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1、Harbin Institute of Technology Yangkun 1/75,第四章 偏微分方程的有限差分法,4.1 有限差分法原理4.2 热传导方程的差分解法4.3 波动方程的差分解法,Harbin Institute of Technology Yangkun 2/75,4.1 有限差分法原理,物理学中许多物理规律都用偏微分方程描述，偏微分方程主要分为以下三类：,上式中a,c,f以及未知函数u为定义在求解区域上的实（复）函数,Harbin Institute of Technology Yangkun 3/75,4.1 有限差分法原理,有限差分解法,差分近似代替微分，差商近似代替
2、微商,这样就把求解区域内连续分布函数离散化成求网络节点上的分立函数值，从而把所需求解的微分方程变为一组相应的差分方程，进一步可以求解离散节点上的函数值。,数学基础泰勒（Taylor）展开,Harbin Institute of Technology Yangkun 4/75,4.1 有限差分法原理,差商公式的构造,利用泰勒级数展开定义差商,Harbin Institute of Technology Yangkun 5/75,4.1 有限差分法原理,误差为O(h)差商公式：,一阶向前差商：,一阶向后差商：,Harbin Institute of Technology Yangkun 6/75,
3、4.1 有限差分法原理,二阶向前差商：式(2)-式(1)X2,误差为O(h2)差商公式：,Harbin Institute of Technology Yangkun 7/75,4.1 有限差分法原理,二阶向后差商:式(2)-式(1)X2,Harbin Institute of Technology Yangkun 8/75,4.1 有限差分法原理,一阶向前差商：,Harbin Institute of Technology Yangkun 9/75,4.1 有限差分法原理,一阶向后差商：,Harbin Institute of Technology Yangkun 10/75,4.1 有限差
4、分法原理,一阶中心差商：,Harbin Institute of Technology Yangkun 11/75,4.1 有限差分法原理,二阶中心差商：,Harbin Institute of Technology Yangkun 12/75,4.1 有限差分法原理,差分格式的收敛性和稳定性,收敛性：,稳定性：,当步长h0时，差分方程的解趋向于微分方程的解。,误差在运算过程中不会失控，即累计误差不会无限增加。,Harbin Institute of Technology Yangkun 13/75,4.1 有限差分法原理,从数学上讲，没有限制的微分方程会有无穷多个解，不能构成一个定解问题。,
5、从物理上讲，描述物理问题的微分方程仅适用于描述在一个连续体或物理场的内部发生的物理过程，仅靠这些微分方程不足以确定物理过程的具体特征。,因此，要想解决实际的物理问题，必须知道一个连续体或物理场的初始状态和边界受到的外界影响。,Harbin Institute of Technology Yangkun 14/75,4.1 有限差分法原理,初始条件：与时间相联系,边界条件：边界受到外界的影响,偏微分方程的定解条件,常见的物理问题可以归结为三大类边界条件,Harbin Institute of Technology Yangkun 15/75,4.1 有限差分法原理,2 第二类边界条件（诺依曼Ne
6、umann）,1 第一类边界条件（狄利克雷Dirichlet）,热传导问题：边界上温度分布已知,热传导问题：通过边界单位面积上的热流量已知,n表示的外法线q0定义在上的已知函数,Harbin Institute of Technology Yangkun 16/75,4.1 有限差分法原理,由热力学傅立叶定律得：,热流量：,单位面积上的热流量：,K:热传导系数,单位时间内通过给定截面的热量，正比例于垂直于该界面方向上的温度变化率和截面面积，而热量传递的方向则与温度升高的方向相反。,Harbin Institute of Technology Yangkun 17/75,4.1 有限差分法原理,
7、3 第三类边界条件（洛平Robin）,热传导问题：边界表面与外界之间的热量交换已知,a0,b0.c0定义在上的已知函数,外界温度为u0，热交换规律遵循热传导实验定律：,单位时间内，从边界单位面积传递给周围的热流量正比于边界表面和外界的温度差。,Harbin Institute of Technology Yangkun 18/75,4.1 有限差分法原理,对于实际物理问题，边界条件往往是很复杂的，可能是一种或不同边界区域几种边界条件的组合，甚至不能用这三类边界条件描述。,：热交换系数 u：边界温度,单位面积上的热流量：,Harbin Institute of Technology Yangku
8、n 19/75,4.2 热传导方程的差分解法,物理学中对热传导、热辐射以及气体扩散现象的描述，常可以归结为同一类型的抛物线型方程，通常采用二阶偏微分方程描述，这类方程统称为热传导方程。,Harbin Institute of Technology Yangkun 20/75,4.2 热传导方程的差分解法,一维各向同性、均匀介质，且无热源的热传导方程：,为了求解u(x,t)，还必须利用边界条件和初始条件。,定解条件：边界条件和初始条件。,定解问题：解存在、唯一并且连续依赖初始条件。,4.2.1一维热传导方程的差分解法,Harbin Institute of Technology Yangkun
9、21/75,4.2 热传导方程的差分解法,对于一维热传导问题（第一类边界条件）,数值解就是在求解区域,中某些离散点（xi,ti）上求出u(xi,ti)足够近似的解。,Harbin Institute of Technology Yangkun 22/75,4.2 热传导方程的差分解法,1 把求解区域离散化（确定离散点）,Harbin Institute of Technology Yangkun 23/75,4.2 热传导方程的差分解法,2 推导差分递推公式,在节点（xi,tk）上,二阶向前差商O(h2),Harbin Institute of Technology Yangkun 24/75
10、,4.2 热传导方程的差分解法,同样，在节点（xi,tk）上,一阶向前差商O(h),Harbin Institute of Technology Yangkun 25/75,4.2 热传导方程的差分解法,一维热传导方程可以近似为,令,O(h),Harbin Institute of Technology Yangkun 26/75,4.2 热传导方程的差分解法,初始条件,边界条件,Harbin Institute of Technology Yangkun 27/75,4.2 热传导方程的差分解法,一维热传导方程显示差分递推公式为,Harbin Institute of Technology
11、Yangkun 28/75,4.2 热传导方程的差分解法,显示差分递推公式的稳定性：,对于一维热传导方程，差分格式为稳定差分格式的充分条件是,即,Harbin Institute of Technology Yangkun 29/75,4.2 热传导方程的差分解法,为了提高数值解的精度，必须减小,相应就要变小，这必然增加计算量。这就是显示差分格式的缺点，但它的优点是计算简单。,Harbin Institute of Technology Yangkun 30/75,4.2 热传导方程的差分解法,差分格式计算步骤：给定 计算 计算初始值：计算边界值：用差分格式计算,Harbin Institut
12、e of Technology Yangkun 31/75,4.2 热传导方程的差分解法,Harbin Institute of Technology Yangkun 32/75,4.2 热传导方程的差分解法,Harbin Institute of Technology Yangkun 33/75,4.2 热传导方程的差分解法,X=diag(v,k)若v为n个元素向量，返回一个阶数为n+abs(k)的方阵X，将v作为X的第k个对角元，k=0代表主对角元，k0表示在主对角元之上，k0表示在主对角元以下。,v=ones(1,5);X1=diag(v)X2=diag(v,1)X3=diag(v,-1
13、),Harbin Institute of Technology Yangkun 34/75,4.2 热传导方程的差分解法,（1-2*）*diag(ones(1,N-1)+*（diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1)）,Harbin Institute of Technology Yangkun 35/75,4.2 热传导方程的差分解法,例 求热传导方程混合问题,Harbin Institute of Technology Yangkun 36/75,4.2 热传导方程的差分解法,Harbin Institute of Technology Yangku
14、n 37/75,4.2 热传导方程的差分解法,Harbin Institute of Technology Yangkun 38/75,9.2 4.2 热传导方程的差分解法,Harbin Institute of Technology Yangkun 39/75,4.2 热传导方程的差分解法,Harbin Institute of Technology Yangkun 40/75,4.2 热传导方程的差分解法,Harbin Institute of Technology Yangkun 41/75,4.2 热传导方程的差分解法,二维各向同性、均匀介质，且无热源的热传导方程：,初始条件：,边界条
15、件：？,4.2.2 二维热传导方程的差分解法,Harbin Institute of Technology Yangkun 42/75,4.2 热传导方程的差分解法,同一维类似，把求解区域离散化,Harbin Institute of Technology Yangkun 43/75,4.2 热传导方程的差分解法,在节点（xi,yj,tk）上,Harbin Institute of Technology Yangkun 44/75,4.2 热传导方程的差分解法,在节点（xi,yj,tk）上,Harbin Institute of Technology Yangkun 45/75,4.2 热传导
16、方程的差分解法,二维热传导方程可以近似为,令,Harbin Institute of Technology Yangkun 46/75,4.2 热传导方程的差分解法,差分递推公式为,Harbin Institute of Technology Yangkun 47/75,4.2 热传导方程的差分解法,边界条件：,一、右图中阴影部分为绝热壁，此绝热壁可以用第二类边界条件描述，即热流量为零。,第二类边界条件：通过边界表面单位面积上的热流量已知,Harbin Institute of Technology Yangkun 48/75,4.2 热传导方程的差分解法,差分近似为,Harbin Insti
17、tute of Technology Yangkun 49/75,4.2 热传导方程的差分解法,递推公式为：,Harbin Institute of Technology Yangkun 50/75,4.2 热传导方程的差分解法,二、i=0边界，M1jM2 区域为与高温恒温热源相连接的口，温度可取归一化值1。j=0和j=M边界与低温恒温热源相连，温度始终为0。,Harbin Institute of Technology Yangkun 51/75,4.2 热传导方程的差分解法,二维热传导方程显示差分递推公式为,Harbin Institute of Technology Yangkun 52
18、/75,4.2 热传导方程的差分解法,稳定差分格式的充分条件是,即,Harbin Institute of Technology Yangkun 53/75,4.2 热传导方程的差分解法,Harbin Institute of Technology Yangkun 54/75,4.2 热传导方程的差分解法,Harbin Institute of Technology Yangkun 55/75,4.2 热传导方程的差分解法,Harbin Institute of Technology Yangkun 56/75,4.2 热传导方程的差分解法,Harbin Institute of Techno
19、logy Yangkun 57/75,4.2 热传导方程的差分解法,Harbin Institute of Technology Yangkun 58/75,4.2 热传导方程的差分解法,view(az,el)az:方位角el:仰角view(0,90)view(-37.5,30）,Harbin Institute of Technology Yangkun 59/75,4.2 热传导方程的差分解法,Harbin Institute of Technology Yangkun 60/75,4.3 波动方程的差分解法,一维均匀弦线的自由振动方程：,波动方程的差分解法也利用构造网格节点的方法,Har
20、bin Institute of Technology Yangkun 61/75,4.3 波动方程的差分解法,用二阶中心差分近似方法得：,Harbin Institute of Technology Yangkun 62/75,4.3 波动方程的差分解法,代入波动方程得：,令：,Harbin Institute of Technology Yangkun 63/75,4.3 波动方程的差分解法,边界条件,初始条件,Harbin Institute of Technology Yangkun 64/75,4.3 波动方程的差分解法,a 初始条件：,对于初始时刻速度，也须用差分格式给出：,Har
21、bin Institute of Technology Yangkun 65/75,4.3 波动方程的差分解法,a1 向前差分：,误差：,Harbin Institute of Technology Yangkun 66/75,4.3 波动方程的差分解法,a2 中心差分：,由,得（k=0）,+,Harbin Institute of Technology Yangkun 67/75,4.3 波动方程的差分解法,误差：,整理得：,Harbin Institute of Technology Yangkun 68/75,4.3 波动方程的差分解法,b 边界条件：,一维波动方程的差分格式有如下两种,
22、Harbin Institute of Technology Yangkun 69/75,4.3 波动方程的差分解法,第一种：,误差：,Harbin Institute of Technology Yangkun 70/75,4.3 波动方程的差分解法,第二种：,误差：,Harbin Institute of Technology Yangkun 71/75,4.3 波动方程的差分解法,第二种差分格式精度要高于第一种，是经常采用的方法。,理论上可以证明，两种差分格式稳定条件是：,Harbin Institute of Technology Yangkun 72/75,4.3 波动方程的差分解法
23、,波动方程差分格式的计算步骤如下：,;计算,;计算,;计算初值和边值;,给定,计算,Harbin Institute of Technology Yangkun 73/75,4.3 波动方程的差分解法,例：计算下列一维波动方程,Harbin Institute of Technology Yangkun 74/75,4.3 波动方程的差分解法,Harbin Institute of Technology Yangkun 75/75,4.3 波动方程的差分解法,Harbin Institute of Technology Yangkun 76/75,4.3 波动方程的差分解法,Harbin In
24、stitute of Technology Yangkun 77/75,4.3 波动方程的差分解法,Harbin Institute of Technology Yangkun 78/75,4.3 波动方程的差分解法,Harbin Institute of Technology Yangkun 79/75,4.3 波动方程的差分解法,Harbin Institute of Technology Yangkun 80/75,上机 4,编程计算下列一维扩散方程的解,要求：1 推导差分递推公式2 图形显示计算结果，并与解析解比较。a x-t-u 三维曲线 b t=0 0.5 1 时刻 x-u曲线 c x=0.5处t-u曲线,
