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1、信号与系统,Signals and Systems,普通高等教育“十一五”国家级规划教材信号与系统陈后金，胡健，薛健高等教育出版社，2007年,利用MATLAB进行信号与系统分析,MATLAB简介信号的MATLAB表示利用MATLAB进行系统的时域分析利用MATLAB进行信号的频域分析利用MATLAB分析系统的频率特性利用MATLAB进行连续系统的s域分析利用MATLAB进行离散系统的z域分析利用MATLAB进行系统的状态变量分析,MATLAB简介,(Matrix Laboratory),MATLAB的工作方式如何获取帮助表达式变量、数值、算数运算符、关系运算符、逻辑运算符、冒号运算符数组及其
2、运算函数文件循环（FOR、WHILE 循环）基本绘图语句,一、MATLAB的工作方式,（1）窗口命令方式（2）运行以.M 为扩展名磁盘文件,工作方式举例,%用plot函数画一个方波t=-1 0 0 1 1 3;x=0 0 1 1 0 0;plot(t,x);xlabel(t);ylabel(x(t);axis(-1 3 0 2);,直接在命令窗口输入以上命令,建一个名字为my_file.M的文件，然后在命令窗口输入文件名及回车。,二、获取帮助,命令窗口输入：help+函数名例如 help plot,三、表达式,不需要变量的类型说明变量名的第一个字符必须是字母变量名长度：不超过31个字符大写和小
3、写的字母视为不同的字符 例如：num_students=25特殊变量：pi 表示圆周率，inf 表示无穷大，NaN(Not a Number)表示不定量，如0/0。,变量,三、表达式,数值,MATLAB用常规的十进制表示数值 用i或j作为后缀来表示复数的虚部 例 1.235e5表示1.235105，x=2+3jabs(x)求复数x的模angle(x)求复数x的相角(弧度)real(x)求复数x的实部imag(x)求复数x的虚部conj(x)求复数x的共轭,三、表达式,运算符号,算数运算符,+加-减*乘/除 乘方 矩阵的复共轭转置,三、表达式,运算符号,逻辑运算符,A&B逻辑与(and)A|B逻
4、辑或(or)A 逻辑非(not),值为0时表示逻辑假(F)，其它任何非零值表示逻辑真。,三、表达式,运算符号,关系运算符,A B 大于A=B 大于等于A=B 等于A=B不等于,三、表达式,运算符号,冒号运算符,表达式 1:10 表示产生一个行向量，它的值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10表达式 10:-2:1 表示产生一个递减的行向量，它的值为 10 8 6 4 2,四、数组,1.数组的构造,用冒号:产生数组,例 x=2:5 产生一个数组，它的值为x(1)=2,x(2)=3,x(3)=4,x(4)=5,x=linspace(0,2,11)将区间0，2均匀抽样11点作为数组x,给2维数
5、组赋值时，用分号表示一行的结束，如：z=1 2;3 4。,用linspace产生数组,四、数组,1.数组的构造,MATLAB 提供了一些产生基本矩阵的函数 zeros 产生矩阵元素全为0的矩阵 ones 产生矩阵元素全为1的矩阵 rand 产生(0,1)均匀分布随机数矩阵 randn 产生正态分布随机数矩阵,四、数组,2.数组的运算,数组和一个标量相加或相乘 例 y=x-1 z=3*x2个数组的对应元素相乘除.*./例 z=x.*y确定数组大小的函数 size(A)返回值数组A的行数和列数（二维）length(B)确定数组B的元素个数（一维）,五、函数文件,M文件的第一行包含function功
6、能:建立一个函数，可以同MATLAB的库函数一样使用。,五、函数文件,例：编一个绘制图示波形的函数。,function y=tri(t)y=abs(t)=1.*(1-abs(t);,调用函数tri，并画出它的波形,t=-2:0.05:2;plot(t,tri(t);,六、For 循环,例:编写计算s=1+2+3+100的MATLAB程序s=0;,for n=1:100 s=s+n;end,七、While 循环,s=0;n=1;eps=1e-6;,while 1/(n*n)eps s=s+1/(n*n);n=n+1;end,例:计算 的值，且误差小于10-6,fprintf(s=%.5fn,s)
7、,八、plot函数绘图函数(continuous),t=linspace(0,4*pi,512);plot(t,sin(t),t,cos(t),-.);title(my figure);xlabel(t);legend(sin(t),cos(t);,八、plot函数绘图函数(continuous),九、stem函数绘图函数(discrete),k=0:39;stem(k,cos(0.9*pi*k);title(cos(0.9pik);,九、stem函数绘图函数(discrete),cos(0.9k)波形,信号的MATLAB表示,基本信号的MATLAB表示 指数信号Aeat、指数序列ak、抽样函
8、数Sa(t)、正弦型信号、矩形脉冲信号、三角脉冲信号信号基本运算的MATLAB实现 尺度变换、翻转、时移、相加、相乘、差分与求和、微分与积分,一、基本信号的MATLAB表示,指数信号Aeat y=A*exp(a*t);指数序列ak幂运算a.k实现正弦型信号内部函数cos()和sin()抽样函数Sa(t)sinc(t)矩形脉冲信号 y=rectpuls(t,width)三角波脉冲信号y=tripuls(t,width,skew),一、基本信号的MATLAB表示,%decaying exponential,t=0:001:10;A=1;a=-0.4;ft=A*exp(a*t);plot(t,ft)
9、,t=0:0.1:10;A=1;a=-0.4;ft=A*exp(a*t);stem(t,ft),一、基本信号的MATLAB表示,%rectpuls,t=0:0.001:4;T=1;ft=rectpuls(t-2*T,T);plot(t,ft)axis(0,4,-0.5,1.5),一、基本信号的MATLAB表示,%tripuls,t=-3:0.001:3;ft=tripuls(t,4,0.5);plot(t,ft),ft=tripuls(t,4,1);,一、基本信号的MATLAB表示,%unit impuls sequence,k=-50:50;delta=zeros(1,50),1,zeros
10、(1,50);stem(k,delta),function f,k=impseq(k0,k1,k2)%产生 fk=delta(k-k0)；k1=k=k2k=k1:k2;f=(k-k0)=0;,k0=0;k1=-50;k2=50;f,k=impseq(k0,k1,k2);stem(k,f),一、基本信号的MATLAB表示,%unit step sequence,k=-50:50;uk=zeros(1,50),ones(1,51);stem(k,uk),function f,k=stepseq(k0,k1,k2)%产生 fk=u(k-k0);k1=0;,k0=0;k1=-50;k2=50;f,k=
11、stepseq(k0,k1,k2);stem(k,f),二、信号基本运算的MATLAB实现,t=-3:0.001:3;ft1=tripuls(2*t,4,0.5);subplot(2,1,1)plot(t,ft1)title(x(2t)ft2=tripuls(2-2*t),4,0.5);subplot(2,1,2)plot(t,ft2)title(x(2-2t),1.信号的尺度变换、翻转、时移（平移）,已知三角波x(t)，用MATLAB画出的x(2t)和x(2-2t)波形,二、信号基本运算的MATLAB实现,2.信号的相加与相乘,相加用算术运算符“+”实现相乘用数组运算符“.*”实现 例:画信
12、号Aeatcos(w0t+f)的波形 t=0:0.001:8;A=1;a=-0.4;w0=2*pi;phi=0;ft1=A*exp(a*t).*sin(w0*t+phi);plot(t,ft1),二、信号基本运算的MATLAB实现,3.离散序列的差分与求和 连续信号的微分与积分,差分y=diff(f);求和y=sum(f(k1:k2);,微分 y=diff(f)/h;h为数值计算所取时间间隔,定积分 quad(function_name,a,b);,function_name为被积函数名，a和b指定积分区间。,二、信号基本运算的MATLAB实现,3.离散序列的差分与求和 连续信号的微分与积分,
13、例:已知三角波x(t)，画出其微分与积分的波形,%differentiation h=0.001;t=-3:h:3;y1=diff(f2_2(t)*1/h;plot(t(1:length(t)-1),y1),%integrationt=-3:0.1:3;for x=1:length(t)y2(x)=quad(f2_2,-3,t(x);endplot(t,y2),三角波x(t)微分与积分的波形,利用MATLAB进行系统的时域分析,连续时间系统零状态响应的求解连续时间系统冲激响应和阶跃响应的求解离散时间系统零状态响应的求解离散时间系统单位脉冲响应的求解离散卷积的计算,一、连续时间系统零状态响应的求
14、解,t 表示计算系统响应的抽样点向量,a=a3,a2,a1,a0;b=b3,b2,b1,b0;sys=tf(b,a),y=lsim(sys,x,t),sys=tf(b,a),b和a分别为微分方程右端和左端各项的系数向量,x 是系统输入信号向量，,sys 是LTI系统模型，借助tf函数获得,二、连续系统冲激响应和阶跃响应求解,连续时间系统冲激响应可用impulse函数直接求出，其调用形式为,y=impulse(sys,t),连续时间系统阶跃响应可用step函数直接求出，其调用形式为,y=step(sys,t),t 表示计算系统响应的抽样点向量sys 是LTI系统模型,三、离散时间系统零状态响应的
15、求解,b,a 分别是差分方程左、右端的系数向量,b=b0,b1,b2,bM;a=a0,a1,a2,aN;,可用MATLAB表示为,y=filter(b,a,x),x 表示输入序列,y 表示输出序列,四、离散时间系统单位脉冲响应的求解,b,a 分别是差分方程左、右端的系数向量k 表示输出序列的取值范围h 就是单位脉冲响应,h=impz(b,a,k),五、离散卷积的计算,例：(s3+2s+3)(s2+3s+2)可用下面MATLAB语句求出 a=1,0,2,3;b=1,3,2;c=conv(a,b),c=conv(a,b),式中a,b为待卷积两序列的向量表示，c是卷积结果。,conv函数也可用于计算
16、两个多项式的积,例1 求系统 y(t)+2y(t)+100y(t)=10 x(t)的零状态响应，已知x(t)=sin(2pt)u(t)。,%program3_1微分方程求解ts=0;te=5;dt=0.01;sys=tf(10,1 2 100);t=ts:dt:te;x=sin(2*pi*t);y=lsim(sys,x,t);plot(t,y);xlabel(Time(sec)ylabel(y(t),例2 求系统 y(t)+2y(t)+100y(t)=10 x(t)的零状态响应，已知x(t)=d(t)。,%program3_2连续时间系统的冲激响应ts=0;te=5;dt=0.01;sys=t
17、f(10,1 2 100);t=ts:dt:te;y=impulse(sys,t);plot(t,y);xlabel(Time(sec)ylabel(h(t),例3 分析噪声干扰的信号xk=sk+dk通过M点滑动平均系统的响应，其中sk=(2k)0.9k是原始信号，dk是噪声。,R=51;d=rand(1,R)-0.5;k=0:R-1;s=2*k.*(0.9.k);x=s+d;figure(1);plot(k,d,r-.,k,s,b-,k,x,g-);M=5;b=ones(M,1)/M;a=1;y=filter(b,a,x);figure(2);plot(k,s,b-,k,y,r-);,例3
18、分析噪声干扰的信号xk=sk+dk通过M点滑动平均系统的响应，其中sk=(2k)0.9k是原始信号，dk是噪声。,噪声干扰信号xk=sk+dk通过M点滑动平均系统的响应,例4 求系统yk+3yk-1+2yk-1=10 xk的单位脉冲响应。,%program 3_4 离散系统的单位脉冲响应k=0:10;a=1 3 2;b=10;h=impz(b,a,k);stem(k,h),例5 计算xk*yk并画出卷积结果，已知xk=1,2,3,4;k=0,1,2,3，yk=1,1,1,1,1;k=0,1,2,3,4。,%program 3_5x=1,2,3,4;y=1,1,1,1,1;z=conv(x,y)
19、;N=length(z);stem(0:N-1,z);,利用MATLAB进行信号的频域分析,连续周期信号频谱的MATLAB实现用数值积分分析连续非周期信号频谱离散周期信号频谱的MATLAB实现,一、连续周期信号频谱的MATLAB实现,频谱Cn一般为复数，可分别利用abs和angle函数获得其幅度频谱和相位频谱。,其调用格式分别为,x=abs(Cn)y=angle(Cn),周期信号的频谱Cn 为离散信号，可以用stem画出其频谱图。,例1 试用MATLAB画出图示周期三角波信号的频谱。,解：周期信号的频谱为,画三角波信号频谱的MATLAB程序,N=8;n1=-N:-1;%计算n=-N到-1的Fo
20、urier系数c1=-4*j*sin(n1*pi/2)/pi2./n1.2;c0=0;%计算n=0时的Fourier系数n2=1:N;%计算n=1到N的Fourier系数c2=-4*j*sin(n2*pi/2)/pi2./n2.2;cn=c1 c0 c2;n=-N:N;subplot(2,1,1);stem(n,abs(cn);ylabel(Cn的幅度);subplot(2,1,2);stem(n,angle(cn);ylabel(Cn的相位);xlabel(omega/omega0);,程序运行结果,例2 求周期矩形脉冲的Fourier级数表示式。并用MATLAB求出由前N项Fourier级
21、数系数得出的信号近似波形。,取A=1,T=2,t=1,w0=p,%Gibbs phenomenon,t=-2:0.001:2;N=input(Number of harmonics=);c0=0.5;xN=c0*ones(1,length(t);%dc componentfor n=0:2:N%even harmonics are zero xN=xN+cos(pi*n*t)*sinc(n/2);endplot(t,xN);,%Gibbs phenomenon,N=5,N=15,N=50,N=500,二、用数值积分分析连续非周期信号频谱,数值函数积分quad8可用来计算非周期信号频谱,F 是一
22、个字符串，它表示被积函数的文件名。,a,b 分别表示定积分的下限和上限,quad8的返回是用自适应Simpson算法得出的积分值,y=quad8(F,a,b),例3 试用数值方法近似计算三角波信号的频谱,X(jw)=Sa2(w/2),解:图示三角波可表示为,三角波信号频谱的理论值为,例3 试用数值方法近似计算三角波信号的频谱,function y=sf1(t,w);y=(t=-1,w=linspace(-6*pi,6*pi,512);N=length(w);X=zeros(1,N);for k=1:N X(k)=quad8(sf1,-1,1,w(k);endfigure(1);plot(w,r
23、eal(X);title()xlabel(omega);ylabel(X(jomega);figure(2);plot(w,real(X)-sinc(w/2/pi).2);xlabel(omega);title(计算误差);,例3 试用数值方法近似计算三角波信号的频谱,运行结果,三、离散周期信号频谱的MATLAB的实现,函数fft可用来计算离散周期信号频谱,x 是离散周期信号0N-1 一个周期的序列值,Xm=fft(x),Xm 是离散周期信号频谱在0N-1 的值,函数fft还可用来计算离散非周期信号频谱、连续周期信号和连续非周期信号的频谱。,例4：计算下图所示周期矩形序列的频谱,%Progra
24、m 4_4 计算离散周期矩形序列的频谱N=32;M=4;%定义周期矩形序列的参数x=ones(1,M+1)zeros(1,N-2*M-1)ones(1,M);%产生周期矩形序列X=fft(x);%计算DFS系数m=0:N-1;stem(m,real(X);%画出频谱X的实部title(Xm的实部);xlabel(m)figurestem(m,imag(X);%画出频谱X的虚部title(Xm的虚部);xlabel(m),例4：计算下图所示周期矩形序列的频谱,利用MATLAB进行系统频域分析,连续系统频率响应的计算 周期信号通过系统的响应 离散系统频率响应的计算,一、连续系统频率响应的计算,b
25、分子多项式系数 a 分母多项式系数 w 需计算的H(jw)的抽样点(数组w中少需包含两个w的抽样点)。,计算频响的MATLAB函数,H=freqs(b,a,w),一、连续系统频响特性的计算,例1 三阶归一化的Butterworth低通滤波器的系统函数为,w=linspace(0,5,200);b=1;a=1 2 2 1;h=freqs(b,a,w);subplot(2,1,1);plot(w,abs(h);subplot(2,1,2);plot(w,angle(h);,试画出|H(jw)|和(w)。,一、连续系统频响特性的计算,三阶Butterworth低通滤波器的幅度响应和相位响应,二、周期
26、信号通过系统的响应,例2 周期方波通过RC系统的响应。,二、周期信号通过系统的响应,例2 周期方波通过RC系统的响应。,%p5_2 Periodic signal pass LTI system,T=4;w0=2*pi/T;RC=0.1;t=-6:0.01:6;N=51;c0=0.5;xN=c0*ones(1,length(t);%dc for n=1:2:N%even harmonics are zero H=abs(1/(1+j*RC*w0*n);phi=angle(1/(1+j*RC*w0*n);xN=xN+H*cos(w0*n*t+phi)*sinc(n*0.5);endplot(t,
27、xN);xlabel(time RC=,num2str(RC);grid;set(gca,xtick,-5-3-1 0 1 3 5);,二、周期信号通过系统的响应,例2 周期方波通过RC系统的响应。,三、离散系统频率响应的计算,计算频率响应的MATLAB函数,b 分子的系数 a 分母系数,w 抽样的频率点(至少2点)，w在02p之间,幅度响应:abs,相位响应:angle,h=freqz(b,a,w),三、离散系统频率响应的计算,b=1;,a1=1-0.9;a2=1 0.9;,w=linspace(0,2*pi,512);,h1=freqz(b,a1,w);,h2=freqz(b,a2,w);
28、,plot(w/pi,abs(h1),w/pi,abs(h2),:);,legend(alpha=0.9,alpha=-0.9);,三、离散系统频率响应的计算,利用MATLAB进行连续系统的复频域分析,部分分式展开的MATLAB实现H(s)的零极点与系统特性的MATLAB计算,一、部分分式展开的MATLAB实现,r,p,k=residue(num,den),num,den分别为X(s)分子多项式和分母多项式的系数向量。,r为部分分式的系数，p为极点，k为多项式的系数。若为真分式，则k为零。,二、H(s)的零极点与系统特性的MATLAB计算,计算多项式根roots的函数可用于计算H(s)的零极点
29、。,r=roots(D)%计算多项式D(s)的根,H(s)零极点分布图可用pzmap函数画出，调用形式为,pzmap(sys),表示画出sys所描述系统的零极点图。,例1 用部分分式展开法求X(s)的反变换。,%program6_1format rat%将结果数据以分数的形式输出num=1 2;den=1 4 3 0;r,p=residue(num,den),运行结果为 r=-1/6,-1/2,2/3 p=-3,-1,0,故X(s)可展开为,例2 用部分分式展开法求X(s)的反变换。,%program6_2num=2 3 0 5;den=conv(1 1,1 1 2);%将因子相乘的形式转换成
30、多项式的形式r,p,k=residue(num,den)magr=abs(r)%求r的模angr=angle(r)%求r的相角,例2 用部分分式展开法求X(s)的反变换。,运行结果为,r=-2.0000+1.1339i,-2.0000-1.1339i,3.0000p=-0.5000+1.3229i,-0.5000-1.3229i,-1.0000k=2magr=2.299,2.2991,3.0000 angr=2.6258,-2.6258,0,故X(s)可展开为,例3 试画出系统 的零极点分布图，求其单位冲激响应h(t)和频率响应H(j)，并判断系统是否稳定。,num=1;den=1 2 2 1
31、;sys=tf(num,den);poles=roots(den)figure(1);pzmap(sys);t=0:0.02:10;h=impulse(num,den,t);figure(2);plot(t,h)title(Impulse Respone)H,w=freqs(num,den);figure(3);plot(w,abs(H)xlabel(omega)title(Magnitude Respone),运行结果,利用MATLAB进行离散系统的z域分析,部分分式展开的MATLAB实现H(z)的零极点与系统特性的MATLAB计算,一、部分分式展开的MATLAB实现,r,p,k=resid
32、uez(num,den),num,den分别为X(z)分子多项式和分母多项式的系数向量。,r为部分分式的系数，p为极点，k为多项式的系数。若为真分式，则k为零。,二、H(z)的零极点与系统特性的MATLAB计算,利用tf2zp函数计算H(z)的零极点，调用形式为,z,p,k=tf2zp(b,a),H(z)零极点分布图可用zplane函数画出，调用形式为,zplane(b,a),b和a分别为H(z)分子多项式和分母多项式的系数向量。,返回值z为零点、p为极点、k为增益常数。,例1 将X(z)用部分分式展开。,%program7_1num=18;den=18 3-4-1;r,p,k=residue
33、z(num,den),运行结果为r=0.3600,0.2400,0.4000 p=0.5000,-0.3333,-0.3333 k=,故X(z)可展开为,例2 试画出系统 的零极点分布图，求其单位冲激响应hk和频率响应H(ejW)。,%program 7_2b=1 2 1;a=1-0.5-0.005 0.3;figure(1);zplane(b,a);num=0 1 2 1;den=1-0.5-0.005 0.3;h=impz(num,den);figure(2);stem(h)xlabel(k)title(Impulse Respone)H,w=freqz(num,den);figure(3
34、);plot(w/pi,abs(H)xlabel(Frequency omega)title(Magnitude Respone),运行结果,利用MATLAB进行系统状态变量分析,微分方程到状态方程的转换 状态方程系统函数矩阵H(s)的计算 MATLAB求解连续系统的状态方程 MATLAB求解离散系统的状态方程,一、微分方程到状态方程的转换,num,den 分别表示系统函数H(s)的分子和分母多项式；A,B,C,D 分别为状态方程的矩阵。,A,B,C,D=tf2ss(num,den),二、状态方程系统函数矩阵H(s)的计算,A,B,C,D 分别表示状态方程的矩阵。K 表示函数ss2tf计算的与
35、第k个输入相关的系统函数，即H(s)的第k列。num 表示H(s)第k列的m个元素的分子多项式den 表示H(s)公共的分母多项式。,num,den=ss2tf(A,B,C,D,k),三、MATLAB求解连续系统的状态方程,sys 由函数ss构造的状态方程模型t 需计算的输出样本点,t=0:dt:Tfinalx(:,k)系统第k个输入在t上的抽样值q0 系统的初始状态(可缺省)y(:,k)系统的第k个输出 to 实际计算时所用的样本点；q 系统的状态,获得连续系统状态方程的计算机表示模型,sys=ss(A,B,C,D),求解状态方程,y,to,q=lsim(sys,x,t,q0),四、MATL
36、AB求解离散系统的状态方程,sys 由函数ss构造的状态方程模型x(:,k)系统第k个输入序列q0 系统的初始状态(可缺省)y(:,k)系统的第k个输出n 序列的下标;q 系统的状态,获得离散状态方程的计算机表示模型,sys=ss(A,B,C,D,),求解状态方程,y,n,q=lsim(sys,x,q0),或直接利用,y,q=dlsim(A,B,C,D,x,q0),例1 写出系统 的状态方程。,由A,B,C,D=tf2ss(1,1 5 10)可得,所以系统的状态方程为,C=0 1 D=0,例2 已知某连续系统的状态方程和输出方程为,其初始状态和输入分别为,求该系统的系统函数矩阵H(s)和输出。
37、,计算系统函数矩阵H(s),A=2 3;0-1;B=0 1;1 0;C=1 1;0-1;D=1 0;1 0;num1,den1=ss2tf(A,B,C,D,1)num2,den2=ss2tf(A,B,C,D,2)运行结果num1=1 0-1 1-2 0den1=1-1-2num2=0 1 1 0 0 0den2=1-1-2所以系统函数矩阵H(s)为,计算输出,%Program 8_2A=2 3;0-1;B=0 1;1 0;C=1 1;0-1;D=1 0;1 0;q0=2-1;dt=0.01;t=0:dt:2;x(:,1)=ones(length(t),1);x(:,2)=exp(-3*t);s
38、ys=ss(A,B,C,D);y=lsim(sys,x,t,q0);subplot(2,1,1);plot(t,y(:,1),r);ylabel(y1(t);xlabel(t);subplot(2,1,2);plot(t,y(:,2);ylabel(y2(t);xlabel(t);,运行结果,例3 已知某离散系统的状态方程和输出方程为,其初始状态和输入分别为,求该系统的输出。,计算输出,%Program 8_3A=0 1;-2 3;B=0;1;C=1 1;2-1;D=zeros(2,1);q0=1;-1;N=10;x=ones(1,N);y=dlsim(A,B,C,D,x,q0);subplot(2,1,1);y1=y(:,1);stem(0:N-1),y1);xlabel(k);ylabel(y1);subplot(2,1,2);y2=y(:,2);stem(0:N-1),y2);xlabel(k);ylabel(y2);,运行结果,
