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1、连续系统的时域分析,连续系统的时域分析,线性连续时间系统：建立并且求解线性微分方程。,微分方程的阶数就是系统的阶数，描述了系统的复杂度。,在分析过程中，所涉及的函数的变量都是时间t，因此这种分析方法称为时域分析法(time-domain method)。,时域分析法直观，物理概念清楚，是变换域分析法的基础，但其求解过程较为复杂。,连续系统的时域分析,1、数学模型的确立：举例：RLC电路如图见黑板,n阶线性系统激励函数与响应函数之间的微分方程：,线性时不变系统 常系数线性微分方程,常系数微分方程的求解：,a)常系数微分方程的古典解法：直接法,齐次解是齐次方程的解：,齐次解做为系统的响应来说就是系
2、统的自然响应(natural response)。由系统的特征根决定。,特解的形式由激励函数的形式决定，这部分解是系统的 受迫响应(forced response)。,例：RLC电路如图见黑板,解(1)：特征方程：,齐次解为：,将其代入微分方程得：,解得：,即：,其中待定常数C1，C2由初始条件确定：,系统的全解：,例：RLC电路如图见黑板,解(2)：特征方程：,齐次解为：,将其代入微分方程得：,其中待定常数C1+B0，C2由初始条件确定：,系统的全解：,注：,连续系统的时域分析,1、数学模型的确立：线性时不变系统 常系数线性微分方程2、微分方程的求解：齐次方程的解 自然响应 数学上 n个指数
3、项之和，由n个初始条件决定 非齐次方程的特解 受迫响应 根据系统激励函数的具体形式求解,连续系统的时域分析,1、数学模型的确立：线性时不变系统 常系数线性微分方程2、微分方程的求解：,系统在无输入激励的情况下仅由初始条件引起的响应,系统在无初始储能或称为状态为零的情况下，仅由外在激励源引起的响应。,零输入响应和零状态响应,1.用经典法求解,求解零输入响应就是求解当外加激励源为零时，系统的全响应。,系统的特征根决定了零输入响应的形式，系统的零输入响应只包含有齐次解的部分。,注：初始条件,零输入响应和零状态响应,1.用经典法求解,求解零输入状态就是求解当系统初始状态为零时，系统的全响应。,系统的零
4、状态响应由系统的初始状态和外加激励源共同决定，因此零状态响应不但包含特解的部分，也包含齐次解的部分。,注：初始条件,零输入响应和零状态响应,2.用叠加积分的方法求解零状态响应：原理系统的叠加性,选取什么样的子信号集？如何将任意信号分解成子信号集的和？,如何求系统对子信号集的响应？是否能利用子信号间的联系找到一个通用的表达式？,如何求得最后的响应：叠加积分的方法,（杜阿美积分，卷积积分）,零输入响应 零状态响应 自然响应 受迫响应,对于一个稳定的系统而言，系统的零输入响应必然是自然响应的一部分,零输入响应和零状态响应中的自然响应部分和起来构成总的自然响应，零状态响应中有外加激励源作用产生的响应是
5、受迫响应,零状态响应中又可以分为自然响应和受迫响应两部分。,自然响应 受迫响应 瞬态响应 稳态响应,对真实系统而言，自然响应必然是瞬态响应。受迫响应中随时间增长而衰减消失的部分也是瞬态响应的部分，随时间增长仍继续存在并趋于稳定的部分则是稳态响应。,2-2 系统方程的算子表示法,微分算子：积分算子：算子方程：,返回,2-2 系统方程的算子表示法,利用算子，电路中电感和电容的伏安特性可以表示为：,其中，和 分别为电感和电容的阻抗,2-2 系统方程的算子表示法,举例：RLC电路如图见黑板 微分方程为：算子方程：,一般系统的算子表示法：,转移算子：,转移算子描述了响应函数和激励函数在时域中的关系,2-
6、2 系统方程的算子表示法,二、算子多项式的运算法则,1、代数运算：,由算子p的多项式组成的运算符号可以像代数式那样相乘和因式分解。代数运算中的分配和结合律在算子方程中完全适用。,2、相消计算：,?,一般情况下，系统微分和积分的运算次序不能任意颠倒，两种运算也不一定能抵消。,推论：当f(t)=g(t)，则pf(t)=pg(t)；当1/pf(t)=1/pg(t)，则f(t)=g(t),例题,如图（见黑板）所示的双耦合电路，激励函数为电压e(t)，响应函数为电流i2(t)，求激励函数与响应函数之间的关系。假设e(t)，i1(t)，i2(t)在t为负无穷的时刻均为零。,2-3 零输入响应的求解,1、零
7、输入响应：,系统在无输入激励的情况下仅由初始条件引起的响应。,n阶算子方程,零输入响应是由系统初始的能量分布状态，即系统的初始条件决定的。,返回,1、一阶方程的求解：,常数c可以根据t=0时未加激励前的初始条件决定，即：c=r(0),2、二阶方程的求解：,或:,3、n阶方程的求解：即：,把上述奇次方程写成多个因式相乘的形式：,令：D(p)=0，可以求得系统的特征根,若这些根都是单根，则系统的零输入响应可以表示为：,定解的条件,定解的条件,若在一个k重根，其余都是单根，则系统的零输入响应可以表示为：,例1：在RLC串联电路中，设L=1H，C=1F，R=2欧姆，若激励电压源 为零，且电路的初始条件
8、为：分别求上述两种初始条件时电路的零输入响应电流。注：这里的压降uc的方向与电流i的正方向一致。,解：系统的微分方程：,得到算子方程,得到系统的特征根：,系统的零状态响应为：,把初始条件i(0)=0,i(0)=1代入得：,例1：在RLC串联电路中，设L=1H，C=1F，R=2欧姆，若激励电压源 为零，且电路的初始条件为：分别求上述两种初始条件时电路的零输入响应电流。注：这里的压降uc的方向与电流i的正方向一致。,系统的零状态响应为：,把初始条件i(0)=0,uc(0)=1代入：,代入得：,例1：在RLC串联电路中，设L=1H，C=1F，R=1欧姆，若激励电压源 为零，且电路的初始条件为：分别求
9、上述初始条件时电路的零输入响应电流。注：这里的压降uc的方向与电流i的正方向一致。,解：系统的微分方程：,得到算子方程,得到系统的特征根：,系统的零状态响应为：,把初始条件i(0)=0,i(0)=1代入得：,2-3 零输入响应的求解,Step1：给出系统的微分方程,Step2：将微分方程用算子的形式来描述,Step3：求解算子方程，得到算子方程的特征根,Step4：根据特征根得到微分方程的解,Step5：根据初始条件得到参数c0，c1的数值,Step6：给出系统的零输入响应,零状态响应的求解方法：将任意信号分解为一系列“标准统一”的子信号之和（或积分）求线性系统对各个子信号的响应将各子信号的响
10、应相叠加，从而得到系统对激励信号的响应。,选取什么样的子信号？如何将信号分解成子信号的和或积？,如何求系统对子信号的响应？,如何求得最后的响应,如何选取子信号？,完备性：任意函数（或决大部分函数）都可以分解为该子信号的和，没有（或几乎没有）例外；,简单性：容易求得系统对该子信号的响应；,相似性：不同子信号的响应具有内在联系，可以类推。,2-4 奇异函数,冲激函数,阶跃函数,函数本身或其各阶导数存在一个或多个间断点，这样的函数统称为奇异函数。,奇异函数在间断点上的导数用一般方法不好确定。,2-4 奇异函数,阶跃函数工程定义：单位阶跃函数：,信号的简单处理：信号的相乘：,信号的延时：,信号的相乘+
11、延时：,宽度为T的矩形脉冲信号：,阶跃函数的性质：,1.可以方便地表示某些信号,阶跃函数的性质：,1.可以方便地表示某些信号,3,-2,3,-5,T,2T,0,阶跃函数的性质：,2.可以定义信号输出时间,t,f(t),宽度为T的矩形脉冲信号：,当T不断减小时，矩形脉冲的宽度随之不断减小，而脉冲的幅度则无限增大。然而不论矩形脉冲的宽度与幅度怎样变化，其面积保持不变，仍然为1。,在T无限趋近于零的极限条件下，矩形脉冲信号成为单位冲激信号，用符号 表示。,冲激函数,1、工程定义：2、单位阶跃函数：,高度无穷大，宽度无限窄的矩形脉冲。,冲激函数的性质：1、函数的相乘：2、延时：,例：,3、尺度变换：推
12、论：,4、偶函数性：,5、抽样性：设函数f(t)在t=0处连续，则,用一个单位冲激函数去乘以一个函数并进行积分，其结果等于冲激所在处该函数的数值。随着冲激所在位置的移动，可以抽取该函数在任意时刻的数值。单位冲激函数的这种性质称为取样性质。,例：,6、微积分性质：由冲激函数的定义可以得到：,6、微积分性质：由冲激函数的定义可以得到：,阶跃函数是冲激函数的积分，或者说冲激函数是阶跃函数的导数。,单位冲激偶：当t从负值趋于零时，它是一强度为无限大的正冲激函数；当t从正值趋于零时，它是一强度为无限大的负冲激函数。,零状态响应的求解方法：将任意信号分解为一系列“标准统一”的子信号之和（或积分）求线性系统
13、对各个子信号的响应将各子信号的响应相叠加，从而得到系统对激励信号的响应。,选取什么样的子信号？,如何将信号分解成子信号的和或积？,2-5 信号的脉冲分解,信号的时域分解：把一个复杂的信号用若干个奇异信号之和来描述。一、特例：1、门函数：仅在-1 到 1之间有数值为2的直流信号输出，其数学描述可以表示为：,2、周期性矩形脉冲：,将任意信号表示为多个阶跃函数之和：,如图见黑板,将任意信号表示为多个冲激函数之和：,将任意信号表示为多个冲激函数之和：,取样特性:对于任意一个函数而言，可以用f(t)函数与一个冲激序列相乘积分的形式来描述函数f(t)在多个离散的时间点上的输出：,对于任意的时间t：,若f(
14、t)为有始函数，积分的上下限变为0到t，即：,零状态响应的求解方法：将任意信号分解为一系列“标准统一”的子信号之和（或积分）求线性系统对各个子信号的响应将各子信号的响应相叠加，从而得到系统对激励信号的响应。,选取什么样的子信号？如何将信号分解成子信号的和或积？,如何求系统对子信号的响应？,2-6 阶跃响应和冲激响应,一、定义：阶跃响应：系统对阶跃信号的零状态响应；冲激响应：系统对冲激信号的零状态响应；,系统的冲激响应和阶跃响应之间的关系？,或,所以两者只要知道其一就可以了。现在很少将信号分解为阶跃信号，所以一般没有必要求阶跃响应，只要求冲激响应就可以了。,系统的冲激响应可以由系统的微分方程计算
15、,一阶系统,n阶系统，系统的特征根无重根：,mn,n阶系统，l 重根：,mn,mn,例1：RC串联电路如图所示，系统初始状态为零，受激于单位冲激电压源，求响应电流及电容上的电压。,解：电路的微分方程：,对左右两边微分，得到系统的算子方程：,电容上的电压为：,2-7 叠加积分,回顾：零状态响应的求解方法：将任意信号分解为一系列“标准统一”的子信号之和（或积分）求线性系统对各个子信号的响应将各子信号的响应相叠加，从而得到系统对激励信号的响应。,选取什么样的子信号？如何将信号分解成子信号的和或积？,如何求系统对子信号的响应？,如何求得最后的响应,信号可以分解为一系列阶跃函数的积分：,而：系统对阶跃信
16、号的响应：,齐次性,叠加性,、通过阶跃响应求解杜阿美积分,冲激响应,信号可以分解为一系列阶跃函数的积分：,而：系统对阶跃信号的响应：,齐次性,叠加性,、通过阶跃响应求解杜阿美积分,2-7 叠加积分,二、通过冲激响应求解卷积积分信号可以分解为一系列冲激函数的积分：,系统对冲激信号的响应：,齐次性,叠加性,二、通过冲激响应求解卷积积分信号可以分解为一系列冲激函数的积分：,有始信号作用于因果系统，可以得到：,分析：,step1:给出外加激励源的数学描述,step:求解系统的冲激响应,回顾：零状态响应的求解方法：将任意信号分解为一系列“标准统一”的子信号之和（或积分）求线性系统对各个子信号的响应将各子
17、信号的响应相叠加，从而得到系统对激励信号的响应。,选取什么样的子信号？如何将信号分解成子信号的和或积？,如何求系统对子信号的响应？,如何求得最后的响应,返回,2-8 卷积及其性质,幻灯片 86,1、几何求解,、代数求解,2-8 卷积积分的性质,二、卷积积分的性质：,与乘法运算相同的性质：1）交换率：,2）分配率：,3）结合率：,例,卷积的微积分1、微分：,2、积分：,3、多重微积分：,将复杂函数转变为简单函数的卷积积分。,函数延时后的卷积假设：,则：,相关与卷积,两个时间函数x(t)与y(t)的相关(correlation)运算是由下面的积分所定义的，即：,自相关,如果进行相关运算的是同一时间
18、信号，则称相关运算所得的结果为自相关函数,几个特殊函数的卷积：,或：,或：,推广：,2-9 线性系统响应的时域求解,经典法：常规的线性微分方程的求解方法，先确定解的形式。将响应分为两部分：,线性时不变系统的时域分解法有两种：,近代时域法（卷积法）：将解分为零输入响应和零状态响应两部分：,2-9 线性系统响应的时域求解,近代时域法（卷积法）：零输入响应：激励信号为零时，系统的响应。只要求解齐次微分方程即可。零状态响应：系统初始条件为零时的系统响应。用卷积法求解，通过计算激励信号与系统的冲激响应的卷积的方法得到。,系统微分方程的算子形式：,系统的零输入响应：,系统微分方程的算子形式：,系统的零状态响应：,系统微分方程的算子形式：,系统的全响应：,系统对指数激励信号,系统的全响应为：,系统对指数激励信号,如果激励信号的指数s与系统的某个特征根相同，则响应中有：,2、矩性脉冲激励下的响应激励信号,可以得到响应为：,近代时域法求解步骤：,1、列出系统微分方程，得到系统的转移算子H(p),2、求系统的零输入响应：（齐次方程的解）,3、求系统的零状态响应：（系统的冲激响应；卷积积分）,4、将零输入响应与零状态响应相叠加，得到全响应。,
