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1、1,定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为向量组,结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应,有限向量组,第三节 向量组的线性组合,(一)、向量组的线性组合,1。向量组：,当R(A)n 时，齐次线性方程组 Ax=0 的全体解组成的向量组含有无穷多个向量,(一)、向量组的线性组合,1。向量组：,2。向量组的线性组合与线性表示,定义1 对于向量组a1，a2，am，如果有一组数k1，k2，km，使 bk1a1k2a2 kmam，则称向量b是向量组a1，a2，am的一个线性组合，或称b可由向量组a1，a2，am线性表示。,定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为向量组,例1
2、设 a1=(1,0,0)，a2=(0,1,0)，a3=(0,0,1)，则,b=(2,-1,1)是向量组a1，a2，a3的一个线性组合，也就是b可由a1，a2，a3线性表示。,b=2a1-a2+a3,=2(1,0,0)-(0,1,0)(0,0,1),=(2,-1,1)，,定义1对于向量组a1，a2，am，如果有一组数k1，k2，km，使 bk1a1k2a2 kmam，则称向量b是向量组a1，a2，am的一个线性组合，或称b可由向量组a1，a2，am线性表示。,下页,注意：,（1）向量组a1，a2，a3 的线性组合有无穷多个,（2）一个向量b有可能可由向量组a1，a2，a3 的线性表示；也有可能不
3、能由向量组a1，a2，a3 的线性表示。,例2任何一个n维向量a=(a1,a2,an)T都是n维向量组e1=(1,0,0)T，e2=(0,1,0)T，en=(0,0,1)T的线性组合。这是因为a=a1e1 a2e2 an en。,向量组e1，e2，en称为n维单位向量组或n维基本向量组,下页,定义1对于向量组a1，a2，am，如果有一组数k1，k2，km，使 bk1a1k2a2 kmam，则称向量b是向量组a1，a2，am的一个线性组合，或称b可由向量组a1，a2，am线性表示。,结论：,任何一个n维向量a=(a1,a2,an)都可由n维单位向量组或n维基本向量组线性表示,5,例：设,那么,线
4、性组合的系数,e1,e2,e3的线性组合,一般地，对于任意的 n 维向量b，必有,6,n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量,例3零向量是任何一组向量的线性组合。,下页,定义1对于向量组a1，a2，am，如果有一组数k1，k2，km，使 bk1a1k2a2 kmam，则称向量b是向量组a1，a2，am的一个线性组合，或称b可由向量组a1，a2，am线性表示。,例4向量组a1，a2，am中的任一向量i(1im)都是此向量组的线性组合。,注意：对k1，k2，km未加任何限制；特别是未限制k1，k2，km不全为零。,这是因为o=0a1 0a2 0 am,这是因为ai=0a1+1ai
5、0 am。,定理 n维列向量b可由n维列向量组a1，a2，am线性表示的充分必要条件是：以x1，x2，xm为未知量的线性方程组 x1a1 x2a2 xm am b有解。,讨论：上述线性方程组在什么情况下有解？,提示：线性方程组 x1a1 x2a2 xm am b有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，即矩阵(a1 a2 am)与矩阵(a1 a2 am b)的秩相等。,下页,3。b可由a1，a2，am线性表示的判定方法：,x1a1 x2a2 xm am b,定理 n维列向量b可由n维列向量组a1，a2，am线性表示的充分必要条件是：以x1，x2，xm为未知量的线性方程组 x1a1 x2
6、a2 xm am b有解。,推论：,下页,3。b可由a1，a2，am线性表示的判定方法：,（1）n维列向量b可由n维列向量组a1，a2，am线性表示,秩(a1 a2 am)=秩(a1 a2 am b),定理 n维行向量b可由n维行向量组a1，a2，am线性表示的充分必要条件是：以x1，x2，xm为未知量的线性方程组 x1a1T x2a2T xm amT bT有解。,（2）n维行向量b可由n维行向量组a1，a2，am线性表示,秩(a1T a2 T amT)=秩(a1T a2T amT bT),例5,设,判断向量b是否为向量组a1，a2，a 的线性组合。若是，写出表示式。,解：设x1a1x2a2
7、xab,由此可得线性方程组,解此线性方程组,增广矩阵,（a1a2ab）,因为线性方程组有解，,所以b可由a1，a2，a线性表示,又因解为x1，x2，x,所以,b a1a2 a,例6判断向量b1=(4,3,-1,11)T与b2=(4,3,0,11)T是否各为向量组a1=(1,2,-1,5)T，a2=(2,-1,1,1)T的线性组合。若是，写出表示式。,解：(1)考虑线性方程组x1a1x2a2 b1。因为,(a1 a2 b1)=,秩(a1 a2 b1)=秩(a1 a2)，所以b1可由a1，a2线性表示。因为线性方程组的解为x12，x21，所以使2a1a2 b。,下页,例6判断向量b1=(4,3,-
8、1,11)T与b2=(4,3,0,11)T是否各为向量组a1=(1,2,-1,5)T，a2=(2,-1,1,1)T的线性组合。若是，写出表示式。,解：(2)考虑线性方程组x1a1x2a2 b2。因为,(a1 a2 b2)=,秩(a1 a2 b2)秩(a1 a2)，所以b2不能由a1，a2线性表示。,下页,例7设向量a1=(1,2,3)，a2=(0,1,4)，a3=(2,3,6)b=(-1,1,5)，证明b由向量组a1，a2，a3线性表示并写出具体的表示式。,解：考虑线性方程组x1a1Tx2a2T x3a3T bT。因为,(a1T a2Ta3T bT),秩(a1T a2Ta3T bT)=秩(a1
9、T a2Ta3T)，所以b可由a1，a2，a3线性表示。因为线性方程组的解为x11，x22，x3-1，所以b a12a2-a3,15,例：设证明向量 b 能由向量组 a1,a2,a3 线性表示，并求出表示式,解：向量 b 能由 a1,a2,a3 线性表示当且仅当R(A)=R(A,b),因为R(A)=R(A,b)=2，所以向量 b 能由 a1,a2,a3 线性表示,16,行最简形矩阵对应的方程组为通解为所以 b=(3c+2)a1+(2c1)a2+c a3,17,结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应,向量b 能由向量组 A线性表示,线性方程组 Ax=b 有解,P.83 定理1 的结论：,1
10、8,定义：设有向量组 A：a1,a2,am 及 B：b1,b2,bl，若向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个向量组等价,4。向量组的等价,例1向量组a1=(1,2)T，a2=(1,1)T，a3=(2,3)T可以由基本向量组e1=(1,0)T，e2=(0,1)T 线性表示；,同时因为向量组e1=(1,0)T=-a1 T+2a2 T，e2=(0,1)T=a1 T-a2T，即向量组e1，e2可由向量组a1，a2，线性表示；,所以向量组a1，a2与向量组e1，e2等价,20,设有向量组 A：a
11、1,a2,am 及 B：b1,b2,bl，若向量组 B 能由向量组 A 线性表示，即,线性表示的系数矩阵,21,设有向量组 A：a1,a2,am 及 B：b1,b2,bl，若向量组 B 能由向量组 A 线性表示，即对于 b1，存在一组实数 k11,k21,km1，使得b1=k11a1+k21 a2+km1 am；对于 b2，存在一组实数 k12,k22,km2，使得b2=k12a1+k22 a2+km2 am；对于 bl，存在一组实数 k1l,k2l,kml，使得bl=k1l a1+k2l a2+kml am,22,若 Cmn=Aml Bln，即,则,结论：矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的
12、列向量组线性表示，B 为这一线性表示的系数矩阵,23,若 Cmn=Aml Bln，即,则,结论：矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示，A 为这一线性表示的系数矩阵,24,口诀：左行右列,定理：设A是一个 mn 矩阵，对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.结论：若 C=AB，那么矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示，A为这一线性表示的系数矩阵（A 在左边）矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示，B为这一线性表示的系数矩阵（B 在右边）,2
13、5,A 经过有限次初等列变换变成 B存在有限个初等矩阵P1,P2,Pl，使 AP1 P2,Pl=B存在 m 阶可逆矩阵 P，使得 AP=B矩阵 B 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价,矩阵 B 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价,同理可得,口诀：左行右列.,把 P 看成是线性表示的系数矩阵,26,向量组 B：b1,b2,bl 能由向量组 A：a1,a2,am 线性表示存在矩阵 K，使得 AK=B 矩阵方程 AX=B 有解 R(A)=R(A,B)（P.84 定理2）R(B)R(A)（P.85 定理3）,推论：向量组 A：a1,a2,am 及 B：b1,b2,bl 等价的充分必要条件是 R(A
14、)=R(B)=R(A,B)证明：向量组 A 和 B 等价 向量组 B 能由向量组 A 线性表示 向量组 A 能由向量组 B 线性表示从而有R(A)=R(B)=R(A,B),因为 R(B)R(A,B),R(A)=R(A,B),R(B)=R(A,B),27,n 阶单位矩阵的列向量叫做 n 维单位坐标向量设有nm 矩阵 A=(a1,a2,am)，试证：n 维单位坐标向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示的充分必要条件是R(A)=n,分析：n 维单位坐标向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示R(A)=R(A,E)R(A)=n,（注意到：R(A,E)=n 一定成立）,28,小结,向量 b 能由向量组 A线性表示,线性方程组 Ax=b 有解,向量组 B 能由向量组 A线性表示,矩阵方程组AX=B 有解,向量组 A 与向量组 B等价,29,知识结构图,n维向量,向量组,向量组与矩阵的对应,向量组的线性组合,向量组的线性表示,向量组的等价,判定定理及必要条件,判定定理,
