万有引力与航天模型.ppt

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1、浅谈万有引力与航天模型,河南省睢县高级中学 李仲旭,引言,圆周运动、万有引力、人造卫星知识的综合，使许多学生对这三者的关系感到扑朔迷离,（1）万有引力定律揭示了自然界的任何两个物体间都存在的一种相互吸引力，并说明了这种万有引力与哪些因素有关并且有什么关系日常生活中，普通物体之间的这种力很小可以忽略不计，但在天体运动中万有引力却非常大，提供了天体运动所需要的向心力.,（2）牛顿第二定律反映了加速度与力和质量之间的定量关系，是解决动力学问题的重要依据，是力学的基本规律，在中学物理中占有十分重要的地位,（3）对圆周运动而言，其运动学和动力学的联系纽带就是向心加速度，向心加速度的决定式,是牛顿第二定律

2、在圆周运动中的重要体现在天体运动中万有引力提供向心力，据牛顿第二定律得:,可见，万有引力是一种力，牛顿第二定律是一个规律，圆周运动是一种运动形式,。,航空航天与宇宙探测是现代科技中的重点内容，也是高考理综物理命题的热点内容，所涉及到的知识内容比较抽象，习题类型较多，不少学生普遍感觉到建模困难，导致解题时找不到切入点，下面就本模块不同类型习题的建模与解题方法做一归类分析.,“椭圆轨道”模型 指行星(卫星)的运动轨道为椭圆，恒星(或行星)位于该椭圆轨道的一个焦点上，由于受数学如识的限制，此类模型适宜高中生做的题目不多，所用知识为开普勒第三定律及椭圆轨道的对称性.,【例1】天文学家观察到哈雷彗星的周

3、期约是75年，离太阳最近的距离是，但它离太阳的最远距离不能测出，试根据开普勒定律计算这个最远距离，已知太阳系的开普勒常量,【解析】设哈雷雪星离太阳的最近距离为，最远距离为，则椭圆轨道半长轴为,根据开普勒第三定律 得：,一、“椭圆轨道”模型,“中心天体圆周轨道”模型指一个天体(中心天体)位于中心位置不动(自转除外)，另一个天体(环绕天体)以它为圆心做匀速圆周运动，环绕天体只受中心天体对它的万有引力作用.,二、“中心天体圆周轨道”模型,（1）对中心天体而言，可求量有两个:,式中 为中心天体的质量，为环绕天体的质量，分别表示环绕天体做圆周运动的向心加速度、线速度、角速度和周期，根据问题的特点条件，灵

4、活选用的相应的公式进行分析求解.此类模型所能求出的物理量也是最多的，,质量：密度：,特殊地，当环绕天体为近地卫星时()，有:,解答思路 由万有引力提供环绕天体做圆周运动的向心力，据牛顿第二定律，得,(2)对环绕天体而言，可求量有六个:,线速度,(3)可求第一宇宙速度,物体在地球表面附近环绕地球运转，其实就是“中心天体-圆周轨道”模型。求第一宇宙速度有两种方法:,角速度,轨道所在处的向心加速度,周期,向心加速度,向心力,其他星球的第一宇宙速度计算方法同上，为该星球的质量,为该星球的半径，为该星球表面的重力加速度，依据已知条件，灵活选用计算公式.,由 得,由 得,【例2】随着我国“嫦娥二号”的发射

5、和回收成功。标志着我国的航天技术已达到世界先进水平。如图所示，质量为m的“嫦娥二号”绕地球在圆轨道上运行时，半径为r1，要进入半径为r2的更高的圆轨道，必须先加速进入一个椭圆轨道，然后再进入圆轨道。已知飞船在圆轨道上运动速度大小为v，在A点通过发动机向后以速度大小为u（对地）喷出一定质量气体，使飞船速度增加v到进入椭圆轨道。（已知量为：m、r1、r2、v、u、v）求：飞船在轨道I上的速度和加速度大小.发动机喷出气体的质量.,【解析】设地球的质量为M,解得：,同理在轨道II上:,由此得：,在轨道I上向心加速度为 a1,则有：,同理在轨道II上向心加速度：,则有,解得：,解得:,（1）在轨道I上，

6、有:,【例3】2003年10月15日9时整，我国“神舟”五号载人飞船发射成功，飞船绕地球14圈后，于10月16日6时23分安全返回。若把“神舟”五号载人飞船的绕地运行看作是在同一轨道上的匀速圆周运动，已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g。.设“神舟”五号载人飞船绕地球运行的周期为T,用R、g、T能求出哪些与“神舟”五号载人飞船有关的物理量？分别写出计算这些物理量的表达式.,【解析】对飞船,万有引力作为圆周运动的向心力：,在地球表面,可求得“神舟”五号轨道半径,或轨道周长,此外还可求得“神舟”五号载人飞船的运行频率：,“神舟”五号载人飞船的运行角速度:,“神舟”五号载人飞船的运行线速度：,“

7、神舟”五号载人飞船的运行向心加速度（加速度、轨道处重力加速度）,“神舟”五号载人飞船的离地面高度:,点评 此题属于开放性题目，许多学生根据题目中所给的条件，却不知到需要求出那些物理量，从而无从下手.,【例4】我国将要发射一颗绕月运行的探月卫星,设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面.已知月球质量约为地球质量的1/81，月球的半径约为地球半约的1/4，地球上的第一宇宙速度约为7.9km/s,则该探月卫星绕月运行的速度约为(),【解析】设地球质量、半径分别为M、R，月球质量、半径分别为m、r，,则,在星体表面，物体的重力近似等于万有引力，若物体质量为 m0，,则,在月球表面(月球表面的重力加速度为

8、g)，满足,由此可得,地球表面的第一宇宙速度,在月球表面，有,答案D正确。,地球同步卫星是位于赤道上方，相对于地面静止不动的一种人造卫星，主要用于全球通信和转播电视信号，同步卫星在赤道上空一定高度环绕地球运动也属于“中心天体环绕天体”模型，同步卫星具有四个一定:,定轨道平面:轨道平面与赤道平面共面.,定运行周期:与地球的自转周期相同，即 T=24h,定运行高度:由,得同步卫星离地面的高度为：,定运行速率：,一颗同步卫星可以覆盖地球大约40%的面积，若在此轨道上均匀分布3颗通信卫星，即可实现全球通信(两极有部分盲区)，为了卫星之间不相互干扰，相邻两颗卫星对地心的张角不能小于30，这样地球的同步轨

9、道上至多能有120颗通信卫星，可见，空间位置也是一种资源.,三、“同步卫星”模型,【例5】某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天(太阳光直射赤道)在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星?已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g,地球自转周期为T,不考虑大气对光的折射.,【解析】设所求的时间为t,用M、m分别表示地球和卫星的质量,表示卫星到地心的距离r，有,春分时，太阳光直射地球赤道，如图所示，图中圆E表示赤道,S表示卫星，A表示观察者，O表示地心,由图可看出当卫星S绕地心O转到图示位置以后(设地球自转是沿图中逆时针方向)

10、，其正下方的观察者将看不见它,据此再考虑到对称性，有：,由以上各式可解得:,【例6】地球上空有人造地球同步通讯卫星，它们向地球发射微波。但无论同步卫星数目增到多少个，地球表面上两极附近总有一部分面积不能直接收到它们发射来的微波，设想再发射一颗极地卫星，将这些面积覆盖起来，问这颗极地卫星绕地球运动的周期至少有多大？已知地球半径为R0，地球表面的重力加速度为g，地球自转周期为T.,【解析】因为同步卫星总是在赤道的上空，其高度也是一定的。由它画一条到地球表面的切线，如图所示，可见两极周围的区域内就收不到微波通讯，以m、M分别表示同步卫星和地球的质量，r表示同步卫星到地心的距离，T表示地球的自转周期，

11、则有,由图可知：,对于极地卫星，轨道半径为，周期为,有,由以上各式联立解得：,两天体(行星、卫星或探测器)相遇，实际上是指两天体相距最近，若两环绕天体的运转轨道在同一平面内，则两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的同侧时相距近，两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的异侧时则相距最远.,设卫星1(离地球近些)与卫星2某时刻相距最近，如果经过时间t两卫星与地心连线半径转过的角度相差2的整数倍，则两卫星又相距最近，即：,如果经过时间，两卫星与地心连线半径转过的角度相差2的奇数倍，则两卫星相距最远，即：,四、“天体相遇”模型,【例7】如图所示，A是地球的同步卫星,另一卫星B的圆

12、形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h,己知地球半径为R，地球自转角速度为0,地球表面的重力加速度为g,O为地球中心.(1)求卫星B的运行周期.(2)如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近(O、A、B在同一直线上)，则至少经过多长时间，他们再一次相距最近?,【解析】（1）由万有引力定律和向心力公式得：,由式得：,【例8】（2010年上海卷）如图所示，三个质点a、b、c质量分别为m1、m2、M（）.在c的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径之比r a：rb=1：4,则它们的周期之比=_;从图示位置开始，在b运动一周的过程中，a、b、c共

13、线了_次。,【解析】根据,得,所以,在b运动一周的过程中，a运动8周，所以a、b、c共线了8次。,【例9】科学家在地球轨道外侧发现了一颗绕太阳运行的小行星，经过观测该小行星每隔时间t与地球相遇一次，已知地球绕太阳公转半径是R,周期是T，设地球和小行星都是圆轨道，求小行星与地球的最近距离.,【解析】如图所示，设小行星绕太阳周期为T，TT,地球和小行星每隔时间t相遇一次，则有：,设小行星绕太阳轨道半径为R,万有引力提供向心力有:,同理对于地球绕太阳运动也有:,由上面两式有:,解得：,所以当地球和小行星最近时的距离为：,【例10】火星和地球绕太阳的运动可以近似看作为同一平面内同方向的匀速圆周运动，已

14、知火星的轨道半径，地球的轨道半经，从如图所示的火星与地球相距最近的时刻开始计时，估算火星再次与地球相距最近需多少地球年？（保留两位有效数字）,【解析】设行星质量m，太阳质量为M，行星与太阳的距离为r，根据万有引力定律可知行星受太阳的万有引力为：,行星绕太阳做近似匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有,以上式子联立有,故,地球的周期 年,所以,火星的周期,设经时间t两星又一次距离最近，根据,则两星转过的角度之差,所以,在地球表面，分析计算表明:物体在赤道上所受的向心力最大，也才是地球引力的0.34%，故通常情形可忽略地球的自转效应，近似地认为质量为m的物体重力等于所受的地球引力，即,所以，地表附近的重

15、力加速度为,利用这一思路，我们可推出“黄金代换式”,若物体在距地面h高处，则有,所以，在距地面高处的重力加速度为,五、“地球自转忽略”模型,【例11】“神舟”六号飞船发射升空时，火箭内测试仪平台上放一个压力传感器，传感器上面压着一个质量为m的物体，火箭点火后从地面向上加速升空，当升到某一高度时，加速度为g/2，压力传感器此时显示出物体对平台的压力为点火前压力的17/16，已知地球的半径为R,地面附近的重力加速度为g，试求此时火箭离地面的高度.,【解析】设此时火箭升空高度为h，此处重力加速度为g，对火箭内测试仪平台上的小物体，应用牛顿第二定律，有,根据万有引力定律，有,所以有,将 代入上式解得,

16、“星体自转不解体”模型指星球表面上的物体随星球自转而绕自转轴(某点)做匀速圆周运动，其特点为:,六、“星体自转不解体”模型,具有与星球自转相同的角速度和周期.,万有引力除提供物体做匀速圆周运动所需的向心力外，还要产生重力.因此，它既不同于星球表面附近的卫星环绕星球做匀速圆周运动(二者轨道半径虽然相同，但周期不同)，也不同于同步卫星的运转(二者周期虽相同，但轨道半径不同),这三种情况又极易混淆，同学们应弄清.,【例12】中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为，问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。

17、(引力常数),【解析】设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解.,设中子星的密度为，质量为M，半径为R，自转角速度为，由题意因该星体自转而不瓦解，则位于赤道处的小物块质量对地面的压力刚好为零，星体对物体的万有引力提供向心力，则有：,由以上各式得:,解得：,【例13】（2010年北京理综）一物体静置于平均密度为的球形天体表面的赤道上，已知引力常量为G,若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为（）,【解析】以赤道上的物体为研究对象，由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，根据万有引力定律和牛顿第二定律有：,所以选D.

18、,解得：,对于双星问题要注意:两星球所需的向心力由两星球间万有引力提供，两星球圆周运动向心力大小相等。,七、“双星”模型,两星球绕两星球间连线上的某点(转动中心)做圆周运动的角速度或周期T的大小相等。,两星球绕转的半径r1、r2的和等于两星球间的距离L，即.,【例14】（2010年全国）（注意：在试卷题上作答无效）如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。（1）求两星球做圆周运动的周期：（2）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球

19、A和B，月球绕其轨道中心运行的周期为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2。已知地球和月球的质量分别为5.981024kg和7.351022kg。求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数）,【解析】（1）设两个星球A和B做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R,相互作用的引力大小为f，运行周期为T,根据万有引力定律有：,（2）在地月系统中，由于地月系统旋转所围绕的中心O不在地心，月球做圆周运动的周期可由式得出：,式中，和 分别表示地球和月球的质量，是地心与月心之间的距离。若认为月球在地球引力的作用下绕地心做匀速圆周运动，则,【例15】宇宙中存在一

20、些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行，如图所示.另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行,如图所示.设每个星体的质量均为m，(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期;(2)假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少?,【解析】(1)第一种形式下，如图所示，以某个运动的星体为研究对象，根据万有引力定律和牛顿第二定律，,则求得星体运动的线速度,(2)第二种形式

21、下，设星体之间的距离为r,如图所示，,由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其他两个星体的万有引力的合力提供，由力的合成和牛顿第二定律，有：,解得：,则三个星体做圆周运动的半径为,【例16】两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量.,【解析】设两星质量分别为M1和M2，都绕连线上点O作周期为T的圆周运动，星球1和星球2到O的距离分别为l1和l2,由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可知。,对M1：,解得：,对M2,解得：,两式相加得两星的总质量：,【例17】现根据对某一双星系统的光学测量确定，该

22、双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动。万有引力常量为G.求：（1）试计算该双星系统的运动周期T.（2）若实验上观测到运动周期为Tn，且，为了解释两者的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的物质暗物质，作为一种简化的模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，而不考虑其他暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度.,解得：,(2）设暗物的密度为，质量为m，则有：,由得：,又,代入上式解得：,解答这一模型的有关问题，可根据圆周运动的向心力供求平衡关系进行分析求解:,若，供求平

23、衡-物体做匀速圆周运动.,八、“卫星变轨”模型,若，供不应求-物体做离心运动.,若，供过于求-物体做向心运动.,【例18】（2010年江苏卷）2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道进入椭圆轨道，B为轨道上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有（）A、在轨道上经过A的速度小于经过B的速度 B、在轨道上经过A的动能小于在轨道上经过A的动能 C、在轨道上运动的周期小于在轨道上运动的周期 D、在轨道上经过A的加速度小于在轨道上经过A的加速度,【解析】航天飞机在轨道上从远地点A向近地点B运动的过程中，万有引力做正功，所以A点的速度小于B点的速度，A

24、正确；航天飞机在A点减速后才能做向心运动，从圆轨道进入椭圆轨道，所以轨道上经过A点的动能小于在轨道上经过A的动能，B正确；根据开普勒第三定律R3/T2=k，因为轨道的半长轴小于轨道的半径，所以航天飞机在轨道上运动的周期小于在轨道上运动的周期，C正确；根据牛顿第二定律F=ma，因为航天飞机轨道和轨道上A点的万有引力相等，所以航天飞机在轨道上经过A的加速度等于在轨道上经过A的加速度，D错误。,综上所述选项A、B、C均正确。,【例19】2006年2月10日，面向社会征集的月球探测工程标志最终确定,上海设计师作品“月亮之上”最终当选，我国的探月计划分为“绕”“落”“回”三阶段.第一阶段“绕”的任务由我

25、国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”来承担，发射后，“嫦娥一号”探测卫星将用8天至9天的时间完成调相轨道段、地一月转移轨道段和环月轨道段的飞行，其中，假设地一月转移轨道阶段可以简化为:绕地球做匀速圆周运动的卫星，在适当的位置点火加 速，进入近地点在地球表面附近、远地点在月球表面附近的椭圆轨道运行，如图所示，若要此时的“嫦娥一号”进入环月轨道，则必须()A.在近地点P启动火箭向运动的反方向喷气；B.在近月点(远地点)Q启动火箭向运动的反方向喷气；C.在近月点(远地点)Q启动火箭向运动方向喷气；D.在近地点P启动火箭向运动方向喷气；,【解析】要使月球探测卫星在地球椭圆轨道上变轨绕月球运行，则必须在近月

26、点Q处点火减速，即启动火箭向运动的方向喷气使探测器减速，使月球对探测卫星的引力大于做圆周运动所斋的向心力而做向心的变轨运动，正确答案为选项C.,【例20】如图10所示，发射同步卫星的一种程序是：先让卫星进入一近地圆轨道，然后在点P点火加速，进入椭圆转移轨道(该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P点，远地点为同步圆轨道上的Q点)，到达远地点Q时再次自动点火加速，进入同步轨道.设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1，在P点短时间加速后的速率为v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，在Q点短时间加速后进入同步轨道后的速率为v4 试比较v1、v2、v3、v4的大小和对应的加速度a1、a2、a3、a4

27、 的大小，并用小于号将它们排列起来,【解析】根据题意，在P、Q两点点火加速过程中卫星速度将增大，所以有v1v2、v3v4，而v1、v4是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的线速度，它们对应的轨道半径r1r4，所以v4v1把以上不等式连接起来，可得到结论 此外，卫星沿椭圆轨道由PQ运行时，由于只有重力做负功，卫星机械能守恒，其重力势能逐渐增大动能逐渐减小，因此也有,卫星在点P时，无论是在近地圆轨道还是在椭圆轨道上，受到的万有引力大小相等，则产生的加速度也相等，即，同理有 又因卫星质量不变，卫星在点P比在点Q受到的万有引力大，故有：,说明：可能你会问，既然，据，应有，为什么会有的 结论呢?这是因为在

28、中实际上r2应为曲率半径，而椭圆轨道上的P点曲率半径r2大于r1，不等于r1.,航天器对接是指两个航天器(宇宙飞船、航天飞机、空间站等)在太空轨道会合并连接成一个整体，它是实现太空装配、补给、维修、航天员交换等过程的先决条件，空间交会对接技术包括两部分相互衔接的空间操作，即空间交会和空间对接，所谓交会是指两个航天器在轨道上按预定位置和时间相会，而对接则是两个航天器相会后在结构上连成一个整体.解答两个航天器的交会对接问题，其实质仍然是航天器的变轨运行问题，即根据圆周运动的向心力“供”和“求”关系进行分析.,【解析】m2不能像在地面上行驶的汽车一样加大速度去追赶m1，而应先通过反向制动火箭把速度变

29、小，这样万有引力就大于m2做匀速圆周运动所需要的向心力，从而轨道半径变小，在较低轨道上匀速圆周运动，由于在较低轨道上的运行m2速率要大些，大于m1的运行速率，就会慢慢赶上前上方的m1，再在恰当位置m2通过助推火箭把速度变大，这时万有引力又小于所需要的向心力，m2将做离心运动，轨道半径将变大到与m1相同，这时m2就追上了m1。,【例21】如图所示，m1、m2两颗一前一后在同一轨道上绕地球做匀速圆周运动的卫星，试述用何种方法可使卫星m2追上前面的卫星m1?,九、“航天器对接”模型,十、“黑洞”模型,【例22】物体沿质量为M、半径R为星球的表面做匀速圆周运动所需的速度v1叫做该星球第一宇宙速度；只要

30、物体在该星球表面具有足够大的速度v2，就可以脱离该星球的万有引力而飞离星球（即到达到距星球无穷远处），这个速度叫做该星球第二宇宙速度。理论上可以证明；一旦该星球第二宇宙速度的大小超过了光速，则该星球上的任何物体（包括光子）都无法摆脱该星球的引力，于是它就将与外界断绝了一切物质和信息的交流。从宇宙的其他部分看来，它就像是消失了一样，这就是所谓的“黑洞”.试分析一颗质量为 的恒星，当它的半径坍塌为多大时就会成为一个“黑洞”？（计算时取引力常量，结果保留一位有效数字）,【解析】设物体的质量为m，恒星对物体的万有引力提供向心力则有：,又知,令,由以上三式得：,【例23】(2009年天津卷)2008年1

31、2月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A”的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现，有一星体S2绕人马座A做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50102天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座A就处在该椭圆的一个焦点上。观测得到S2星的运行周期为15.2年。（1）若将S2星的运行轨道视为半径 r=9.50102 天文单位的圆轨道，试估算人马座A的质量MA是太阳质量MS的多少倍(结果保留一位有效数字)；（2）黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚。由于引力的作用，黑洞表面处质量为m的粒子具有势能为(设粒子在离黑

32、洞无限远处的势能为零)，式中M、R分别表示黑洞的质量和半径。已知引力常量，光速，太阳质量，太阳半径，不考虑相对论效应，利用上问结果，在经典力学范围内求人马座A的半径RA与太阳半径RS之比应小于多少（结果按四舍五入保留整数）。,【解析】（1）S2星绕人马座A做圆周运动的向心力由人马座A对S2星的万有引力提供，设S2星的质量为，角速度为，周期为T，则,设地球质量为mE，公转轨道半径为rE，周期为TE，则,（2）引力对粒子作用不到的地方即为无限远，此时粒子的势能为零。“处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚”，说明了黑洞表面处以光速运动的粒子在远离黑洞的过程中克

33、服引力做功，粒子在到达无限远之前，其动能便减小为零，此时势能仍为负值，则其能量总和小于零，则有,代入数据可得,由题意可知，可得,代入数据得,所以,十一、“能量守恒”模型,在发射人造卫星(或探测器、太空飞船)过程中，火箭要克服地球引力做功，所以将卫星发射到越高的轨道，在地面上所需的发射动能(速度)就越大，利用功能关系或能量守恒可计算出发射人造卫星而运转于某圆轨道所需要的能量.,【例24】设想宇航员完成了对月球表面的科学考察任务后，由月球表面乘坐返回舱返回到围绕月球做圆周运动的轨道舱，如图所示，为了安全，返回舱与轨道舱对接时，必须具有相同的速度，己知返回舱返回轨道的过程中需克服月球的引力做功，返回

34、舱与人的总质量为m,月球表面的重力加速度为g，月球的半径为R，轨道舱到月球中心的距离为r,不计月球自转的影响，则宇航员乘坐的返回舱至少需要获得多少能量才能返回轨道舱?,返回舱与轨道对接时具有的动能为:,【解析】返回舱在月球表面上，有,设轨道舱质量为m0，速度大小为v，有,所以,故返回舱返回时至少需能量,联立解 式得：,【例25】地球质量为M，半径为R，自转角速度为，万有引力恒量为G，如果规定物体在离地球无穷远处势能为0，则质量为m的物体离地心距离为r时，具有的万有引力势能可表示为，国际空间站是迄今世界上最大的航天工程，它是在地球大气层上空绕地球飞行的一个巨大人造天体，可供宇航员在其上居住和科学

35、实验。设空间站离地面高度为h，如果杂该空间站上直接发射一颗质量为m的小卫星，使其能到达地球同步卫星轨道并能在轨道上正常运行，由该卫星在离开空间站时必须具有多大的动能？,卫星运动过程中机械能守恒，故离开航天飞机的卫星的机械能应为E2,设离开航天飞机时卫星的动能为Ekx，则,【解析】由 得卫星在空间站上动能为：,卫星在空间站上的引力势能为,机械能为：,同步卫星在轨道上正常运行时有,故其轨道半径,由上式可得同步卫星的机械能：,十二、“环绕天体绕中心天体的环绕次数”模型,【例26】无人飞船“神州二号”曾在离地高度为 的圆轨道上运行了47小时。求在这段时间内它绕行地球多少圈？（地球半径，重力加速度）,【

36、解析】r用表示飞船圆轨道半径,M表示地球质量，m表示飞船质量，表示飞船绕地球运行的角速度，G表示万有引力常数。,由万有引力定律和牛顿定律得:,利用 得：,由于，T表示周期,解得:,又,代入数值解得绕行圈数为:n=31,【例27】我国自制新型“长征”运载火箭，将模拟载人航天试验飞船“神舟三号”送入预定轨道，飞船绕地球遨游太空t=7天后又顺利返回地面.飞船在运动过程中进行了预定的空间科学实验，获得圆满成功.（1）设飞船轨道离地高度为h，地球半径为R，地面重力加速度为g.则“神舟三号”飞船绕地球正常运转多少圈?(用给定字母表示).（2）若h=6400km，R=6400km，则圈数为多少?,联立式得：,故,（2）代入数据得：n=105圈,谢谢使用,2013年10月1日,