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1、高中物理系列模型之实物模型13.闭合线框模型(1)模型界定 本模型是指闭合回路整体在穿越有界匀强磁场区域运动或在非匀强磁场区域中运动时所涉及的电力学及功能问题.模型破解1. 穿越有界匀强磁场(i) 线框在进入或穿出磁场边界时线框内磁通量发生变化，线框中才有感应电流.线框完全处于磁场内或磁场 边界都处于线框内时线框中无感应电流，也无焦耳热产生，但有双电动势存在.(ii) 线框受到合力等于感应电流所受的安培力时，线框的速度变化与位移成正比:B 2 L2 VB 2 L2 xmAv = BILAt =At =RR线框从单一有界磁场区域进入磁场过程与穿出磁场的过程中速度变化量相等(iii) 将线框匀速拉
2、入或拉出磁场时,通过回路横截面的电荷量与线框运动的速度无关，线框产生的热量与正比:q = Ai =皿,q = BV2.虹=B2WR RR v Rq与线框的运动性质无关.从同一磁场区域进入再穿出时，通过线框的总磁通量为零，通过线框的总电荷量为零,i-t图象的总面积为零.例1.如图，空间某区域中有一匀强磁场，磁感应强度方向水平，且垂直于纸面向里，磁场上边界b和下边 界d水平。在竖直面内有一矩形金属统一加线圈，线圈上下边的距离很短，下边水平。线圈从水平面a开 始下落。已知磁场上下边界之间的距离大于水平面a、b之间的距离。若线圈下边刚通过水平面b、c (位于 磁场中)和d时，线圈所受到的磁场力的大小分
3、别为F和则a! x x x x X；0! x u顼 iX X X X X!I I:例1题图B. F F 孔D. F F F 孔C. F F F【答案】D【解析】线圈从3到h做自由落体运动，在h点开始进入磁场切割磁感线所以受到安培力,由于线圈的 上下边的距离很短，所以经历很短的变速运动而进入磁场，以后线圈中磁通量不变不产生感应电流，在C 处不受安培力，五=0 .但线圈在重力作用下依然加速，因此从d处切割磁感线所受安培力必然大于b处, F M则）氏 耳。故选d.例2.如图所示，空间存在一有边界的条形匀强磁场区域，磁场方向与竖直平面纸面）垂直，磁场边界的间距 为L。一个质量为m、边长也为L的正方形导
4、线框沿竖直方向运动，线框所在平面始终与磁场方向垂直， 且线框上、下边始终与磁场的边界平行。=0时刻导线框的上边恰好与磁场的下边界重合（图中位置I），导 线框的速度为V0经历一段时间后，当导线框的下边恰好与磁场的上边界重合时（图中位置II），导线框的速度 刚好为零。此后，导线框下落，经过一段时间回到初始位置I。则例2题图A. 上升过程中，导线框的加速度逐渐增大B. 下降过程中，导线框的加速度逐渐增大C. 上升过程中合力做的功与下降过程中的相等D. 上升过程中克服安培力做的功比下降过程中的多【答案】D【解析】由题意知导线框上升过程中始终有一个边处于磁场内，则始终受到一个向下的安培力的作用，由B 2
5、 L vmg + = ma，可见上升过程中加速度随着速度的减小而减小，A错误，同理有线框下降过程 中Rmg - B拦 =ma加速度随速度的增大而减小，B错误；因在此过程中有机械能转化为焦耳热，则下降过 R程的末速度必小于上升过程的初速度，再由动能定理知上升过程中动能变化量大合力做功必多，C错误；同 理在上升与下降中经过同一位置时上升时瞬时速度大，感应电流大，安培力大，故上升过程中克服安培力 做功多，D正确。例3.如图所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的匀强磁场分布在宽度为L的区域内，现有一个边长为 a(aL)的正方形闭合线圈以初速度vo垂直磁场边界滑过磁场后，速度为v(vL)，若它与水平面间
6、没有摩擦力的作用，ab边 刚进入磁场的速度与ab边刚离开磁场时速度相等.下列说法正确的是例5题图A. 线圈进入磁场和离开磁场的过程中通过线圈的电量相等FR8.穿越磁场的过程中线圈的最小速度一定为blC.穿越磁场的过程中线圈的最小速度一定为2F (s + L - d ) mD.穿越磁场的过程中线圈中消耗的电能为2Fd【答案】ACDAC1【解析】由q=可知进入磁场过程和离开磁场过程中磁通量的变化是相同的，故这两过程中通过线圈的电量相等，A选项正确；由于LM,线圈全部在磁场中时不受安培力的作用而做匀加速运动，所以线圈在进 人磁场时必做减速运动，未全部进入时可能出现安培力等于拉力的平衡状态，而使线圈开
7、始做匀速运动，由平衡条件可得其速度为旦也可能在金属框恰好完全进入磁场时安培力仍大于拉力，进入过程中金 WI:属框始终减速J由分析可知，无论是哪一种情况:在线圈刚全部进入磁场时的速度V都是线圈整个运动过程 中的最小速度，取线圈刚全部进入到此边刚离开磁场过程,由动能定理有F(d-L) = mv2: 在进入磁场前有Fs = 2叫-0，联立得出最小速度为v=；%(s + L-d),b错误c正确；由于线圈在刚进入磁场与刚要穿出磁场时速度相等，则在进入磁场与穿出磁场的过程中克服安培力做功相等，产生的1 . _电能相等从线圈开始进入磁场到刚要穿出磁场过程中由能量守恒有Fd = 2 M电能则整个过程中线圈中消
8、耗的电能为M电能二2 Fd，D正确.例6.如图所示，真空中存在着水平方向的匀强磁场(在两条虚线以内)，在离磁场上边缘等高的位置，由静 止释放两个边长相等的正方形线框，线框平面垂直于磁场，两个线框由同种金属材料做成，两金属线框的粗 细不同(b线框较粗)，在线框下落过程中，下列说法正确的是H0X X X XM K X *X X X X例6题图A. 两个线框穿过磁场区域的时间相同B. 两个线框穿过磁场区域过程中通过导线横截面的电量相同C. 两个线框穿过磁场区域过程中产生的热量相同D. 在进入磁场过程中两个线框中的电流对应时刻相同【答案】A【解析】由于两线框进入磁场前下落的高度相同:则到达磁场时的速度
9、相同.设线框材料的密度为他，电阻率为P ,导线的横截面积为S,则两线框在进入磁场时的加速度疽=g- j.而功=4&R =，有mRSj?2 v度十兰一,与线框的粗细无关，故两线框在磁场中同步运动:任一时刻的速度相等:穿过磁场的时间相 6p%同，但同时刻的电流I = 竺不同,a正确D错误;再由能量守恒有Q =拿广可知E线圈质量2大产生的热量多E错误（或由安培力做功判定:两线圈在安培力作用下通过的位移相等:但对应日弦V B线圈的电流大:所受安培力:B线圈克服安培力做功多:产生的热量多入由知线框通过磁场时磁通量的变化量 A相同，但两线框的电阻不同，则通过线框横截面的电荷量不同，B错误。例7.用质量为m
10、、总电阻为R的导线做成边长为l的正方形线框MNPQ,并将其放在倾角为0的平行绝缘导 轨上，平行导轨的间距也为1,如图所示。线框与导轨之间是光滑的，在导轨的下端有一宽度为l （即ab=l）、 磁感应强度为B的有界匀强磁场，磁场的边界aa bb垂直于导轨，磁场的方向与线框平面垂直。某一次， 把线框从静止状态释放，线框恰好能够匀速地穿过磁场区域。若当地的重力加速度为g,求：b食-(1)线框通过磁场时的运动速度;(2)开始释放时，MN与bb之间的距离;(3)线框在通过磁场的过程中所生的热。答案(1) mgRsin9 (?) m2gR2 sin9(3) mg2lsinQ【解析】(1)线框在磁场区域做匀速
11、运动时，其受方如图所示:F=mgn&F=BI1感应电浇:感应电动势:E=Blv解得匀速运动的速度*N另解:线框在磁场中匀速运动时由能量守恒可知重力做功功率与回路中的热功率相等(2)在进入磁场前，线框的加速度a=gsinO所以线框进入磁场前下滑的距离s=史-m 2球2sin 92a2 B 414另解:在线框进入磁场前只有重力做功，由机械能守恒有mgs sin 9 = 2 mv 2v 2m 2 gR 2 sin 92 g sin 92B 414(3)线框通磁场的过程中动能不变减少的重力势能全部转化为焦耳热，因线框沿斜面通过了 21的距离，以：Q 热mg21sinO模型演1.边长为L的正方形金属框在
12、水平恒力作用下，穿过如图所示的有界匀强磁场，磁场宽度为d （dL）, 已知ab边进入磁场时，线框刚好做匀速运动，则线框进入磁场过程和从磁场另一侧穿出过程相比较（）练1图A. 产生的感应电流方向相反B. 所受安培力方向相反C. 线框穿出磁场产生的电能和进入磁场产生的电能相等D. 线框穿出磁场产生的电能一定比进入磁场产生的电能多【答案】AD【解析】进入磁场时磁通量向外增加:穿出磁场时磁通量向外减少:由楞次定律可知产生的感应电流方向相 反,A正确.由广义楞次定律可知:安培力的方向阻碍线框相对磁场的运动:而两个过程中线框都是相对磁场向 右运动:故安培力方向向左:B错误.由于d二可知线框有一段时间完全处
13、于磁场内:在恒力作用下加速:故线框 在穿出磁场时要减速运动:相对于进入磁场的过程:线框中感应电流平均值较大:安培力较大:克服安培力做功 较多:产生的电能也较多Q正确.2. 一个刚性矩形铜制线圈从高处自由下落，进入一水平的匀强磁场区域，然后穿出磁场区域继续下落，如右 图所示，则x jer* xx x Tx x席一Q一圣-弋户（开磁场练2图A. 若线圈进人磁场过程是匀速运动，则离开磁场过程一定是匀速运动B. 若线圈进入磁场过程是加速运动，则离开磁场过程一定是加速运动C. 若线圈进人磁场过程是减速运动，则离开磁场过程一定是减速运动D. 若线圈进人磁场过程是减速运动，则离开磁场过程一定是加速运动【答案
14、】C【解析】由图可知磁场的宜度大小线圈的边长，则线圈在穿越磁场的过程中必有一个阶段完全处于磁场内,在此阶段中线圈只在重力作用下向下加速.穿出磁场时的初速度一定大于进入磁场时的末速度，而安培力的大小与线圈运动的速度成正比，故当线圈进人磁场过程是匀速运动时重力等于安培力，穿出磁场时重方一定小于安培力要减速，A错误同理当若线圈进入磁场过程是加速运动，则离开磁场过程可能是加速运动、匀速运动、减速运动、先加速再匀速、先减速再匀速，B错误若线圈进人磁场过程是减速运动，则离开磁场时安培力也一定大于重力，C正确D错误。ab的方向拉出过3. 如图所示，虚线框abcd内为一矩形匀强磁场区域，ab=2bc，磁场方向
15、垂直于纸面；实线框abcd是一正 方形导线框，ab边与ab边平行。若将导线框匀速地拉离磁场区域，以W1表示沿平行于程中外力所做的功，W2表示以同样的速率沿平行于bc的方向拉出过程中外力所做的功，则练3图B. W2=2W1D. W2=4W1A. W= W2C. W=2W2【答案】B 【解析】设导线框垂直运动的边度为11,平行运动方向的边长为12,在线框穿出磁场时所受安培力为F = BIl = B%l =竺V i R i R B i iW _ ad _ 1(Blv)2 l B212lvR 厂 R2克服安培力所做功为W _ Fl _ 一扩，故有W ab 2 ,B正确. 2 R2另解:由能量守恒可知，
16、外力所做功等于回路中产生的焦耳热，即W _ Q _ 同上可知B正确.4. 如图（a）所示在光滑水平面上用恒力F拉质量1kg的单匝均匀正方形铜线框，在1位置以速度v0=3m/s 进入匀强磁场时开始计时40,此时线框中感应电动势1V，在t=3s时刻线框到达2位置开始离开匀强磁场。 此过程中v-t图象如图（b）所示，那么Xx勺 0 Nx X X图冬-3-A. r=0时，线框右侧的边两端MN间电压为0.25VB. 恒力F的大小为0.5NC. 线框完全离开磁场的瞬间位置3速度为2m/sD. 线框完全离开磁场的瞬间位置3速度为1m/s 【答案】BC【解析】t=0时线框右侧边是电源:其两端电压为路端电压:由
17、于四边相同:故其两端电压为电动势的四分之 三q错误.由b在t=i&与炉戋这段时间内线框只在恒力三作用下匀加速运动:由动量定理有FA/=mAv可 得F=0.5N.B正确.由于在位置2与位置1时速度相同外力也相同:则线框在进入磁场与穿出磁场的过程中运 动情况相同:速度变化量相同:故c正确D错误.5 .如图所示，相距为d的两水平虚线P、p2表示方向垂直纸面向里的匀强磁场的上下边界，磁场的磁感应 强度为B。正方形线框abcd的边长为L (Ld)、质量为m、电阻为R,线框处在磁场正上方，ab边与虚线 p相距h。线框由静止释放，下落过程中线框平面始终在竖直平面内，线框的ab边刚进人磁场时的速度和ab边刚离
18、开磁场时的速度相同。在线框从进入到全部穿过磁场的过程中，下列说法正确的是Ta btq X X x Xd x x x xX X x XA.线框克服安培力所做的功为mgdB.线框克服安培力所做的功为mgLC.线框的最小速度为mgRb2l2D.线框的最小速度为疽2 g (h + L - d)【答案】AD【解析】由于L泌，线框在穿过磁场的过程中必有一个阶段完全处于磁场内:此阶段中线框只受重力的作用而加速:又因为线框的胡边刚进入磁场时的速度和ab边刚离开磁场时的速度相同:可知线框在进入磁场的过程中必是做减速运动:而且进入磁场与穿出磁场的过程中运动状态相同:克服安培力做功相同.由能量守恒知线框进入磁场的过
19、程中克服安培力等于线框从线框的ab边刚进入磁场时到命边刚离开磁场时减少的重力势能:甲=明家:故整个过程中则在线框完全进入磁场时速度最小:从线框开始下落到线框恰好进入磁场的过程中由能量守恒有：g =曜坦-甲：可得vn=:只有当线框在进入磁场过程中达到匀速运动才有吓=皿=r才有%-工土=者:而由题意不能确定线框在进入磁场过程中线框是否是已 B L达到匀速运动:故C错误D正确.6. 在倾角为0足够长的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度相等的匀强磁场，磁场方向一个垂直斜面向上， 另一个垂直斜面向下，宽度均为L,如图所示。一个质量为m、电阻为R、边长也为L的正方形线框在t=0时练6图刻以速度进入磁场，恰好
20、做匀速直线运动。若经过时间t0,线框ob边到达gg与甘中间位置时，线框又恰好做匀速运动，则下列说法正确的是A.当ob边刚越过f时，线框加速度的大小为3gsin9B.t0时刻线框匀速运动的速度为VoC.t0时间内线框中产生的热量为河乙sin 0+ 人 mv 2320D.离开磁场的过程中线框将做匀速直线运动 【答案】AC.B2L2VTmg sin 0 0-【解析】在t=0时线框只有ab边切割磁感线，只有ab边受到安培力，由平衡条件有R 在ab边刚越过ff时，线框的速度仍为v 0,ab边与cd边都切割磁感线，产生的电动势方向相同，且这两边所受安培力方向相同，由牛顿第二定律有2 B2BLv T .一r
21、 L 一 mg sin 9=ma，结合上式有a = 3g sin9 ,A正确.同上在t0时刻,由平衡条件有2B2 BLvRL 一 mg sin9 = 0,结合上式可得v =vF0，B错误.由能量守恒有v玄.13. 15，C正确.线框在离开磁场时，初速度只有才且只有cd 一条边切割磁感线只有cdQ=mg sin） -一 mv 一仍）=一 mgLind +一 mv4B 2 L v0 一条边受到安培力，此时的安培力大22 o 232 o4 = ! mg sin9 mg sin9，故线框离开磁场时要加速,D错R 4误.7. 如图所示，一个边长为2L的等腰直角三角形ABC区域内，有垂直纸面向里的匀强磁场
22、，其左侧有一个用 金属丝制成的边长为L的正方形线框abcd，线框以水平速度v匀速通过整个匀强磁场区域，设电流逆时针方向为正。则在线框通过磁场的过程中，线框中感应电流，随时间t变化的规律正确的是练7图【答案】A 【解析】由于这是同类图象，故可采用排除法由整个过程中磁通量变化量为零i-t图象的总面积为零,可排除 CD。（或由bc边进入磁场而b点到达AC边前，线框切割磁感线的有效长度不变，线框中感应电流大小应 不变，排除CD选项）。再由楞次定律或右手定则可确定线框进入磁场时电流方向沿正方向，可知B错误A 正确。8. 如图光滑斜面的倾角a=30。，在斜面上放置一矩形线框abcd，ab边的边长l1 =
23、1m，bc边的边Z2=0.6m， 线框的质量m=1kg，电阻R=0.1Q，线框通过细线与重物相连，重物质量M=2kg，斜面上ef线（f gh）的右方有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度B=0.5T,如果线框从静止开始运动，进入磁场最初一段时 间是匀速的，ef线和gh线的距离s=11.4m，(取g=10m/s2)，求：练8图线框进入磁场时匀速运动的速度心沥边由静止开始运动到gh线所用的时间tt时间内产生的焦耳热.【答案】(1) 6m/s (2) 2.5s (3) 9J【解析】因为线框进入磁场的最初一段时间做匀速运动，所以重物受力平衡Mg = T 线框abed受力平衡T = mgO + FA 湖边
24、进入磁场切割磁感线，产生的电动势E二电v形成的感应电流1 =受到的安培力F = BIIR R脂3联立得：Mg = mg sin 0+ 解得 v = 6m / .s R另解:在线框匀速运动过程中由能量守恒有.E 2Mgv = mg sin 9 - v + -ab边进入磁场切割磁感线，产生的电动势E = 叫(M - m sin 9 ) R , 两式联立可得v = 6m / sRB 2121线框abed进磁场前时，做匀加速直线运动；进磁场的过程中，做匀速直线运动；进入磁场后到运动到gh 线，仍做匀加速直线运动。进磁场前对mMg - T = Ma对 m T 一 mg sin 9 = maMg 一 mg sin 9a = 5m / s 2 联立解得：M + m该阶段运动时间为二1.2，进磁场过程中 匀速运动时间，2 -寸-Uls 进磁场后 线框受力情况同进磁场前，所以该阶段的加速度仍为a=5m!s21 . 1 .s-12 - 1也；11.4 - i.J.t- = tt3： + 丁 ： 解得：4=1*因此边由静止开始运动到酣线所用的时间=/i +=1.2 + 0.1 + 1.2 = 2.5（s）3） Q = E = Mg-mg sin 皿=9 j另解裁框只在进入磁场的过程中有感应电流产生焦耳热：有0 = 竺1匕=9JR
