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1、第二章 连续时间系统的时域分析,2.1 引言 2.2 微分方程的建立与求解2.3 起始点的跳变 2.4 零输入响应和零状态响应2.5 冲激响应与阶跃响应 2.6 卷积 2.7 卷积的性质 2.8 用算子符号表示微分方程,2.1 引言,系统在时域中数学模型的建立微分方程：输入-输出法高阶微分方程 系统分析的任务是对给定的系统模型和输入信号求系统的输出响应系统分析的方法：时域分析方法 频域分析方法,本章主要内容：系统时域分析法：1、微分方程的求解 直接求解微分方程；零输入响应和零状态响应的概念和求解。2、根据单位冲激响应求系统的响应；卷积积分。3、算子符号表示法。,2.2 系统数学模型（微分方程）
2、的建立,例2-1 图2-1所示为RLC并联电路的，求并联电路的端电压v(t)与激励源iS(t)间的关系,电阻：,电感：,电容：,例：输入激励是电流源iS(t),试列出电流iL(t)及R1上电压u1(t)为输出响应变量的方程式。,例：如图所示电路，试分别列出电流i1(t)、电流i2(t)和电压uO(t)的数学模型。,2.3 用时域经典法求解微分方程,设激励信号为e(t)，系统响应为r(t)，则可以用一高阶的微分方程表示复杂的系统。,完全解由齐次解与特解组成。齐次解：齐次方程的解。齐次方程：,齐次解的形式是形如 的线性组合。,微分方程的特征方程,特征方程的n个根，称为微分方程的特征根,1、在特征根
3、各不相同(无重根)的情况下，微分方程的齐次解：,2、若特征方程有重根，为k阶重根，则相应于 的微分方程的齐次解将有k 项，为：,例2-3 求解微分方程的齐次解。解：特征方程：特征根：齐次解：,1、求微分方程的齐次解。2、求微分方程的齐次解。,答案：,答案：,3、求微分方程的齐次解。,答案：,4、求微分方程的齐次解。,答案：,特解：特解的函数形式与激励的函数形式有关。自由项：将激励代入微分方程右端，化简后的函数式,注意：1、表中的B、D是待定系统。2、若自由项由几种函数组合，则特解也为其相应的组合。3、若表中所列特解与齐次解重复，则应在特解中增加一项：t倍乘表中特解。若这种重复形式有k次，则依次
4、增加倍乘t，t2，tk诸项。例如：齐次解：激励：特解：,例2-4 给定微分方程如果已知：(1)e(t)=t2；(2)e(t)=et，分别求两种情况下此方程的特解。解：(1)将e(t)=t2代入方程右端，得自由项t2+2t 特解rp(t)=B1 t2+B2t+B3 将特解代入原微分方程，得：,等式两端各对应幂次的系统相等，可得：特解为：,(2)将e(t)=et代入方程右端，得自由项2et 特解rp(t)=Bet 将特解代入原微分方程，得：Bet+2Bet+3Bet=2Bet 特解为：,1、求微分方程的特解。2、求微分方程的特解。,答案：,答案：,3、求微分方程的特解。,答案：,完全解=齐次解+特
5、解,边界条件：在(0+t)内任一时刻t0(通常为0+)时r(t)及其各阶导数(最高为n-1阶)的值。即由此可确定Ai，得到完全解。,线性常系数微分方程的经典解法：1、通过特征方程写出齐次解(含待定系数)；2、通过自由项写的特解，并代入原方程中确定特解的待定系数；3、完全解=齐次解(含待定系数)+特解，根据边界条件列方程组，求齐次解中的系数。,特征方程的根 称为系统 的“固有频率”，决定齐次解的形式。齐次解自由响应。特解强迫响应,2.4 起始点的跳变从0-到0+状态的转变,系统加入激励之前的状态：起始状态(0-状态)系统加入激励之后的状态：初始条件(0+状态，导出的起始状态),对于一个具体的电网
6、络，系统的0-状态就是系统中储能元件的储能情况，即电容上的起始电压和电感中的起始电流。当电路中没有冲激电流(或阶跃电压)强迫作用于电容以及没有冲激电压(或阶跃电流)强迫作用于电感，则换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变。,例2-6 如图所示RC一阶电路，电路中无储能，起始电压和电流都为0，激励信号e(t)=u(t)，求t0系统的响应电阻两端电压解：根据KVL和元件特性写出微分方程 当输入端激励信号发生跳变时，电容二端电压保持连续值，仍等于0，而电阻两端电压将产生跳变，即 特征根：齐次解：特解：0 代入起始条件：完全解：,当系统已经用微分方程表示时，系统的0-状态到0+状态有没有
7、跳变决定于微分方程右端自由项是否包含 及其各阶导数。它的原理是根据t=0时刻微分方程左右两端的及其各阶导数应该平衡相等。,解法二：用匹配法 将 代入 得（2-1）为保持方程左右两端各阶奇异函数平衡，可以判断，等式左端最高阶项应包含，所以 在0点发生跳变。将（2-1）两端同时做积分得,例2-7 电路如图，在激励信号电流源 的作用下，求电感支路电流。激励信号接入之前系统中无储能，各支路电流 解：根据KCL和电路元件约束性得 左端二阶导数含有 项，则一阶导数在0点发生跳变，在0点没有跳变。两端做积分得,系统的特征方程：由于 在t0+时刻之后为零，因而特解为零，完全解为齐次解，利用初始条件代入式子 求
8、得系数,为简化一下推导，引入符号考虑到电路耗能与储能的不同相对条件，分成以下几种情况给出的表达式（1）电阻 等幅正弦振荡,（2）产生衰减振荡，电阻R越大衰减越慢，R较小时，衰减很快，以致不能产生振荡，即以下两种情况（3）（4）,将元件电压电流关系、基尔霍夫定律用于给定电系统,列写微分方程,将联立微分方程化为一元高阶微分方程,齐次解Aet(系数A待定),求特解,已定系数的完全解-系统之响应,完全解=齐次解+特解(系数A待定),0-状态,0+状态,2.5 零输入响应和零状态响应,完全响应的分解：1、自由响应和强迫响应2、零输入响应和零状态响应,零输入响应：没有外加激励信号的作用，只有起始状态(起始
9、时刻系统储能)所产生的响应。记作rzi(t)零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用(起始状态等于零)，由系统的外加激励信号所产生的响应。记作rzs(t),系统方程：零输入响应：，无特解。r(k)(0+)=r(k)(0-)零状态响应：,例2-8 已知系统方程式 若起始状态为激励信号，求系统的自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应以及完全响应。解：方程式的齐次解是：，由激励信号 求出特解是1。则完全响应表达式为 由方程式两端奇异函数平衡条件判断出 在起始点无跳变，自由响应 强迫响应,求零输入响应齐次解为：初始条件 则：于是：求零状态响应 先求出 对 两边求积分得r(t)的一阶导数有跳变，r(
10、t)为连续，所以 代入 得：A=-1，,将,自由响应,强迫响应,零输入响应,零状态响应,常系数线性微分方程描述的系统的线性的扩展：1、响应的可分解性：系统响应可以分解为零输入响应和零状态响应。2、在LTI系统中，重点研究零状态响应3、为求解零状态响应，可以利用卷积方法求解4、零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于外加激励信号呈线性，称为零状态线性。5、零输入线性：当外加激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性关系，称为零输入线性。6、把激励信号与起始状态都视为系统的外施作用，则系统的完全响应对两种外施作用也呈线性。,例：给定系统微分方程,系统的激励为，起始状态为，求系统的完
11、全响应，并指出其零输入响应、零状态响应、自由响应、强迫响应各分量。,解：,1)求齐次解,特征方程为：,特征根为：,齐次解为：,2)求特解,自由项为：,特解为：,3)求完全解,完全解为：,利用冲激函数匹配法判断跳变：,完全响应为：,自由响应为：,强迫响应为：,4)求零输入响应,5)求零状态响应,利用冲激函数匹配法判断跳变：,2.6 冲激响应与阶跃响应,冲激响应h(t)：系统在单位冲激信号(t)的激励下产生的零状态响应。阶跃响应g(t)：系统在单位阶跃信号u(t)的激励下产生的零状态响应。,nm时,nm时，表达式还将含有(t)及其相应阶的导数(m-n)(t)、(m-n-1)(t)、(t)。系数可以
12、通过冲激函数匹配法求出,2.6 卷积,卷积积分指的是两个具有相同自变量t的函数f1(t)与f2(t)相卷积后成为第三个相同自变量t的函数f(t)。这个关系表示为,做变量代换可得,线性时不变系统中，(t)作用于系统产生的响应为h(t)则(t-)作用于系统产生的响应为h(t-)e()(t-)作用于系统产生的响应为e()h(t-),作用于系统时，响应为,卷积的运算：,0,1,1,0,2,1,-2,1、改换图形中的横坐标；,2、把其中的一个信号反褶；,0,1,1,3、把反褶后的信号做位移，移位量是t，t0图形右移；t0图形左移；,t,4、两信号重叠总分相乘；,5、完成相乘后图形的积分。,0,1,1,0
13、,1,1,2.7 卷积的性质,(一)卷积代数1.交换律 f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)证：,令,令,例,2.分配律 f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)证,3.结合律 f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t)证,(二)卷积的微分与积分 与信号的运算相似，卷积也有微分、积分性质，但与信号的微分、积分运算有所区别。(1)微分,证,由卷积的第二种形式，同理可证,(2)积分,证,同理可证,应用类似的推导，可导出卷积的高阶导数和多重积分的运算规律。若 s(t)=f1(t)*f2(t)则 s(i)(t)=f(j)1
14、(t)*f(i-j)2(t)其中,i、j取正整数时为导数的阶次；i、j取负整数时为重积分的阶次。,例,(三)与冲激函数或阶跃函数的卷积(1)f(t)*(t)=f(t)证,从f(t)与(t)卷积结果可知(t)是卷积的单位元。,(2)f(t)*(t-t0)=f(t-t0)证,(3),(4),Next,0,1,1,0,2,1,0,1,1,0,2,1,0,2,1,0,2,1,2.8 用算子符号表示微分方程,(一)算子符号基本规则两条基本规则:1、对算子多项式可以进行因式分解，但不能进行公因子相消。,即,？,2、算子的乘除顺序不可随意颠倒。,即,（二）用算子符号建立微分方程,电感：,电容：,（三）传输算子概念,传输算子,2-1(a),(1),(2),(3),对方程(1)求微分,对方程(2)求微分,由上式可得,2-4 已知系统相应的齐次方程及其对应的0+状态条件，求系统的零输入响应,(1),给定：,解：特征方程：,特征根：,方法一：,齐次解：,特征根,齐次解：,方法二：,(2),给定：,解：特征方程：,特征根：,齐次解：,(3),给定：,解：特征方程：,特征根：,齐次解：,
