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1、第三章 连续时间系统的复频域分析,拉普拉斯变换,以傅氏变换为基础的频域分析法，将时域的卷积运算转,应；另外，其反变换的积分计算也不易。,初始状态在变换式中无法体现，只能求系统的零状态响,项处理不方便；尤其用傅氏变换分析系统响应时，系统,件的常用信号如等，虽然其傅氏变换存在，但带有冲激,际问题时有其独到之处。不过对一些不满足绝对可积条,谐波分量、系统的频率响应、系统带宽、波形失真等实,变为频域的代数运算，简化了运算；特别是在分析信号,而拉普拉斯变换的优点一是对信号要求不高,一般指数阶,氏变换(英文缩写为LT)。,续LTI系统的重要数学工具。拉普拉斯变换也简称为拉,相对简单的反变换方法。所以拉普拉
2、斯变换也是分析连,求系統的零输入响应（初始条件“自动”引入）；三是有,转变为代数运算，而且既能求系统的零状态响应，也能,信号的变换存在且简单；二是不但能将时域的卷积运算,3.1拉普拉斯变换,果信号的拉氏变换。因果信号的拉氏变换也称单边拉氏变,3.1.1、单边拉氏变换,1、单边拉氏变换定义,考虑到一般实际应用的信号多为因果信号，我们先讨论因,换。,因果信号的傅氏正、反变换为,傅氏变换对于一些指数阶的函数处理不方便,主要原因是,式中,一个收敛速度足够快的函数。即有,这类函数不收敛,例如阶跃函数,。为了使函数收敛，,在进行变换时让原函数,乘以,，使得,是,件。,为收敛（衰减）因子，使,满足绝对可积条
3、,令,的傅氏反变换为,则,，,等式两边同乘,可表示为,不是,，,里，由此得到,的函数，可放入积分号,（3-2）,代入上式且积分上、下限也做相应,已知,，,，选定,改变，则可写作,为常量，,所以，,（3-5）,因为,的作用，(3-2)与(3-5)式是适合指数阶函数的,变换。,称“单边”变换。将两式重新表示在一起，单边拉氏变换,式中,又由于(3-2)式中的,是,时为零的因果信号，故,定义为,称为复频率，,为象函数，,原函数。,为,L,或,可以用直角坐标的复平面（s平面）表示，,如图3-1所示。,象函数与原函数的关系还可以表示为,L,0,比较傅氏变换、拉氏变换的推导，可知傅氏变换的基本,虽然单边拉普
4、拉斯变换存在条件比傅氏变换宽，但对具体,的拉氏变换；拉氏变换是傅氏变换在s平面的推广。,傅氏变换与拉氏变换的关系：傅氏变换是在虚轴上,，拉氏变换的基本信号元是,。不难表明,信号元是,由单边拉氏变换收敛区可以解决这些问题。,函数也有变换是否存在及在什么范围内变换存在的问题，,2、单边拉氏变换收敛区,在一定条件下收敛，即有,收敛区是使,满足可积的,取值范围，或是使,由拉氏变换式的推导可见，因为,的作用，使得,（3-8）,（3-8）,变换的收敛区就确定了,式中,叫做收敛坐标，是实轴上的一个点。穿过,并与虚轴平行的直线叫做收敛边界。收敛轴的右边为收,借助指数函数衰减可以被压下去。指数阶函数的单边拉,确
5、定。,的,满足(3-8)式的函数，称为指数阶函数。这类函数若发散，,氏变换一定存在，其收敛区由收敛坐标,拉氏,示；,0,收敛区,(a),区如图3-2(c)所示。,是随时间不变的，,，例如,、,，,0,收敛区,(b),0,收敛区,(c),图3-2 收敛区示意图,存在，但有冲激项。,因为指数阶函数的单边拉氏变换一定存在，所以一般,可以不标明收敛区。,不存在；,存在；,二、常用函数的单边拉氏变换,通过求常用函数的象函数，掌握单边拉氏变换的基本方,1、,当拉氏变换的收敛区包括,法。,的函数,，仅将,轴，可由,直接得到,，即,换为,的收敛域如图3-2(a)所示，包括,例3.1-1 已知,的拉氏变换。,以
6、及,，求,解,轴，所以,2、,利用以上结果，可以推出以下常用信号的拉氏变换。,例3-2、,的指数函数,（为任意常数）,例3-3、,例3-4、,例3-5,例3-6、,3、的正幂函数,L,L,L,即,依次类推：,L,L,L,L,特别地：,表3-1列出了常用函数的拉氏变换。,除了因果信号，一些非因果双边信号也存在拉氏变换，,三、双边拉氏变换,1定义,因子，则,简称双边拉氏变换。下面讨论双边信号的拉氏变换。,先讨论,作用。当,一定时，若,时,为收敛,时,为发散因子，有,但是，如果有函数在,上式无限区间积分为有限值,我们说函数的双边L变换,给定的范围内,使得,存在。并记为,或,2、双边拉氏变换的收敛区,
7、双边拉氏变换收敛区的定义是使,通过实例讨论双边拉氏变换存在的条件，即双边拉氏,L,L,范围。,满足可积的,取值范围，或是使,的双边拉氏变换存在的,取值,变换的收敛区。,例3.1-8已知函数,解：将积分分为两项,对第项，只有,时积分收敛，收敛区如图3-3b所示。,边L变换的收敛区,，试确定,双,敛区如图3-3a所示。,，即,时积分收敛；收,对第项，只有,两项的公共收敛区为,。,0,1,0,变换存在，,因此只有当,时，,，双边拉氏,换为,波形与收敛区如图3-4所示。其双边L变,1,双边拉氏变换不存在。,通常，双边拉氏变换有两个收敛边界，一个取决于,的变换有公共收敛区,双边L变换存在；所以，双,如图
8、3-5所示。,若,0,例3.1-9已知,；c.,，求所有可能的,。,解:,的收敛区有,三种情况，对应的,a.,；b.,为,从上例分析可见，双边拉氏变换的收敛区必须标明，,否则不能正确确定时域信号。,3.2 拉氏变换的基本性质,本节讨论单边拉氏变换的基本性质。,1、线性,若,则,，,例,2、时延（移位）特性,若,证,，代入上式得,则,令,，,时延（移位）特性表明，波形在时间轴上向右平移,的不同。,，,其拉氏变换应乘以移位因子,。适用时延特性的时延,函数是,，而不是,。要注意区,分,、,、,、,例3-4,如图3-6所示，,求象函数。,1,1,0,2,-1,解：已知,其中,（利用线性）,则,图3.2
9、-1,（时延）,3、频率平移（域）,则,证,为复常数,若,例3.2-2 已知,解 方法1,，求象函数。,方法2,4、尺度变换,若,证,其中,L,，则,令,L,代入上式得,已知,解 方法1先频移后尺度,，求,方法2 先尺度再频移,的象函数。,例3-6,例3-7 求,解,的象函数。,、,5、时域微分,若,，则,在,可以将上式推广到高阶导数,时的值。,式中,是,时的值。,式中,以及,分别为,时,以及,时的值。,式中,以及,分别为,时,以及,证明 L,L,特别地，当,则时域微分式可分别化简为,式中,L,L,为有始函数，即,，我们有,，,为微分因子。,依此类推，可以得到高阶导数的L变换,6、时域积分,表
10、示积分运算，,若,，则,式中,证明：,其中,利用任意函数与阶跃卷积,将(3.2-9)(3.2-10)代入(3.2-8)，得,特别的，如果,为积分因子。,为因果信号，则,时域积分性质为,式中,存在，则,*7、初值定理,初值定理只适用,证明：由时域微分性质我们有,L,L,、,设有,、,，且,在原点处没有冲激的函数。,得,交换积分与取极限次序,两边取极限,比较等式左、右两边,*8、终值定理,的终值,左半面(,存在，则,L,L,、,设有,、,，且,终值定理适用的条件是,的所有极点在,平面的,可有在原点处的单极点),证明：利用初值定理的结果,两边取相限,交换积分与取极限次序,令,例3.2-5 已知,解,=L,验证：,求,，,。,、,、,9.时域卷积定理,若,则,L,交换积分次序,证：因为,为有始函数，所以,、,表3-2给出了单边拉氏变换主要性质。,利用延时特性,L,
