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1、2023/5/25,1,2023/5/25,1,2023/5/25,1,在实际问题中，可能遇到多个随机变量的情形，如：,1)射击问题中,对于弹着点往往需要横坐标和纵坐,标描述;,2)研究学龄前儿童的发育情况，观察身高,体重等;,3)具体评价产品的质量,可能有多个评价指标如尺,寸,外形,外包装等.,第五节 二维随机变量,2023/5/25,2,2023/5/25,2,2023/5/25,2,1）定义：设 E 是一个随机试验，它的样本空间是S=e，设 X=X(e)和 Y=Y(e)是定义在 S 上的随机变量。由它们构成的一个向量(X,Y)，叫做二维随机向量，或二维随机变量。,S,e,X(e),Y(e
2、),一、二维随机变量及其分布函数,2023/5/25,3,2023/5/25,3,2023/5/25,3,注 意 事 项,2023/5/25,4,2023/5/25,4,2023/5/25,4,1）定义,3.联合分布函数,y,o,(x,y),(X,Y),2）几何意义,2023/5/25,5,2023/5/25,5,2023/5/25,5,3）一个重要的公式,y,x,o,x1,x2,y1,y2,(X,Y),(x2,y2),(x2,y1),(x1,y2),(x1,y1),2023/5/25,6,2023/5/25,6,2023/5/25,6,定义 若X,Y均为离散随机变量，则(X,Y)为二维离散随
3、机变量,且,二、二维离散随机变量,1.二维离散随机变量的联合分布律,为(X，Y)的分布律或联合分布律.,2023/5/25,7,2023/5/25,7,2023/5/25,7,Y,X,其中,2023/5/25,8,2023/5/25,8,2023/5/25,8,例1 一枚硬币一面刻有数字1，另一面刻有数字2.将硬币抛两次，以X表示第一次、第二次出现的数字之和.以Y表示第一次出现的数字减去第二次出现的数字，求（X,Y）的分布律，P(X+Y2).,解：,所有样本点(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),对应的X取值为：2，3，3，4,Y取值为：0，-1，1，0,2023/5/25,9,三、
4、二维连续随机变量,1.二维连续随机变量,定义 设X,Y均为连续随机变量，,2023/5/25,10,联合概率密度的性质：,这个公式非常重要！,几何解释,随机事件的概率=曲顶柱体的体积,2023/5/25,11,例3,(1)试确定常数k；,(2)求概率P(YX/2).,解(1)由,2023/5/25,12,例3,(2)求概率P(YX/2).,解(2)事件YX/2=(X,Y)D,2023/5/25,13,例 4,2023/5/25,14,2023/5/25,15,2023/5/25,16,2023/5/25,17,二维随机变量,是两个随机变量视为一个整体，来讨论其取值规律的.,问题：能否由二维随机
5、变量的分布来确定两个一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？,边缘分布问题,第6节 边缘分布,2023/5/25,18,一、二维离散型R.v.的边缘分布,X的边缘分布,Y的边缘分布,2023/5/25,19,设二维随机变量（X,Y）的联合概率分布如下,例1,解：,求随机变量X与Y的边缘概率函数。,2023/5/25,20,二、二维连续随机变量的边缘分布,=P(Xx,-Y+),2023/5/25,21,=P(-X+,Yy),2023/5/25,22,设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为,例2,解：,求X与Y的边缘概率密度,2023/5/25,23,设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,例3,解
6、：,求X与Y的边缘概率密度,y,o,x+y=3/2,G,1(,1),1/2 3/2,2023/5/25,24,小结：二维随机变量的边缘分布与联合分布的关系：,边缘分布可由联合分布唯一确定，但不能由边 缘分布确定联合分布。,难点：求边缘分布时如何确定积分区域及边缘 密度不为零的范围。,2023/5/25,25,一、离散随机变量的条件分布,设(X,Y)是二维离散随机变量，其分布律为,(X,Y)关于 X 和关于 Y 的边缘概率函数分别为：,P X=xi,Y=yj=pi j,i,j=1,2,.,第七节 条件分布,2023/5/25,26,由条件概率公式,定理：设(X,Y)是二维离散型随机变量，,在Y=
7、yj 条件下X 的条件分布律,(1)若PY=yj 0,则,自然地引出如下定理：,(2)若PX=xi0,则,在 X=xi 条件下Y 的条件分布律,2023/5/25,27,条件分布律具有分布律的以下特性：,10 P X=xi|Y=yj 0；,即条件分布律是分布律。,2023/5/25,28,设二维随机变量（X,Y）的联合概率分布如下,例1,解：,求(1)随机变量X在Y=0条件下的条件分布。,2023/5/25,29,设二维随机变量（X,Y）的联合概率分布如下,例1,求(2)随机变量Y在X=1条件下的条件分布。,解：,则Y在X=1条件下的条件分布为,2023/5/25,30,(2)若X的边缘概率密
8、度fX(x)0,且在点x处连续,则Y在X=x条件下的条件概率密度,定理 设二维连续随机变量（X,Y）的联合概率密度f(x,y)在点（x,y)处连续。(1)若Y的边缘概率密度fY(y)0,且在点y处连续,则X在Y=y条件下的条件概率密度,二、连续随机变量的条件分布,2023/5/25,31,连续随机变量的条件分布推导,设(X,Y)是二维连续型随机变量，由于,所以应在 P y Yy+y0时,考虑X x的条件概率,2023/5/25,32,2023/5/25,33,称为在条件Y=y下X的条件分布函数.,随机变量X在Y=y的条件下的条件密度函数,注：条件密度函数的性质与普通密度函数类似,随机变量Y在X
9、=x的条件下的条件密度函数,2023/5/25,34,由 所围成的区域上服从,设G是平面上的有界区域,其面积为A,若二维随机变量(X,Y)具有如下概率密度,则称(X,Y)在G上服从均匀分布.现设(X,Y)在,例2,解：,均匀分布.求条件概率密度,3,2023/5/25,35,1.二维随机变量的分布函数,2.二维离散随机变量的联合概率分布及分布函数,3.二维连续随机变量的联合概率密度和分布函数,内容小结,2023/5/25,36,习题二(P70)：13,14,15，17,19,20,21,作业,2023/5/25,37,思考题,2023/5/25,38,备用题,1.,解,2023/5/25,39
10、,2023/5/25,40,2.,解,2023/5/25,41,2023/5/25,42,2023/5/25,43,3.,设随机事件A,B满足,求(X,Y)的分布列.,解,2023/5/25,44,所以(X,Y)的联合分布列为,2023/5/25,45,所以(X,Y)的联合分布列为,2023/5/25,46,4.,在长为a的线段的中点的两边随机地各取,独立，它们的联合密度函数为,Y为线段中点右边所取点到端点0的距离，,一点，求两点间的距离小于a/3的概率.,2023/5/25,47,图2.2的阴影部分，因此，所求概率为,2023/5/25,48,5.,设随机变量(X,Y)的概率密度为,解,故 k=1/8.,2023/5/25,49,2023/5/25,50,6.,设随机变量(X,Y)的联合密度为,2023/5/25,51,(2)求(X,Y)落在区域D内的概率，使用公式,2023/5/25,52,于是有,
