状态反馈使用了全部状态变量的线性组合来构成反馈系统，而部分状态 反馈只是使用一部分状态的线性组合来构成反馈系统。控制系统最基本的形式是由受控系统
27、和反馈控制规律所构成的反馈系统。 在古典控制理论中，习惯于采用输出反馈；而在现代控制理论中，通常采用状 态反馈。这就构成了反馈的两种基本形式。3.1.1状态反馈对受控系统气=(4 B, C, D),用状态向量的线性反馈V* = KX构成的闭环 系统，称为状态反馈系统。受控系统气=(4 B, C, D)的方程为J X = AX + BV y = CX + DV线性反馈规律为V = u - KX因此，通过状态反馈构成的闭环系统的状态方程和输出方程为J X = (A - BK) X + Buy = (C - DK) X + Du一般D=0，式(3.1)可简化为J X = (A - BK) X + B
28、uI y = CX常表示为 = (A - BK, B, C)。其传递函数矩阵为 kW(s)= C(sI A + BK)-1BK(3.1)(3.2)(3.3)对受控系统气=(A, B, C, D),用输出向量的线性反馈V * = Hy = HCX构成 的闭环控制系统，称为输出反馈系统。3.1.2输出反馈当D=0时，线性反馈规律为X = AX + B(u - Hy)所以通过输出反馈构成的闭环系统的状态方程和输出方程为（3.4）（3.5）X = (A BHC) X + Buy = cx常表示为E = （A - BHC）, B, C）。而其传递函数矩阵为 KW = C (sI - A + BHC)-1
29、B可以导出闭环传递函数矩阵Wh（s）和开环传递函数矩阵W0（s）之间的关系为（3.6）W (s) = W (s)I + HW (s)-i3.2关于两种反馈的讨论1、两种形式反馈的重要特点是，反馈的引入并不增加新的状态变量，即 闭环系统和开环系统具有相同的阶数。2、两种反馈闭环系统均能保持反馈引入前的能控性，而对于反馈闭环系 统的能观测性则不然。对于状态反馈形式，闭环以后不一定保持原系统的能观 测性；对于反馈形式，闭环以后必定能保持原系统的能观测性。3、在工程实现的某些方面，两种反馈形式常常遇到一定的困难，因此， 在某些情况下还需将它们推广成一般的形式。实现状态反馈的一个基本前提是，状态变量x
30、,x ,x必须是物理上可量12n测的。当状态变量不可量测时，设法由输出y和控制V把系统的状态X构造出 来，即采用观测器来获得状态的观测量，以实现状态反馈。这样便得到此基本 形式更一般的方块图，如图3.3所示。图3.3中，f为X的重构值，两者不恒等，但是渐近相等的，观测器也是 一个线性系统，其阶数一般小于受控系统的阶数。所以带观测器的状态反馈系 统，其阶数等于受控系统和观测器阶数的和，即受控系统的状态变量和观测器 的状态变量组成了闭环系统的状态变量。图3. 3带观测器的状态反馈系统输出反馈虽然在获得信息上并不存在困难，但可以证明输出反馈的基本形 式不能满足任意给定的动态性能指标要求，包括使系统稳
31、定的必要性。为此， 通常引入补偿器，即古典控制理论中广泛采用的校正网络，以克服上述局限性。图3. 4带补偿器的输出反馈系统图3.4为输出反馈的更一般形式。同样，一般补偿器的阶数将低于受控系 统的阶数，所以闭环系统的阶数为两者阶数之和，即闭环系统的状态变量是由 受控系统的状态变量和补偿器的状态变量组成的。4、将两种反馈进行比较不难得出，输出反馈的一个突出优点的工程上构 成方便。但事实证明，状态反馈与输出反馈比较，具有更好的特性，而且随着 观测器理论和卡尔曼理论的发展，状态反馈的物理实现问题也已基本解决，因 此总体上说，状态反馈有更大的适应性。当然对具体系统而言，要从实际情况 出发，进行具体分析与
32、选择。3.3状态反馈的优越性在状态空间中，状态反馈的优越性在于可将系统的状态和输入综和起来组 成系统的控制信号，从而可以完全确定系统的未来行为，得到较好的控制效果。 在工程上，状态反馈可应用现代控制理论，设计各种最优控制系统，如最短时 间控制系统、最小能量控制系统、线性二次型最优控制系统。对于有随机扰动 的系统，可通过对状态的估计，设计最优控制系统，同时可对变化的系统模型 进行自适应控制。3.4极点配置的提出动力学的各种特性或各种品质指标在很大程度上是由系统的极点决定的， 因此系统综合指标的形式之一可以取为S平面上给出的一组所希望的极点。所 谓极点配置问题，就是通过状态反馈矩阵K的选择，使闭环
33、系统（A BK）的 特征根，恰好处于所希望的一组极点的位置上。因为希望的极点具有任意性， 所以极点的配置也应当做到具有任意性。事实上，古典控制理论中采用的综合 法，无论是根轨迹法还是频率法，本质上也是一种极点配置问题。从极点配置问题的定义可知，对希望极点的选取，实际上是确定综合目标 的问题，也是首先要考虑的复杂的问题。3.4.1期望极点的选择选取极点时所遵循的原则如下：对于一个n维控制系统，可以而且必须给定n个希望的极点。所希望的极点可以为实数或复数，但是当以复数形式给出时，必须共轭复 数对形式出现，即物理上是可实现的。选取所希望极点的位置，需要研究它们对系统品质的影响，以及它们与零 点分布状
34、况的关系，从工程实际的角度加以选取。在所希望极点的选取中，还必须考虑抗干扰和低灵敏度方面的要求，即应 当具有较强的抑制干扰的能力，以及较低的对系统参数变动的灵敏度。在综合时，需要解决极点配置的理论问题与方法问题。3.4.2极点配置需要注意的问题使用极点配置方法时，要注意的问题：（1）系统完全状态可控是求解的充分必要条件。（2）应把闭环系统的期望特性转化为Z平面上的极点位置。（3）理论上，选择反馈增益可使系统有任意快的时间响应。加大反馈增益可提 高系统的频带，加快系统的响应。但过大的反馈增益，在有一定误差信号时， 导致控制信号的无限增大，这在工程上无法实现。因而必须考虑反馈增益的物 理实现可能性
35、。（4）当系统的阶次较高时，可用Ackerman公式，通过计算机求解。3.5理论分析方程组（1.3）对“解代数方程,得到解如下:mlg =ml (M + m) g uI (M + m) + Mml 2I (M + m) + Mml 2.m 212 gI + ml 2X = v +UI (M + m) + Mml 2I (M + m) + Mml 2以上式是两元联立二阶常微分方程，如果取状态变量为:X 1Xv2=XX3xXL 4J ,，即摆干的角度和速度以及小车的位置和速度四个状态变量.则系统的状态方程为：rX1 = X2.mgl (M + m)一 ml2 I (M + m) + Mml 2 1
36、 I (M + m) + Mml 2x =x3 4.=- m 212 g+ I + ml 2、4 I (m + m) + Mml 2 1 I (M + m) + Mml 2将上式写成向量和矩阵的形式，就成为线性系统的状态方程X = Ax + Bux是四维的状态向量，而系统矩阵A和输入矩阵B为下列形式-0 10 0-0 -系统矩阵A=a 0 0 0输入矩阵B=c0 0 0 10b 0 0 0_d其中参数a,b,c,d为下列表达式确定的常数。ml (M + m) ga =mlI (M + m) + Mml 27m 212 gb =I (M + m) + Mml 27I + ml 2d =I (M
37、+ m) + Mml 2I (M + m) + Mml 2选择摆杆的倾斜角度0和小车的水平位置x作为倒立摆杆/小车系统的输 出，则输出方程为-0-1000y =L x=L0010=Cx所谓状态反馈，就是用状态向量与一个系统矩阵的积作为控制向量u = Kx控制力u是一个加给小车水平方向的力u，状态变量有四个，所以反馈系数是一个1X4阶的矩阵K = K1 K 2 K 3 K 4则系统状态反馈控制力可用状态变量与各自系数k ,k ,k ,k乘积之和的 1234形式表示u = k x + k x + k x + k x1 12 23 34 4=k 0 + k 0 + k x + k x12343.6极
38、点配置的方法问题综合指标为：输出超调量c疽5% ；超调时间t尸0.5s ；系统频宽3b 10 ；跟 踪误差e = 0 （对阶跃），e 0.2（对速度）。1.确定希望的极点显然，希望的极点n=3,选其中一对为主导极点和s2，另一个为远极点，并且 认为系统的性能主要是由主导极点决定的，远极点只有微小的影响。根据二阶系统的关系式，先定出主导极点。1b = e、i-& 2=必 *（顼 1-2&2 + J2 4&2 + 4&4） 式中g和七为此二阶系统的阻尼比和自振频率。可以导出:由七=e一 T-g2 3.14,从而有 g X= = 0.707,于是选 g = 0.707.由t 0.5s得兀 0.5=n
39、 42由b 10和己选的g=l=得/ 10,和的结果比较可取七=10。这样便定出了主导极点s12 =-g 土 沁侦1-g 2远极点应选择得使它和原点的距离远大于51 s1l，现取Is3I=10Is1因此确定的希望极点为s =-7.07 + j 7.07危 =-7.07 - j 7.072 s , s =-10034注：其中主导极点决定系统的性能，远极点只有微小的影响，根据系统的综 合指标关系式可以先定出主导极点，远极点应选择得使它和原点的距离远大于 5倍的主极点与原点的距离。当将特征根指定为下列两组数时人,人,人,人=-7.07 土 7.07 j,-1001234极点配置法是以线性系统为对象设
40、计状态反馈控制器，使闭坏控制系统的特征 根（极点）分布在指定位置的控制器设计方法。3.7根据极点配置法确定反馈系数系统方程为（I + ml 2 有 + mgl。= mlx（M + m） X + ml = u假定倒立摆杆/小车系统的参数如下：摆干的质量m=0.07kg长 度 2l=0.4m转动惯量I =胃3小车的质量M=1.32kg重力加速度g=10m/ s 2得到系统矩阵A和输入矩阵B为-010 0-0 一38.1825 0 0 0-2.8037A =B =00 0 10-0.3847 0 0 00.7477矩阵A的特征值是方程|ls - A| = 0的根:s-100-38.1825s0000
41、s-1-0.384700sls - A =0因此，该系统的特征根S1 s4分别为s , s , s , s = 0,0,6.18,-6.181234特征根之一s3的实部是正值，所以该系统是不稳定的，由此可知：u = 0时，倒 立摆系统是不稳定的系统。对这一不稳定系统应用状态反馈，可使摆杆垂直且 使小车处于基准位置，即达到稳定状态。在用状态方程表示的系统中，应用状态反馈构成的系统的特征根，以矩阵 (A + BK)的特征值给出。系统稳定的充要条件是所有特征值都要处于复平面的 左半平面。矩阵(A + BK)特征值是方程式|/s - (A + BK)| = 0的根：s 0 0 0一一0 1 0 0一r
42、 0 1 0 s 0 0a 0 0 0c 1一xk k k k J =01 0 0 s 00 0 0 1012340 0 0 s _b 0 0 0_d J这是s的四次代数方程式，可表示为s 4 一 (ck + dk )s3 一 (a + ck + dk )s 2 + (ad 一 bc)k s + (ad 一 bc)k = 0241343适当选择反馈系数k,k,k,k，系数的特征值可以取得所希望的值。1234把四个特征根人，人，人，人设为四次代数方程式的根，则有 1234s 4 - (X +人 +人 +人)s 3+ (XX +XX +XX +XX+XX +XX ) s 21 22 33 44 1
43、1 34-(XXX +XXX +XXX +XXX )s1 2 32 3 41 3 44 1 2+ XXXX =01234比较两式有下列联立方程式ck + dk =人+人 +人 +人2 41234-(a + ck + dk )=人人 +XX +XX +MM +MM +MM131 22 33 44 11 32 4-(ad - bc) k =人人人+人人人+XXX +人人人41 2 32 3 41 3 44 1 2(ad 一 bc)k =XXXX3 12 3 4根据给出的实数和公轭复数的人，人，人，人，则联立方程式的右边全部为实1234数。据此可求解出实数k ,k ,k ,k .1234利用方程式可
44、列出关于k,k,k,k的方程组:1234一 2.8037k + 0.7477k =-6一 38.1925 + 2.8037k - 0.7477k = 18- 27.4766k = -30427.4766k3 = 25求解后得k = 2.4316k 4 = 1.0918k = 20.2846k 3 = 0.9099即施加在小车水平方向的控制力u：u = 20.28469 + 2.43169 + 0.9099x + 1.0918xN 上述给出的状态反馈控制器，可以使处于任意初始状态的系统稳定在平衡 状态，即所有的状态变量9,9, x及x都可稳定在零的状态。这就意味着即使在初 始状态或因存在外扰时，
45、摆杆稍有倾斜或小车偏离基准位置，依靠该状态反馈 控制也可以使摆杆垂直竖立，使小车保持在基准位置。相对平衡状态的偏移，得到迅速修正的程度要依赖于指定的特征根的值， 一般来说，将指定的特征根配置在原点的左侧，离原点越远，控制动作就越迅 速，但响应地需要更大的控制力和快速的灵敏度。4 一级倒立摆系统模块仿真1）用鼠标双击计算机桌面上的Matlab图标，启动Matlab，在指令区运行 指令simulink或双击Matlab的工具栏中图标（Simulink Library Browser）均可 启动Simulink模块库浏览器：然后左击浏览器的工具栏中图表（create a new mode），新建一个simulink模型窗。2）从Simulink模块库浏览器的菜单Simulink的子菜单Signals&Systems 下选Subsystem拖到Simulink模型窗的编辑窗口中，将所有的模块连接起来。3）最后利用Simulink的Mask功能把子系统进行封装，得到一级倒立摆 系统模块。图4.1 SIMULINK仿真模型图4.3小车角度的仿真曲线仿真结果分析从仿真曲线上来看，控制量都在合理范围，系统基本在两秒回到了平衡位置。 仿真证明：状态反馈极点配置方法可以稳定一级倒立摆系统，而且响应速度快， 可以用于倒立摆的实物系统控制
