三重积分计算方法小结.docx

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1、江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文三重积分的计算方法小结Methods of Calculation of TripleIntegral姓 名：蒋晓颖学 号： 1007012048学 院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学指导老师： 蒋新荣（副教授）完成时间：2014年1月23日三重积分的计算方法小结蒋晓颖【摘要】三重积分的计算是数学分析中的难点，本文结合教材以及相关资料较 全面地给出了三重积分计算中的四种处理方法。第一，利用降低三重积分重数的 思想，将其化为累次积分；第二，采用坐标变换的方法，将积分体表示成适当的 形式；第三，充分运用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，简化计算；

2、第四， 利用高斯公式将三重积分的计算转化成曲面积分计算。希望这几种方法能对学习 者具有一定的指导意义。【关键词】三重积分累次积分坐标变换对称性高斯公式Methods of Calculation of Triple IntegralJiang Xiaoying【Abstract】 The calculation of triple integral is the difficulty in Mathematics analysis. In this paper, unifying the teaching and related materials ，we give four instruct

3、ive methods of the calculation of triple integral for learner. The four methods are as follows the first, lower the multiplicity of triple integral and replace it with iterated integral； the second, with the method of coordinate alternate, we can transform the integral volume into appropriate form；

4、the third， fully use the parity of integrand and symmetry of integral area to simplify calculation ； finally， we can calculate the triple integral with the Gauss formula that could transform triple integral into a surface integral.【Keywords】 triple integral iterated integral coordinate alternatesymm

5、etry Gauss formula目录1引言 12三重积分的概念和性质12.1三重积分的概念12.2三重积分的性质23三重积分的计算方法33.1化三重积分为累次积分33.1.1投影法33.1.2截面法43.1.3三重积分化为累次积分的应用43.2三重积分换元法73.2.1 一般坐标变换73.2.2柱面坐标变换73.2.3球面坐标变换73.2.4三重积分坐标变换的应用83.3利用奇偶性和对称性计算三重积分103.3.1积分区域关于某平面对称的情形103.3.2积分区域关于积分变换轮换对称的情形143.3.3三重积分对称性的应用143.4利用曲面积分计算三重积分154小结 1920参考文献1引言

6、三重积分的计算是初学者的一个难点.计算三重积分即要将它化成累次积分，教 材中给出了计算公式、换元法和定限法，但要具体地实现这一点，既要有较强的几何 直观能力，以便于将积分体表示成适当的形式，又需要灵活的选择计算公式和方法， 以便于计算.其中的方法和技巧学生难以把握，为了更快更好地培养学习者在这方面 的能力，本文总结出三重积分计算中的若干处理方法.2三重积分的概念和性质2.1三重积分的概念类似于第一型曲线积分，求一个空间立体V的质量M就可导出三重积分.设密度 函数为/ (x,y,z)，为了求V的质量，我们把V分割成n个小块V，, Vn，在 每个小块上任取一点(,n.,G，则M = lini f

7、q，n，)匕， 其中av_为小块匕的体积，|叮=max*的直径.1i n设f (x,y,z)是定义在三维空间可求体积的有界区域V上的有界函数.现用若干光 滑曲面所组成的曲面网T来分割V，它把*分成n个小V，, Vn，记的 体积为av ( i=i,2,，n)， |T| = maxv的直径.在每个v.中任取一点1in(，叫,)，作积分和f(&，丑,C )av .i i i i i=1定义：设f (x,y,z)为定义在三维空间可求体积的有界闭区域V上的函数，J是一 个确定的数，若对任给的正数8，总存在某一个正数8，使得对于V的任何分割T， 只要ITII 8，属于分割T的所有积分和都有寸 f (&，丑

8、，匚)-J 8，i i ii=1则称f (x,y,z)在V上可积，数J称为函数f (x,y,z)在V上的三重积分，记作或 J = JJJ f 3, y, z )dxdydz其中f (x,y,z)称为被积函数，x,y,z称为积分变量，V称为积分区域.当f (x,y,z)三1时，jjjdV在几何上表示V的体积.V2.2三重积分的性质三重积分具有与二重积分相应的有关性质.类似于二重积分，有1、若f (x,y,z)在区域。上可积，k为常数，则kf (x,y,z)在。上也可积，且 jjj kf (x, y, z) dV = kjjj f (x, y, z) dV.。2、3、4、若 f (x,y,z) ,

9、 g(x,y,z)在区域。上可积，则 f (x,y,z) 土 g(x,y,z)在。上也可 积，且 BJ f (x, y, z) + g (x, y, z) dV = BJ f (x, y, z) dV BJg (x, y, z) dV.。若f (x, y,z)在Q和Q2上都可积，且Q和Q2无公共内点，则f (x, y,z)在Q1 Q 上也可积，且 M f (x,y,z)dV = B!f (x,y,z)d V + BJf (x,y,z)d V UQ1 Q2Q1Q2U 若 f (x, y,z)，g(x,y,z)在区域 Q 上可积，且 f (x, y,z) g (x, y,z) (x, y,z) c

10、Q，则 B! f (x, y,z)dV B!g(x, y,z)dV.QQ5、若f (x,y,z)在区域Q上可积，则|f (x,y,z)|在Q上也可积且f (x, y, z)dV 顼J f (x, y, z) dV .QQ6、若 f (x, y,z)在区域 q 上可积，且 m f (x, y, z) M,(x, y, z) cQ,则mV Ifff (x,y,z)dV MVq,这里匕是积分区域Q的的体积. Q7、(中值定理) 若f (x,y,z)在有界区域Q上连续，则存在G,n,C)cQ，使得fff f (x, y,z)dV = f (&,n,Q )V ，这里V是积分区域Q的体积. QQ3三重积分

11、的计算方法3.1化三重积分为累次积分3.1.1设想将积分区域缩为平面区域(投影法)定理1、 若函数f (x,y,z)在长方体V = a,bxc,dxe,h上的三重积分存在，且对任意(X, y) a, bxc, d xe, h ， g (x, y) = J hf ( x, y, z )dz 存在，则积分cjj g(X, y)dxdy 也存在，且Ifff (x,y,z)dxdydz =jjdxdyfhf (x, y,z)dz.(1)cDVDk-i气.证 用平行于坐标轴的直线做分割T，它把V分成有限多个小长方体y y xLV = x ,x.xijk ijkG.zn.)eL ,x.x 现按下标k相加，

12、有j 气 f q，气,z) dz=j hf q，气,z) dz=g q，气) k 气-ic以及 mAx AyAz g &，门)Ax Ay MAx AyAz.ijk i j ki j i jijk i j ki, j ,ki, ji, j ,k七1 yj设M , m 分别是f (x, y,z)在Vjk上的上确界和下确界.对任意 ，m Az f zk f (& ,n , z)dz M Az x ijk ki jijk k(2)zk-1上述不等式两边是分割t的下和与上和.由f (x,y,z)在V上可积，当ITU T0时， 下和与上和具有相同的极限，所以由(2)式得g(x,y)在d上的连续函数，函数f

13、 (x,y,z)在V上的三重积分存在，且对任意(x,y) G D，G(x,y) = jz2(x,y) f (x, y,z)dz .z1( x, y)亦存在，则积分jj G(x, y)dxdy存在，且(3)jjj f (x, y, z )dxdydz =jj G (x, y )dxdy = jj dxdy f z2( x, y) f (x, y ,z)dzz1( x, y)证定义F 3, y, z)=f (x, y, z),(x, y, z )eV,他G, y，其中匕二 a, b 以,d 以,h , 对F (x, y, z)应用定理1,则有Iff f (x, y, z )dxdydz = JJJ

14、 F (x, y, z )dxdydzvv0=ff dxdy f hF (x, y, z )dza,bkc,d=ff dxdy f z2( x,y) f (x, y, z )dz.Dz1( x, y)3.1.2设想将积分区域收缩为一条直线段(截平面法)定理2、若函数f (x,y,z)在长方体V = a,bxc,dxe,h上的三重积分存在，且对任何X河a,b二重积分I (x) = ff f (x, y, z) dydzD也存在，其中D = c, d xe, h ， 则积分f bdx ff f (x, y, z )dydza D也存在，推论且ffff (x, y, z)dxdydz = fbdxf

15、f f (x, y, z)dydz .aV ua,bxc,dxe,h, 函数f (x,y,z)在v上三重积分存在，且对任意固定的z ee, h，积分中(z )=ff f (x, y, z )dxdy存在，其中d二是截面 DZ(x, y )|( x, y, z) eV ，则f h 中(z )dz 存在，且 effff (x, y, z)dxdydz = fh中(z)dz =f hdzff f (x, y, z)dxdy.eeVDZ3.1.3三重积分化为累次积分的应用例1 计算积分i = m 2 + z,v为V一棱台，其六个顶点为 A（0,0,1）, B（0,1,1）,C （1,1,1）, D（0

16、,0,2 ）, E（0,2,2 ）F（2,2,2 ）.解一：（投影法）积分区域V在ya平面上的投影区域Q三ABED （梯形）.对任意给 定的点（y ,z）eQ，点（x,y ,z ）随x增大时，当x = 0时穿入V，当x = y时穿出V ,00000故 V = h, y, z）|（y,z）eQ,0 x y.所以I顼如小办顼 dydz0 y 2 + z 2y 2 + z 2QQ= J2 dz Jzydy = J 2j_m_dz = ln2.10 y2 + z21 2 z22解二：（截面法）将V向z轴上投影，得到的区间是11,2,任意取定z e 2, z = z在V上截口为等腰直角三角形区域D :0

17、 y z,0 x ,z),求积分I _jjj l.V分析作-的旋转变换4即u2=2 + V2 .可见2=2zx是以u轴为对称轴的贝U 2 _ 2zx变成 2 _ u2 - v2直角锥(如图2)了D _ x, ) x2 + 2 2 2zx.注意，化为极坐标时2 = 2zx变为r2sin20 = 2zrcos0.一 z 土 dv _ 2J1 dzff dxd _ 21 dzf 1-z2 rdrf0)r2 dr _(2 + 兀).8r sin 0 d07 + 7 2 +r 2cos-1r3.2三重积分换元法3.3.1 一般坐标变换和二重积分一样，某些类型的三重积分作适当的变量变换后能使计算方便.设变

18、换T: x= x(u,v,w),y = y(u,v,w),z = z(u,v,w)，把uvw 空间中的区域V 一对一地映成xyz空间中的区域V ,并设函数x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)及它们的一阶偏导数在V内连续且函数行列式dx dx dxdu dv dwJ (u, v, w )=dy dy dy壬0, (u,v,w)eV.du dv dwdz dz dzdu dv dw于是与二重积分换元法一样，可以证明成立下面的三重积分换元公式：Iff f (x, y, z)dxdydz = fff f (x (u,v, w), y (u, v, w), z (u, v, w)| J

19、(u, v, w)|dudvdw,3.2.2柱面坐标变换(4)x = r cos。, 0 r +8, T: y = rsin0, 0 0 2兀，z = z，-8 z +8 .由于变换T的函数行列式cos0cos0cos0J (r ,0, z )=sin 0sin0sin 0=r,001按(4)式，三重积分的柱面坐标变换元公式为Iff f (x, y, z )dxdydz=ffff (r cos 0 ,r sin 0, z )rdrd0 dz3.2.3球坐标变换尤=r sin甲 cos0, 0 r +8,T: y = rsin甲sin0, 0 甲兀，z = zcos甲，0 0 0,所以在球坐标变

20、换下，按公式(4),三重积分的球坐标换元公式为fff f (x, y, z)dxdydz =fff f (r sin p cos 0, r sin p sin 0 ,rcos p )r2sin pdrdpd0,VV这里V为V在球坐标变换下的原象.3.2.4三重积分坐标变换的应用例3计算fff(x + y )dxdydz,其中V是有曲面2 (x2 + y2 )= z与z = 4为界的区域V(如图3)解 V在xOy平面上的投影区域D为x2 + y2 2 .按柱坐标变换，区域V可表为0,z) 2r2 z 4,0 r 必,0 0 0所围区域. a 2 b 2c 2V解作广义球坐标变换x = ar si

21、n甲 cos。，T: y = br sin 甲 sin 0,z = cr cos 甲,于是J = abcr2sin .在上述广义球坐标变换下，V的原象为V = j （r,甲,0）0 r 1,0甲 V ?,0 0 2兀.则有vabc sincp coscpt/r(i(p0Vabc2r sincp coscpJr000Tiabc fzi .J 2 sm(p costpHcp2 oTiabc4例5计算积分I =- z)arctan zdxdydz其中v是由曲面vz + -(y- z)2 =R2,z = 0,及z = /i 所围成之立体. A解 令x = u,y-z = /2v,z = w,艮|7：z

22、=u,y = y/2v + w, z = w.于是100/ = 0 y/21=y/2,001V = w,v,iv)0 wh,u2 + v2 7?21从而I = hdw ff y/2v arctan w Jldudvor m2+v2/?2=2jh arctan wdw J J vdudv = 0ow2+v2 R2(有对称性，我们可以直接看出JJ vdudv = 0.)Z42+V27?23. 3利用奇偶性和对称性计算三重积分在重积分计算中，充分运用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，常可使计算 更为简捷.本文将对三重积分中应用奇偶性和对称性作一概述.在给出若干基本结论 的基础上，对常见的几类处理方

23、法作一介绍.3.3.1.1空间对称区域上三元奇偶函数的定义设u f (x,y,z) f (M)是定义在平面兀为对称平面的三维区域Q上的三元函 数，M、M eQ (M与M关于兀互为对称点).目()-f (M)，则称f (M )为。上关于平面兀的奇函数若f M I f (M),则称u f (M )为。上关于平面兀的偶函数3.3.1.2三元奇偶函数在对称区域上的积分公式及证明上述定义中，若以兀为对称平面将区域。分为Q1和Q两部分，则体积二Q 的体积，当M eQ时，M eQ.且有 0, f (x, y, z )为Q上的连续奇函数川 f (x, y, z dV = 2M f (x, y, z )dV,

24、f (x, y, z )为Q 上的连续偶函数L Q事实上，设区域Q以平面兀:Ax + By + Cz + D = 0为对称平面，M (x , y ,z )eQ，则 M (x ,y ,z )eQ .下面找出 M 与 M的关系. 000 i000 i设过点M与M的直线为1，由于直线1与平面兀垂直，因此直线/的方程为:x - x _ y - y _ z - zA - B - C 设直线l与平面兀的交点为P(x,y,z)，解方程组Ax + By + Cz + D 0x - x _ y - y _ z - zA - B。- C x - G - A2a)x - ABay - ACaz - ADa()0得P

25、 点的坐标为y -ABax + U - B2y - BCaz - BDa” 0(0) 0z -ACax0 - BCay0 + Vi - C2a)z0 - CDa其中a =A2 + B 2 + C 2_ X + XV + V由于P点又是M与M连线的重点，所以 V = ,0 c %2_ Z + Z 七0 2 0x = (1 - 2A2a)x - 2ABay - 2ACaz - 2ADa0()o从而进一步得：y = -2 ABax + V1 - 2B 2a )y - 2BCaz - 2BDa0 0 (0 ) 0 z = -2ACax - 2BCay + v1 - 2C2a)z - 2CDal 000

26、0而 Iff f (x, v，z )dxdydz =jjj f (x, v，z )dxdydz =BJ f (x , v , z )dx dy dzQiQQ对 fff f (x y z )dx dy dz作变换:Qix = G - 2A2a)x - 2ABay - 2ACaz - 2ADa y1 = -2ABax + ( - 2B2a )y - 2BCaz - 2BDaz = -2ACax - 2BCay + ( - 2C2a)z - 2CDa雅克比式：1 - 2 A2 a- 2 ABa 2 ACaA2 AB ACJ =-2 ABa 1 - 2 B 2 a- 2 BCa=(-1)- 2aAB

27、B2 BC=-1-2 ACa- 2 BCa 1 - 2C 2 aAC BC C2当 f (x,y,z)为 Q上的奇函数时，f (x, ,y ,z) = -f (x,y,z)，因此：Iff f (x , y , z、)dx dy dz =fff - f (x, y, z)| Jdxdydz = -Iff f (x, y, z)dxdydz .QiQQ1当 f (x,y,z)为 Q上的偶函数时，f (x, ,y,z ) = f (x,y,z)Qi因此：ffff (x,y,z)dx，dydz，= ffff (x, y,z)| Jdxdydz = ffff (x, y,z)dxdydz .Q1Q1故有

28、O,f Cx,y,z）为Q上的连续奇函数川f G,y,z）W = zjjjfG,y,z）为QH勺连续偶函数I QQ3.3. 1.3空间区域关于坐标平面对称的情形作为上述问题的特例，当丸取坐标xQy平面时，我们有：设Q关于坐标平面用为对称，即若,则其对称点y，zAT（x,y,-z）eQ .目（）_（），则称2（肠）为Q上关于z的奇函数那么和| /（M）,则称u = f（M）为Q上关于z的偶函数们0,f （x,y,z）为关于z的奇函数JJJf（2获加=项，M，z）为关于z的偶函数Q当冗取坐标平面xQy时，我们有：设Q关于坐标平面yOz对称，即若,则其对称点/）J-f（Mf）,则称u = f（M）为

29、Q上关于尤的奇函数那么0,f (x,y,z)为关于工的奇函数f (兀 y,z)dV - 2jjj f J, ydV.f (x, y,z)为关于顶的偶函数 k-若M L（M），则称U = f（M）为Q上关于尤的偶函数Q当冗取坐标平面xOz时，我们有：设Q关于坐标平面xOz对称，即若,则其对称点 Ar（x,y,z）Q ./ ）J-f（Mf）,则称 二 /*（）为Q上关于y的奇函数 若M1/（0,则称u = f（M）为Q上关于y的偶函数那么mf0, f (x, y, z )为关于y的奇函数fG，y, ZdV - 2Ifff (x, y, z)dV, f (x, y, z )为关于y的偶函数Q、Q3.

30、3.2积分区域关于积分变量为轮换对称的情形若当 M (x, y, z)eQ 时，有 M(y, z,x)eQ、M (z,x, y)eQ ,就称空间区域Q 关于变量x、y、z具有轮换对称性.若三重积分的积分区域Q具有轮换对称性.同时被积函数f (x,y,z)关于变量x、y、z也具有轮换对称性(即 f (x,y,z)= f (y,z,x)= f (z,x,y) ).就有 fff f (x, y, z )dV =fff f ( y, z, x )dV =fff f (z, x, y )dVQQQ则：fff f (x, y, z )dV +fff f (y, z, x)dV +fff f (z, x,

31、y )dV = 3fff f (x, y, z )dVQQ3.3.3三重积分对称性的应用z ln (x 2 + y 2 + z 2 +1)例6 计算fff dvx2 + y2 + z2 + 1Q闭区域.其中Q是由球面X 2 + y 2 + z 2 1所围成的解：积分区域Q关于xOy平面对称，而被积函数(-z )ln奇函数(即x 2 + y 2 + (一 z )2 +1 x 2 + y 2 +(一 z )2 +1z ln (x 2 + y 2 + z 2 +1)是关于z的x2 + y2 + z2 + 1z ln (x 2 + y 2 + z 2 +1).故所求积分x2 + y2 + z2 + 1

32、等于0.例7 计算fffxzdxdydz ,其中Q是由平面z = 0,z = y,y = 1以及抛物面y = x2所围Q成的区域.解： 积分区域Q关于yOz平面对称，而被积函数xz是关于x的奇函数(即(x)z = -xz)，故所求积分为0.例8 计算JJJ(x + y + z)办女，其中Q为三个坐标平面及平面x + y + z = 1所围Q成的闭区域.解： 由于被积函数和积分区域都满足对x、y、z 的轮换性，因此BI(x + y + z )dxdydz = 3fff xdxdydz = 31 ydxdydz = 3fff zdxdydz ,QQQQIff xdxdydz = U xdxdy f

33、1-x- ydz = f1 xdx f1-xdy f1-x- ydz 0000Q %=f1 xdx f1-x (1 - x 一 y )dy=f1 x (1 - x ) dx = -L2 024得：fff(x + y + z)dxdydz =-8Q例9计算fff(4z- y)dv，其中Q为三个坐标平面及平面x = 1,y = 1,z = 1所围成的Q立方体.解:利用被积函数和积分区域关于积分变量的对称性，可知 fff zdv =ydv .因此:QQM(4 z - y )dv = 4 皿dv 项 ydv = 3 皿dv 顼 i dj 1 dyj 1 zdz = |.QQQQ000利用三重积分的对称

34、性可以有效地简化计算，但在使用时必须兼顾积分区域和被 积函数两个方面，否则可能导致错误的结果.另外，三重积分计算是曲面积分计算的基 础,对三重积分对称性的研究可为进一步研究简化曲面积分计算做准备.3.4利用曲面积分计算三重积分在曲面积分的计算中，高斯公式建立了空间封闭曲面上的曲面积分与三重积分的 联系.但是，由于高斯公式在结构上的特殊性，在应用高斯公式是往往事蒋曲面积分 的计算转化为三重积分的计算，却很少利用高斯公式将三重积分的计算转化成曲面积 分的计算，忽视了曲面积分在三重积分计算中的作用.本文给出把一类三重积分在三 重积分转化成曲面积分的一个定理，并举例说明这个定理的一些应用.本文中列举的

35、 例子其目的只是说明应用这个定理如何计算三重积分，也许这个例子利用三重积分的 计算公式直接计算更为简单一些.定理3设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成，函数f (x,y,z)在V上连续，且具有一阶连续的偏导数，而 k + k + k + k 丰 0，1234则JU f (x, y, z )dxdydz =V其中S取外侧.*77 df 77 .( ) 若 kx一 + k y 一 + k z 一 = k f (x, y, z ),1 6x 2 6y 3 6z 4k + k + k + k123,1_ff f (x, y, z )(k xdydz + k ydzdx + k zdxdy ),1

36、23Q (G, z )= k2 yf (x, y, z )，=如(x,y, z)+ k2y g ,4 S证明取 P (x, y, z )= kxf (x, y, z ), 1R (x, y, z )= k3 zf (x, y, z )dPdf dQ则dx = kf(x,y,z)+ kx , -dyP = k3 f (x, y, z )+ k3 z 牛从而dP + dQ + dR = (k + k + k )f (x, y,z)+ k f + k f + k dfdxdydz 1231 dx2 dy3 dz=(k + k + k+ k ) f (x, y, z ).1234由于函数f (x, y

37、, z )在V上连续，且具有一阶连续的偏导数，所以p(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)在V上连续，且具有一阶连续的偏导数，dxdyxy= J Pdydz + Qdzdx + Rdxdy,S由高斯公式：得JJJ(k + k + k + k1234V从而JJJ f (x, y, z )dxdydz =V)f (x, y, z )dxdydz = 际 x, y, z )(k xdydz + k ydzdx + k zdxdy ),iTf (x, y, z )(k xdydz + k ydzdx + k zdxdy ) k + k + k + k1231234 S推论 当kx = k

38、fx,y,z)且上+k更。时，1 dx 414fff f G y,z)dxdydz = - W kxf (%, y.z)dydz k +k iV 14 S 当ky-kfx,y,z)且七&电时，ffff Gy.z)dxdydz = i Wk yf (x,y,z)dzdx k +k 2V 24 s 当k z-L = k fx.y.z)且k日更0时，3 羔 434fff f G y.z)dxdydz = - k zf (x, y.z)dxdy; k +k 3V 34 S 当kx堂+ k y- k fGc,方苗)且上+k +k。0时，i dx dy 4i 24fWf(x,y,z)dxdydz =!JI

39、 f G, y, z)Q xdydz + k ydzdx)- k +k +ki 2V 124 5kx + k z = k fx,y,z)Ak +k +k 壬。时，1 dx 3 dz 4134BIf (x, y,z)dxdydz =!JI f G, y,zk xdydz + k zdxdy)- k +k +ki 3V 134 s当k y + k z = k fx,y,z)&k +k +k 更0时，2 Qy 3 QZ 4D 234Bf (x, y, z)dxdydz =!JI f (x, y, z)Q ydzdx + k zdxdy); k +k +k23V 234 sx + k+ k z - k

40、 fG，y,z)且上 +k +k +k 更0时，1 办 2 为 3 Q 4 J1234ffff (x, y.z)dxdydz ff f (x, y,z)(k xdydz + k ydzdx + k zdxdy k +k +k +ki 23V 1234 S例10 计算 fff (xy + z2)dxdydz, V = -2,5 x-3,3 x0,1.解f (x,y,z)= xy + z2 ,f = y,f = x,军=2z,x* + f + f = (xy + z2),由excyczexdycz定理得I = fff (xy + z 2 xdydz =1 ff x (xy + z 2 )dydz

41、+ y (xy + z 2 )dzdx + z (xy + z 2 )dxdy,5V其中S是立方体V的六个面，取外侧.取DyzDxy=(y, z)|-3 y 3,0 空 1D = (z,x) 0 z 1,-2 x 5), =(x, y)-2 x 5,-3 y 3).=ff(5 y + z2)5dydz - ff(-2y + z2 X-2)dydz + ff Gx + z2 )3dzdxLDyDyzDzxJJ (3 x + z )(-3)dzdx + ff(xy +1)dxdy二14Dzx例11解：Dxy/1 c,Y dxdydz.Vx 2 + y 2 + z 2 十1 x2 + y 2+z 2 R 2考虑积分计算I = fff)3 dxdydz, f (x, y, z )=1(x 2 + y 2 + z 2 )(x 2 + y 2 + z 21 x 2+y 2+z 2 R 2Cf _6 xCf _6 yCf _6 z)3 = -6 f (x, y, z ).Cx(x 2 + y 2 + z 2 )Cy(x 2 + y 2 + z 2 )Cz(x 2 + y 2 + z 2 )CfCfCfx 2 + y 2 + z 21则 xf + yf + zf = -6 Y = -6 CxCyCzVx 2 + y 2 + z 2 r(x 2 + y