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1、第四章 信号特征提取信号分析技术,目录,离散时间信号序列信号特征的频域提取方法,离散时间信号序列,离散时间信号（离散信号）：如果信号只在一系列离散的时间点给出函数值，而在其它时间是没有定义的。离散信号也可以进一步分为幅度连续的和幅度离散的，前者称为抽样信号，后者称为数字信号。,序列的表示方法,（1）式中 表示序列的第n个数据，符号表示集合。（2）,（3）当有闭式表达式时，则又可以用公式表示。,（4）序列的第三种表示方法是用图形作直观图示，图中用线段的长短代表序列值的大小。,（5）序列的列表表示法,序列的基本运算,1、序列的和与差两序列 与 的和与差是指它们同序号 的序列值逐项对应相加减而构成一
2、个新序列，表示为,序列的基本运算,2、序列的积两序列 与 的和与差是指它们同序号 的序列值逐项对应相乘而构成一个新序列，表示为,3、序列的移位 序列 移位在波形上是指 逐项依次移动某一指定序位而形成的一个新的序列，当 m 为正整数时，是将 逐项依次右移（延时）m位的结果，则是将 逐项依次左移（超前）m 位的结果。当时，结论相反。,4、序列的差分运算序列的一阶前向差分运算和一阶后向差分运算分别用相应的算子 和 定义为,5、反褶（转置，倒置）序列 的反褶是指用-n代换 中的独立变量n，反褶的图形表示就是以n=0的纵轴为对称轴将序列 加以反褶（折叠）。,6、累加将序列 累加所得到的累加序列 定义为,
3、7、序列的比例（时间尺度）变换序列 的比例变换是将 的波形压缩或扩展而构成一个新的序列，因此，也称为序列的重排。如果将序列 进行比例变换所得到的序列 是,信号特征的提取方法,信号分析与处理中的常用数学变换,一、付里叶变换二、拉普拉斯变换 三、Z变换四、希尔伯特变换,付里叶变换：从时域到频域的变换或逆变换频谱分析工具,1.付里叶级数,满足狄利赫利(Dirichlet)条件的周期函数在T/2，T/2可展开成付里叶级数：,式中,1.连续或只有有限个第一类间断点；2.只有有限个极值点,其中,为付里叶系数；,表示信号静态部分，称为直流分量,表示信号的n次谐波,付里叶级数的复指数形式：,cn的模反映了n次
4、谐波幅值的大小，而cn的幅角则反映n次谐波的相位。,关系称为幅值谱,关系称为相位谱,关系称为功率谱,2.付里叶变换,（1）付里叶正变换,称为x(t)的付里叶变换,当使用频率f为自变量时，改写为,（2）付里叶逆变换,称为付里叶逆变换,频谱函数（频谱密度）,复值函数，具有幅频特性和相频特性,关系称为信号x(t)的幅值谱密度，,关系称为信号x(t)的能量谱密度，,关系称为信号x(t)的相位谱密度。,图2.5-4 矩形脉冲的波形与频谱图,由于数字计算机只能处理数字量而不能处理模拟量，因此，要想在计算机上实现连续付立叶变换，必须首先将各模拟量离散化为数字量，这个连续付立叶变换的离散化实现过程即是所谓的离
5、散付立叶变换，简称DFT(Discrete Fouerier Transform)。,4.离散付立叶变换,若在计算机上实现这一运算，则必须做到：(1)把连续信号(包括时域、频域)改造为离散数据；(2)把计算范围收缩到一个有限区间；(3)实现正、逆付立叶变换运算。在这种条件下所构成的变换对称为离散付立叶变换对。其特点是，在时域和频域中都只取有限个离散数据，这些数据分别构成周期性的离散时间函数和频率函数。,时域信号的离散过程,连续时间信号x(t)在0，T上经过AD变换后，得到长度为N的时间序列x(n)，其中NT/t，t1/fs，fs为采样频率，应满足采样定理，即fs 2 fmax，fmax为欲分析
6、的信号最高频率，则可将付里叶变换式转化为,在实际运算中，由于只能对有限项进行计算，因此，必须对连续无限项的频率抽取离散值，以便与时域采样相对应。取 f(1/t)/N，结果把信号x(t)以T为周期加以周期廷拓。对该周期离散信号进行付里叶变换,2.拉普拉斯（Laplace)变换,除了满足狄利赫利条件外,还要在()区间上满足绝对可积条件的函数才可以作傅傅立叶变换。但绝对可积的条件是比较强的，许多函数即使是很简单的函数(如单位函数、正弦函数、线性函数等)都不满足这个条件。其次可以进行傅立叶变换的函数必须在整个数轴上有意义，但在实际应用中，许多以时间t作自变量的函数往往在 下无意义或者不需要考虑。像这样
7、的函数都不能进行傅立叶变换。由此可见，傅立叶变换的应用范围受到相当大的限制。工程上实测的信号往往不满足此项要求。,对于任意一个函数，能否经过适当的改造使其进行傅立叶变换时克服上述两个缺点呢？,对于任意函数,对函数 进行先乘以，再取傅立叶变换的运算，就产生了拉普拉斯变换。,3.Z变换,利用Z变换的性质，可将差分方程转换为代数方程，从而使求解过程大为简化。(数字信号）,4.希尔伯特变换,揭示了可实现系统函数实部与虚部之间的相互信赖关系，主要用于信号包络的提取，奇异点信号的获取。,时域分析方法,数学变换主要是针对确定性信号而言的，对于非确定性的随机信号由于不能给出精确的数学表达式，因而只能用数理统计
8、和离散数字处理的数学方法来研究其规律，这就是随机信号分析的内容。,对随机信号可从时域和频域这两个角度来进行分析。如果对所测得的时间历程信号直接实行各种运算且运算结果仍然属于时域范畴，则这样的分析运算即为时域分析，如统计特征参量分析、相关分析等；如果首先将所测时历信号经过付里叶变换为频域信号，然后再对其施行各种运算的分析方法统称为频域分析，如幅值谱分析、相位谱分析和功率谱分析等。,一、统计特征参量分析,1.概率密度函数p(x)概率密度函数p(x)定义为信号幅值为x的概率，,样本长度,信号幅值落在指定范围内的时间和,求正弦信号的概率密度函数p(x)。,解：,在一个周期内,2概率分布函数F(x),概
9、率分布函数是信号幅值小于等于某一值x的概率。,概率分布函数为,概率密度函数,求正弦信号,的概率分布函数F(x),3.均值（一阶原点矩）,离散化计算公式,代表信号的静态部分或直流分量,均值为,同样对于上述正弦信号：,4.均方值（二阶原点矩）,离散化计算公式,反映信号相对零值的波动情况,该值表达了信号的强度，其正平方根值又称为有效值，是信号的平均能量的一种表示。在工程信号测量中一般仪器的表头值显示的就是信号的均方值。,均方值,正弦信号：,5.有效值（均方根值）,离散化计算公式,6.方差和标准差,方差的开方称为标准差,反映信号均值的波动情况,方差为,由于均值,故方差,正弦信号：,7偏态指标K3和峭度
10、指标K4,偏态指标和峭度指标常用来检验信号偏离正态分布的程度，两者对概率密度函数的影响如图所示。,偏态指标,其离散化计算公式为,峭度指标,其离散化计算公式为,若信号x(t)为反映机械状态的参量，则K3，K4的绝对值愈大，说明机器愈偏离其正常状态，因此，偏态指标K3和峭度指标K4，均可用于机械设备的故障诊断。,8无量纲指标,对这些无量纲指标的基本要求是：对机器的运行状态足够敏感，当机器运行状态的变化引起所测参数发生变化时，这些无量纲指标应有更明显的变化；与机器的运行状态之间有稳定的对应关系，只有当机器运行状态发生变化引起所测参数发生变化时，这些无量纲指标才有明显的变化，目前常用的无量纲指标有波形
11、指标、峰值指标、脉冲指标和裕度指标，它们都是由信号的幅值参数演化而来的。,（1）波形指标,（2）峰值指标,（3）脉冲指标,（4）裕度指标,式中,实验结果表明，裕度指标L和脉冲指标I对于齿轮和轴承故障所引起的冲击振动较为敏感，可以在机械设备的振动、噪声信号分析中有效地使用。,在选择上述各指标时，按其诊断能力由大到小顺序排列，大体上为峭度指标裕度指标脉冲指标峰值指标波形指标。,峭度指标,峰值指标,二、相关分析,相关分析又称时延域分析，用于描述信号在不同时刻的相互依赖关系，是提取信号中周期成分的常用手段，在相关测速和相关定位以及传递路径识别中均有应用。相关分析包括自相关分析和互相关分析，是信号时域分
12、析的主要内容。,1.自相关分析,(1)自相关函数的定义 自相关函数描述的是同一信号中不同时刻的相互依赖关系，自相关函数的定义式为,互相关分析,相关直线定位,相关测速,相关平面定位,用时域平均法提取周期信号,频域分析方法,频域分析是机械故障诊断中用得最广泛的信号处理方法之一。一般，故障的发生、发展都会引起信号频率结构的变化。频谱分析：把以时间为横坐标的时域信号通过傅里叶变换分解为以频率为横坐标的频域信号，从而求得关于原时域信号的幅值和相位信息的一种分析方法。傅立叶变换把复杂信号分解为有限个或无限个频率的简谐分量；频谱：将动态信号的频率成分的幅值、相位、与频率的关系表达出来的图形。频谱有：离散谱与
13、周期性、准周期性信号对应；连续谱与非周期信号及随机信号对应，用谱密度。,幅值谱分析基本概念:直接将采样所得的时域信号进行傅里叶变换,求得其时域信号的频率组成.其公式为:,一.幅值谱分析确定性信号,一些机械信号（空气压缩机信号：正常、2弹簧失效）,二、随机信号的功率谱密度,随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅立叶变换，又因为随机信号的频率、幅值、相位都是随机的，因此从理论上讲，一般不作幅值谱和相位谱分析，而是用具有统计特性的功率谱密度来作谱分析。,所谓功率谱密度估计问题，就是要根据随机序列的有限观察值Xn(n=0,1,N-1)来估计功率谱密度函数，简称功率谱。,常用的功率
14、谱估计方法有两种：一种是对原始数据直接进行快速傅立叶变换得到；另一种是通过对相关函数作傅立叶变换得到。,（1）自功率谱密度函数（自功率谱）（自谱）,定义 物理意义 当=0时，所以 曲线下和频率轴所包围的面积就是信号的平均功率，即就是信号的功率功率密度沿频率轴的分布。因此，称为自功率谱密度函数，简称自功率谱，自谱。,巴塞伐尔定理,即在时域中计算的信号总能量，等于在频域中计算的信号总能量（又称为能量等式）。,自功率谱与信号幅值谱之间的关系,即自功率谱为信号幅值谱的平方。利用此关系就可以直接对时域信号作傅里叶变换计算功率谱,应用,由于 是 的傅里叶变换,故 包含了 中的全部信息.自功 率谱反映了信号
15、幅值的平 方,因此更能凸显频域结构 特征,对如图的线性系统,若其输入为x(t),输出为y(t),系统的频率响应为H(f),则 Y(f)=H(f)X(f)输入输出的自功率谱密 度函数与系统频率响应函数之间的关系为通过输入输出自谱分析,就能得到系统的幅频特性.但在这样的计算中丢失了相位信息,因而不能得到相频特性.,自相关分析可以有效的检测出信号中有无周期成分.自功率谱密度也能用来检测信号中有无周期成分.（周期信号的频谱是脉冲函数,在某特定频率上的能量是无限的.由于实际处理时信号被窗函数截断的原因,因此在实际测量的自谱图形中,周期成分以陡峭的有限峰值的形态出现.）,（2）互功率谱密度函数（互功率谱）（互谱）,a）定义（b）物理意义从信号的自功率谱密度函数引申而来，没有明确的物理意义。（c）应用通过输入、输出的互谱分析，可得出系统的频响函数，同时包含了幅频特性和相频特性。在线测试，即在被测系统正常运行的同时对它进行测试。评价系统的输入信号和输出信号之间的因果性。,常用单元信号,
