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1、14,闭合线框模型（2）2在非匀强磁场中的运动（i）导体切割磁感线的有效长度不一定是导体两端连线的长度，在大小相同的非匀强磁场中可以是导体在垂直 磁感线上切割的长度之和.（ii）在方向相同的非匀强磁场中，矩形线框切割磁感线产生的电动势等于在垂直于运动方向上两边产生的电 动势的差值.数值上（iii）在磁场随空间变化时，从磁通量变化角度与从切割磁感线角度处理电磁感应效果相同，但不能重复考虑.例8.如图所示，很长的光滑磁棒竖直固定在水平面上，在它的侧面有均匀向外的辐射状的磁场。磁棒外套 有一个质量均匀的圆形线圈，质量为m，半径为R电阻为，线圈所在磁场处的磁感应强度为8。让线圈 从磁棒上端由静止释放沿
2、磁棒下落，经一段时间与水平面相碰并反弹，线圈反弹速度减小到零后又沿磁棒 下落，这样线圈会不断地与水平面相碰下去，直到停留在水平面上。已知第一次碰后反弹上升的时间为t1， 下落的时间为t2,重力加速度为g，不计碰撞过程中能量损失和线圈中电流磁场的影响。求:例8题图 （1）线圈第一次下落过程中的最大速度。m（2）第一次与水平面碰后上升到最高点的过程中通过线圈某一截面的电量0 （3）线圈从第一次到第二次与水平面相碰的过程中产生的焦耳热Q存mvmgj mgt _ m2gr _ mgtm2g2r1【答案 Wifj 一腿(2)一 q仃 / 及 一片云(3天( +1 ) 一飞mg2(t +1 )2m 2mB
3、R 2 R2lBR 8 兀 3 B 3 R 3 2kBR4兀 2 b 2 R 2 1 2 21 2【解析】（1）线圈第一次下落过程中有E = B x 2兀Rumg - BI x 2兀 R = ma可知线圈做加速度减小的加速运动，a=0时，速度最大，代入求得:mgr4 丸 2 B 2 R 2m（2）反弓单后上升的过程中某一时刻，由牛顿运动定律得:mg + El X. 2 成=ma则:ZM=z8成晔祯R另解:对环上升过程应用动量定理有-mgt 一 BI x 2兀 R x t = 0 - mvq It故 1mv mgt m 2 gr mgt2BR 2bR - 8 兀 3 B 3 R 3 2kBR（3
4、）反弹后上升的过程中某一时刻，由牛顿运动定律得:八2兀RBu mg + Brx 2 兀R ma在一段微小时间Z内，速度增量为Au aZ，线圈上升高度为h uAt则线圈可上升的最大高度h为:h 桅 Ah (ma - mg )At4 兀 2 R 2 B 2m 2 gr 2mgrt16 兀 4 B 4 R 44 兀 2 R 2 B 2线圈到达最高点后，下落过程中的某一时刻，由牛顿运动定律得:八2兀RBu mg - Brma在一段微小时间At内，速度增量为Au- aAt，线圈下降高度为Ah uAt则线圈第二次下降到水平面时的速度为uu-翥z m4兀 2B2R2、 mgI r Ja /、 mgrA g(
5、t1 + t2) 一4兀 2B2R2在一段微小时间*内，速度增量为Au = 口也，通过线圈截面电量为& =成本过程中线圈中产生的热量为线圈动能的损失:Q 1 mu 2 -1 mu 2 1 m2 m 22-m 2 g 2 r ,、 1,、化简得：Q =-(t +1 ) mg2(t +1 )24 兀 2 B 2 R 2 i 22 i 2B 2（2kR ）2 V另解:在反弹后上升的过程中,由动量定理有一 mgti ti = 0 - mvmB 2（2kR ）2 布八在下降过程中，仍由动量定理有mgt -t = mv - 0对第二次反弹后的上升与下降的整个过程由能量守恒有Q = 1 mV2 1 mV22
6、 m 2其中vt = v t2mgr4兀2 B 2 R 2可解得m2 g2 r /、 1/、(t +t ) mg2(t +t )24 兀 2 B 2 R 212212例9.如图所示，竖直平平面内有一边长为L、质量为m，电阻为R的正方形线框在竖直向下的匀强重力场 和水平方向的磁场组成的复合场以初速度v0水平抛出。磁场方向与线框平面垂直，磁场的磁感应强度随竖 直向下的z轴按B=B0+kz的规律均匀增大。已知重力加速度为g。求：例9题图（1）线框竖直方向速度为v1时，线框中瞬时电流的大小；（2）线框在复合场中运动的最大电功率；（3）若线框从开始抛出到瞬时速度大小达到v2所经历的时间为t，那么线框在时
7、间t内的总位移大小为多 少。【答案,= 1 P= J 2 =罕竺（3些W土竺2 + v212R max Rmzk 2 L4k 4 L0【解析】（1）运动的整个过程中因线框的两条竖直边所在处磁场情况相同，故线框在水平方向上的分运动引 起的总感应电动势为零.在竖直方向上的总感应电动势为e - (B + kz) Lv01B + k (z L)Lv kL v.e kL v故线框中瞬时电流的大小为i = = R R(：)由线框在复合场中的速度最大时重力与磁场力平衡得mg = (B. -BAIL = =-RR_ mgR由能量关系得线框在复合场中运动的最大电功率与重方功率相等(3) 线框从抛出到速度v2过程
8、由牛顿第二定律得mg (B B )IL ma 221AtV V (B B )2Lv A :J一，2R At = m 寸 v 2 一 v 2k2 L4 .mgt 一 r Az - mv2 - v2时间t内z方向位移Az -响一 mwv ：)R k 2 L4时间t内线框的总位移大小为s -：(mgt mL v0) R +v022例10.一个质量为m、直径为d、电阻为R的金属圆环，在范围足够大的磁场中沿竖直方向下落，磁场的分布情况如图所示，已知磁感应强度竖直方向分量By的大小只随高度变化，其随高度变化的关系式为By=B0(1+ky)(此时k为比例常数，且k0)，其中沿圆环轴线的磁场方向始终竖直向上，
9、金属圆环在下落过 程中环面始终保持水平，速度越来越大，最终稳定为某一数值，称为收尾速度求：（1）圆环中感应电流的方向（俯视）;（2）圆环收尾速度的大小.【答案】（1）顺时针（2）16mgRk2兀 2B2d40【解析】（1金属圆环下落过程中，磁通量增加，由楞次定律，感应电流为顺时针方向.当最终速度稳定时，竖直方向的磁场均匀变化E= . S=kB（ ）2At2由能量守恒得解得竺当RkxBod模型演练9.用密度为次电阻率为p横截面积为A的薄金属条制成边长为L的闭合正方形框abbW。如图所示，金 属方框水平放在磁极的狭缝间，方框平面与磁场方向平行。设匀强磁场仅存在于相对磁极之间，其他地方 的磁场忽略不
10、计。可认为方框的aaf边和bb边都处在磁极之间，极间磁感应强度大小为8。方框从静止开 始释放，其平面在下落过程中保持水平（不计空气阻力）。求方框下落的最大速度vm （设磁场区域在数值方向足够长）；当方框下落的加速度为g时，求方框的发热功率P；已知方框下落时间为t时，下落高度为。，其速度为u（W1vm）o若在同一时间t内，方框内产生的热与 一恒定电流I0在该框内产生的热相同，求恒定电流I0的表达式。JN金属方框金属方框/7激发磁场的通电线圈装置纵截面示意图磁极装置俯视示意图4p奴，一 4pALd2g21 d，7 1 )【答案】以 3g邮手一T料乎AMgh 2咋J【解析】方框质量m=ALAd41方
11、框电阻R=pA方框下落速度为讪七产生的感应电动势 E = B 2L v感应电流 I =R Ip方框下落过程，受到重力。反安培力斗G = mg=ALAdg ；方向竖直向下F = BI-2L = v f方向竖直向上 P当F=G时，方框达到最大速度，即v=vm则 B-ALv = 4 LAdg p m方框下落的最大速度g万框下落加速度为时T mg Ad g 则 I =4 BL有mg -IB-2L = mg2c T c 4 p ALd 2 g 2方框的发热功率P = /2 R =根据能量守恒定律，有mgh = mv 2 +12 Rt2ioI = I1 gh- V 20 Rt 2 1 J一、，Id 1 ）
12、解得恒定电流I。的表达式1 o A、 t gh 2 v2 。10.2010年上海世博会某国家馆内，有一“自发电”地板，利用游人走过此处，踩踏地板发电.其原因是地板 下有一发电装置，如图（l）所示，装置的主要结构是一个截面半径为r、匝数为n的线圈，无摩擦的 套在磁场方向呈辐射状的永久磁铁槽中.磁场的磁感线沿半径方向均匀分布，图（2 ）为横截面俯视图.轻 质地板四角各连接有一个劲度系数为k的复位弹簧（图中只画出其中的两个），轻质硬杆P将地板与线圈 连接，从而带动线圈上下往返运动（线圈不发生形变）便能发电.若线圈所在位置磁感应强度大小为B， 线圈的总电阻为R0,现用它向一个电阻为R的小灯泡供电.为便
13、于研究，将某人走过时对板的压力使线 圈发生的位移x随时间t变化的规律简化为图（3 ）所示.（弹簧始终处在弹性限度内，取线圈初始位置x = 0，竖直向下为位移的正方向）图（1）图（2）图（3）图 （1）请在图（4）所示坐标系中画出线圈中感应电流i随时间t变化的图像，取（2 ）中逆时针电流方向为正方向，要求写出相关的计算和判定的过程（2）t= t0时地板受到的压力2（3）求人踩踏一次地板所做的功.【答案】（1）见解析（2） 2kx +（2函）2/ （3） 8兀2n2B2r2片0（R + R0）t 0（R + R0）t 0【解析】（1）0t0时间内，电流方向为正方向,t02t0时间内电流方向为负方向
14、0t0t02t0时间内线圈向下向上运动的速率都是v = X t0全程产生的感应电动势的大小均为E = nB - 2兀r - v又1 =工R + R0联立以上方程得I=2nn rBx0-(R + R )t线圈中感应电流i随时间变化的图象如图所示*. - .- L02席湖（R+出）（2） 07时间内线圈安培力方向向上且E =顽站=也虹 孕（R+&X心时刻地板受到的压力:X芯=孔+建=软三+氏得 %_=2& +*（R RM（3）全过程中弹力做功为零，则由功能关系得W = E = 12（ R + R ） - 2te8 兀 2 n 2 B 2 r 2 x 2W =o（R + R ）t0011. 一个足够
15、长的竖直放置的磁铁结构如图所示。在图1中磁铁的两个磁极分别为同心的圆形和圆环形。在两极之间的缝隙中，存在辐射状的磁场，磁场方向水平向外，某点的磁感应强度大小与该点到磁极中心轴 的距离成反比。用横截面积一定的细金属丝制成的圆形单匝线圈，从某高度被无初速释放，在磁极缝隙间 下落的过程中，线圈平面始终水平且保持与磁极共轴。线圈被释放后 （ ）A. 线圈中没有感应电流，线圈做自由落体运动B. 在图l俯视图中，线圈中感应电流沿逆时针方向C. 线圈有最大速度，线圈半径越大，最大速度越小D. 线圈有最大速度，线圈半径越大，最大速度越大 【答案】D【解析】由于线圈上每一小段切割磁感线产生的感应电动势使电流流运动的方向都是顺时针方向:故线圈中 有顺时针方向的电流AB皆错误线圈中产生的感应电动势丘=皿=卫林 线圈的阻值、线圈g _占2的质量形=2密品如当线圈速度达到最大时有mg=Bn.,联立可得v=竺壁二x己可见R矽8中D正确.
