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1、二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分的题型和分值分布,第九章,一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,重 积 分,二、二重积分的性质,第一节,一、二重积分的定义与可积性,三、二重积分的应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分的概念与性质,第九章,曲顶柱体体积:,平面薄板的质量:,一定义 如果 在D上可积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、二重积分的性质,(k 为常数),为D 的面积,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别,由于,则,5.若在D上,6.设,D 的面积为,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7.(二重积分的中值定理),在闭区域D上,
2、为D 的面积,则至少存在一点,使,连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8.二重积分的对称性定理（1）如果积分区域D关于x轴对称，f(x,y)为y的奇偶函数，则,(2)如果积分区域D关于y轴对称，f(x,y)为x的奇偶函数，,(3)轮换对称性：,（4）如果积分区域D关于直线y=x对称，则,(5)如果积分区域D关于原点对称，关于原点对称的两部分为,真题研讨,例1.计算,其中D 由,所围成.,解:令,(如图所示),显然,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2设D是平面上以（1,1),（-1,1）,（-1，-1）为顶点的三角形区域，D1 是D在第一象限的部分，则,*三、二重积分的换元法,第二节
3、,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分的计算法,第九章,一、利用直角坐标计算二重积分,若D为 X 型区域,则,若D为Y 型区域,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:(1)若积分区域既是X型区域又是Y 型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.,则有,(2)若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,则,特别,对,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若 f 1 则可求得D 的面积,思考:下列各图中域 D 分别与 x,y 轴相切于原点,试,答:,问 的变化
4、范围是什么?,(1),(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第三节,一、三重积分的概念 和性质,二、三重积分的计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三重积分,第九章,定义.设,称为体积元素,在直角坐标系下常写作,三重积分的性质与二重积分相似.,性质:,例如,中值定理.,在有界闭域 上连续,则存在,使得,V 为 的,体积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对称性的应用,关于yoz面对称，,若区域关于原点对称，且f(x,y,z)关于(x,y,z)是奇函数，则,二、三重积分的计算,1.利用直角坐标计算三重积分,方法1.投影法(“先一后二”),方法2.截面法(“先二后一”),方法3.三次积
5、分法,先假设连续函数,并将它看作某物体,通过计算该物体的质量引出下列各计算,最后,推广到一般可积函数的积分计算.,的密度函数,方法:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方法1.投影法(“先一后二”),该物体的质量为,细长柱体微元的质量为,微元线密度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方法2.截面法(“先二后一”),为底,d z 为高的柱形薄片质量为,该物体的质量为,面密度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,投影法,方法3.三次积分法,设区域,利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.利用柱坐标计算三重积分,就称为点M 的柱坐标.,直角坐标与柱面
6、坐标的关系:,坐标面分别为,圆柱面,半平面,平面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如图所示,在柱面坐标系中体积元素为,因此,其中,适用范围:,1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;,2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.利用球坐标计算三重积分,就称为点M 的球坐标.,直角坐标与球面坐标的关系,坐标面分别为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如图所示,在球面坐标系中体积元素为,因此有,其中,适用范围:,1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;,2)被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,考研真题研讨,三重积
7、分的计算更要关注利用球坐标或柱面坐标的计算，在第二类曲面积分中，常常利用高斯公式来解决问题，而高斯公式的应用很多时候都用球坐标或者柱面坐标来计算。,例3.计算三重积分,解:,用“先二后一”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中为由,例4.计算三重积分,所围,解:在柱面坐标系下,及平面,柱面,成半圆柱体.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.计算三重积分,解:在柱面坐标系下,所围成.,与平面,其中由抛物面,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.设,计算,提示:利用对称性,原式=,奇函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.设由锥面,和球面,所围成,计算,提示:,利用对
8、称性,用球坐标,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第三节,一、立体体积,二、曲面的面积,三、物体的质心,四、物体的转动惯量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,重积分的应用,第九章,一、立体体积,曲顶柱体的顶为连续曲面,则其体积为,占有空间有界域 的立体的体积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二.曲面面积公式,若光滑曲面方程为,则有,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若光滑曲面方程为,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三.若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片,(A 为 D 的面积),得D 的形心坐标:,则它的质心坐标为,其面密度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四如果物体是平面薄片,面密度为,则转动惯量的表达式是二重积分.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,五、物体的转动惯量,物体 对 z 轴 的转动惯量:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对 x 轴的转动惯量,对 y 轴的转动惯量,对原点的转动惯量,物体的质心坐标,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则得形心坐标：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
