行列式计算方法小结.ppt

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1、,主要内容,1.定义,2.性质 5条,3.展开定理,4.几个重要结果,范德蒙行列式,P.17例2,三角形行列式的值等于对角元之乘积,行列式的计算方法小结,可从计算方法和行列式特征两个角度总结。,1.直接用定义(非零元素很少时可用),2.化三角形行列式法,此法特点:,(2)灵活性差,死板。,程序化明显,对阶数较低的数字行列式和一些较特殊的 字母行列式适用。,3.降阶法,利用性质,将某行(列)的元尽可能化为0,然后按行(列)展开.,此法灵活多变,易于操作,是最常用的手法。,一.方法,*4.递推公式法(见附录1),*5、数学归纳法(见附录2),*6.加边法(升阶)(见附录3),二、特征,1.奇数阶反

2、对称行列式 的值为零。,.阶数不算高的数字行列式,可化为三角形行列式或结合展开定理计算.,.非零元素很少的行列式,可直接用定义或降阶法。,一些特殊行列式的计算(包括一些重要结果),为对称行列式,例,例,是反对称行列式,不是反对称行列式,两种重要行列式,加到P.17,例(P.17),证明奇数阶反对称行列式的值为零。,证,当n为奇数时有,例,2.“箭形”行列式 化成三角形行列式,如:练习册P.2 6(2)题,例,另外:见P.21例6,P.4118题,3.除对角线以外各行元素对应相同,可化成三角形行列式或箭形行列式,另,可化箭形行列式,例 P.43 25题是x,y,n阶,n-1阶,n-1阶,某行(列

3、)至多有两个非零元素的行列式,可用降 阶法或定义或递推公式法或归纳法,5.各行(列)总和相等的行列式(赶鸭子法),例 计算行列式(P.20 a 换为y),*或 y 乘第1列加到后面各列:,*,例如(P.39 12(6)、(7),P.40 15(3),P.44 27,如:P.41 18,P.42 19,20(2)、(3),1列(行)“1”的巧妙利用,6 范德蒙(Vandermonde)行列式(重要结果),例 计算行列式,解 V是 的范德蒙行列式,,故,注:显然,范德蒙行列式,练习册P.6:,12张,将一不含的非零元素化成零,某行可能会出现公因子,提公因子,可降次。,7.部分对角线上含参数的行列式

4、,例 为何值时,D=0?,附录1.递推公式法,特征:某行(列)至多有两个非零元素。,方法:按此行(列)展开,可能会导出递推公式。,例1(另见A26),按第一行展开好,还是按第一列展开好?,由此得递推公式:,因此有:,D2=?,解法2:从最后一列开始每列乘以x加到前一列,再按第一列展开。,例2,由此可得递推公式:,因此有,又因为,故,则,递推公式法的 步骤:,1.降阶,得到递推公式;,2.利用高中有关数列的知识,求出行列式。,附录2、数学归纳法,例 证明范德蒙(Vandermonde)行列式,证明(数学归纳法),,结论成立。,按第1列展开,根据归纳假设有:,综上所述,结论成立。,附录3.加边法(

5、升阶),要点:将行列式加一行一列,利用所加的一行(列)元素,将行列式化成三角形行列式。,例9 用加边法计算,n+1阶,还可用赶鸭子法!,将第1行的(-1)倍分别加到第2行,第3行,.,第n+1行得:,(1)若m=0,则,n+1阶,“箭形”行列式,从加边前的Dn 得出,综合练习题,2.用多种方法计算下列行列式,(2).,(3).,(1).,3.计算行列式,设m阶行列式|A|=a,n阶行列式|B|=b,*4.计算行列式,综合练习题解答,因此,因为:对于任何两个数码,在一排列中要么构成逆序,要么不构成逆序.,如:,2.(1),解法一:,化成三角形行列式,解法二:把 化成0,再按第三行展开,解法三:,(2).计算行列式,解法一:,解法二:,注意:若按图示法计算不易化简。,(3).解法一,解法二:用赶鸭子法,提公因子,化三角形行列式或降成二阶,3.计算行列式,设m阶行列式|A|=a,n阶行列式|B|=b,解,将第n+1列作n次相邻交换,到第1列,将第n+m列作n次相邻交换,到第m列,共作了mn次列交换,得:,*4.计算行列式,解,利用一行“1”,另一解法见学习指导书。,

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