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1、例1.变速直线运动的速度,物体作匀速直线运动时,有,这一速度其实是物体走完某一段路程的平均速度，平均速度记作V.,由于匀速运动物,体的速度是不变的，因此,41导数的概念,一、导数概念的引入,由于变速直线运动物体的速度 V(t)是变的，因此，用这个公式算出的平均速度V不能真实反映物体在时刻 t0 的瞬时速度 V(t0).如何求V(t0)?,设一物体作变速直线运动，在0,t这段时间内所走路程为 S=S(t).下求V(t0),如图,设物体在 t0 时，所走路程为 S(t0)，在 t0+t 时所走路程为 S(t0+t)，从而，物体在 t0,t0+t 这段时间内所走路程为,S=,S(t0+t)S(t0)
2、,物体在 t0,t0+t 这段时间内的平均速度为,t越小，近似值,就越接近精确值V(t0).,当t无限变小时，近似值,就会无限接近,也就是,精确值V(t0).,例2.曲线的切线斜率,圆的切线可定义为“与曲线(圆)只有一个交点的直线”，但对一般曲线而言.这一定义是不合适的.如y=x2,x 轴和 y 轴与曲线都只有一个交点，以哪条直线作为切线呢？如图,又如，y=x3,如图,又比如，y=sinx,如图,切线的一般定义：如图,设有曲线C及C上一点M，在M点外任取C上一点N，作割线MN，当点N沿曲线C趋向点M时，如果割线MN趋向于它的极限位置MT，则称直线MT为曲线C在点M处的切线.,T,M,N,C,N
3、,下面讨论曲线C：y=f(x),在点M(x0,y0)处的切线斜率问题.,设N的坐标为(x0+x,y0+y),割线MN的倾角为,切线MT的倾角为.,如图,T,y=f(x),M,x,x0,x0+x,N,C,y0+y,y0,P,割线 MN 的斜率,当x0 时,N 沿 C 趋于M,MN MT.,从而.因此,tgtg.,P,所以切线MT的斜率：,P,定义：设 y=f(x)在x0 的某邻域U(x0)内有定义.如果当x0时，,的极限存在,则称这个极限值为f(x)在x0处的导数，记作f(x0),即,二、导数的定义,存在，则称,f(x)在x0可导(或称f(x)在 x0 的导数存在).否则，称f(x)在x0不可导
4、(或称 f(x)在 x0的导数不存在).特别,注1.若,若记x=x0+x,当x0时,x x0,特别，取x0=0,且若 f(0)=0,有,注2.导数定义还有其他等价形式,注3.对于例1,有,对于例2,曲线y=f(x)在点 M(x0,f(x0)处切线斜率,注4.由于,称为,f(x)在x0的右导数.,称为,f(x)在x0的左导数.,有,f(x)在x0可导 f(x)在x0的左,右导数存在且相等.,注5.若 y=f(x)在(a,b)内每点可导，则称 f(x)在(a,b)内可导.,此时，x(a,b)都有唯一确定的值f(x)与之对应，所以导数是x的函数.,称为y=f(x)的导函数,按定义，,f(x)就是x所
5、对应的导数值，这个式子就是导函数的表达式.,而f(x0)就是f(x)在x=x0处的函数值，即,另外，求,注6.,用定义求导数一般可分三步进行.,设y=f(x)在点x处可导,(1)求y=f(x+x)f(x),(2)求比值,(3)求极限,三、求导举例,例3.求 y=C(常数)的导数.,解：(1)y=f(x+x)f(x)=C C=0,(2),(3),故(C)=0,即常数的导数为0.,例4.设 y=f(x)=xn.n为正整数，求f(x).,解：(1)y=f(x+x)f(x),=(x+x)n xn,(2),(3),即(xn)=nx n1,比如，(x)=1,(x2)=2x,(x3)=3x2,一般，对幂函数
6、y=x,为实数,有(x)=x1,比如,例5.求y=sinx的导数.,解：(1)y=sin(x+x)sinx,(2),(3),即(sinx)=cosx,类似(cosx)=sinx,例6.求y=ax的导数，其中a0,a1.,解：,从而,即(ax)=axlna,特别，取a=e,则(ex)=ex,例7.求y=logax 的导数，其中a0,a1,x0,并求y|x=1.,解：,即,特别，取a=e,则,从而,由例2知,函数y=f(x)在x0处的导数 f(x0)就是曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0)处切线的斜率，即 k=f(x0).,法线方程为,一般,若f(x0)存在,则y=f(x)在点M(x0,f(x
7、0)处切线方程为,四、导数的几何意义,特别，(i)当f(x0)=0时，即k=0.,从而切线平行于,x轴.因此，法线垂直于x轴.,如图,切线方程：y=f(x0).,法线方程：x=x0.,(2)当f(x0)=(不存在).即k=tg=.故,从而切线垂直于x轴，而法线平行于x轴.,切线方程：x=x0.,法线方程：y=f(x0).,如图,单位圆在(1,0)处切线方程:x=1.,法线方程:y=0.,又如图,由于在原点(0,0)处,x,y,0,(不存在),从而切线方程:x=0,法线方程:y=0.,例8.求过点(2,0)且与曲线y=ex相切的直线方程.,解：由于点(2,0)不在曲线y=ex上，故不能直接用公式
8、 y f(x0)=f(x0)(x x0).,由于(ex)=ex,因切线过点(2,0),代入,得,得x0=3.,所求切线为y e3=e3(x3),定理.若y=f(x)在 x0可导，则y=f(x)在 x0必连续.,证：因f(x)在 x0可导，即,五、可导与连续的关系,由极限与无穷小量的关系，有,或,故,定理的逆命题不成立，即,若y=f(x)在x0连续，y=f(x)在x0不一定可导.,例.讨论f(x)=|x|在 x=0 处的可导性和连续性.,解：由于,故|x|在x=0连续.,但|x|在x=0不可导.因f(x)=|x|=,x,x0,x,x0,=1,=1,由于左、右导数不相等,故|x|在x=0不可导.,
9、如图,一般,函数在尖点(角点)处不可导.,x,y,0,定理1.设函数u=u(x),v=v(x)在点x处可导，则,均在x处可导.,且,4 2求导法则,一、函数的和、差、积、商的求导法则,证：(1)记 y=u(x)v(x),从而,从而,(2)要证,记,故,因u、v可导,从而连续,故当x 0时,V0.,证略,定理中的(1)、(2)都可推广到有限多个的情形.,如，(u+v+w)=u+v+w,(uvw)=uvw+uvw+uvw,推论：若f(x)在x处可导，c为常数，则 cf(x)在 x 处可导，且,例1.求y=x2+5sinx的导数,解：,例2.求 y=ax cos x的导数,解：,例3.求,的导数,解
10、：,其中f(x)可导,f(x)0,例4.求y=tgx的导数,解：,故,类似,例5.求 y=secx 的导数,解：,即,类似,比较公式,我们知道.,？,这是因为sin2x是复合函数，不能直接用前面的公式求导数,定理2.若u=(x)在x处可导，而y=f(u)在对应点u=(x)处可导，则复函数y=f(x)在x处可导，且,证：记,二、复合函数的求导法则,由于y=f(u)在点u可导，从而,存在,故,从而当u=0时，有y=f(u+u)f(u)=0，上式右端也为0.,规定：当u=0时，=0，,总有,从而,x0时，u0(可导必连续)，而当u0时0.,公式也可写成,公式还可推广到多次复合的情形.,如 y=f(u
11、)，u=(v),v=g(x),则,例6.求y=sin2x的导数,解：y=sin2x是由y=sinu，u=2x复合而成,按公式,例7.求y=(3x2+1)100的导数,解：y=u100，而 u=3x2+1,由公式,例8.,解：,例9.,解：,的导数.,例10.求y=x，(x0,实数)的导数,解：y=e lnx,例11.求y=sinnxsinnx的导数，n为常数.,解：,定理3.若x=(y)在某区间Iy内严格单调,可导,(y)0,则它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导,且,证：由于x=(y)在Iy内严格单调、连续.从而它的反函数y=f(x)存在,并在Ix内有相同的单调性,同时,y=f(x)
12、在Ix内连续.,即,下证,三、反函数求导法则,xIx,给改变量x0,相应的函数y=f(x)有改变量,由于 x=(y)和 y=f(x)互为反函数，,即，,即x也就是函数x=(y)的改变量.,因y=f(x)连续，故当x0时，y0，且(y)0,例11.证明,证：y=arc sinx是x=siny的反函数.x=siny在,内单调，可导，且(siny)=cosy 0,所以在对应区间(1,1)内，有,例12.证明,证：y=arc tgx是x=tg y在,上的反函数,x=tg y在,内单调，可导，且,例13.设,解：,=,当 x 0且|x|a时,当x a 时,=,P106 P107,四、导数公式表,说明：公
13、式12,(1)当 x 0时，,(2)当 x 0时，,综合(1)、(2)有,公式17,因为,类似得公式18,例14.,解:,例15.设,sinx,x 0ex1,0 x ln32x2,ln3 x,求 f(x)的导数,并指出 f(x)的不可导点.,解:当 x 0时,f(x)=(sinx)=cosx.,当 0 x ln3时,f(x)=(ex1)=ex.,当 ln3 x时,f(x)=(2x2)=4x.,f(x)=,考虑分段点 x=0,ln3处的导数.,=1(当x 0时,f(x)=sinx),=1(当 0 x ln3时,f(x)=ex1),由于 f(0)=f+(0)=1,故 f(0)=1.,由于当 0 x
14、 ln3时,f(x)=ex1.当 ln3 x时,f(x)=2x2.故 f(ln3)=eln31=2.,从而,所以 f(x)=ln3 处不可导.,综合,f(x)=,cosx,x0,1,x=0,ex,0 x ln3,4x,ln3 x,不存在,x=ln3.,或由,知 f(x)在 x=ln3 处不连续,故必不可导.,例16.求常数 a,b的值,使,x2+2x+3,x 0ax+b,x 0,在(,+)内可导.,解:由于可导必连续,故要使 f(x)可导,必先使 f(x)连续.,由于 f(0)=3,故 a=2,b=3时,f(x)在(,+)可导.,得 b=3.,f(x)=,以前所接触到的函数通常是y=f(x)的
15、形式,即左边是y,而右边是一个不含y的表达式.,如,我们称为显函数,根据函数的概念，一个函数也可以不以显函数的形式出现.,五、隐函数求导法则,比如，给二元方程,y3+2x21=0,任给一个x，都可根据上面的方程，解出,唯一的一个y来即，任给一个x都有唯一的一,个y与之对应，因此,y是x的函数.,称y为由方程,y3+2x21=0所确定的隐函数.,定义：设有二元方程F(x,y)=0，如果对任意的 xIx,存在唯一的y满足方程F(x,y)=0,则称方程F(x,y)=0在Ix上确定了一个隐函数y=y(x).,有些隐函数很容易表成显函数的形式.,如，由y3+2x21=0，解得,把一个隐函数化为显函数的形
16、式，称为隐函数的显化.,有些隐函数不一定能显化或者很难显化.,如 yx siny=0(0 1),e y=xy,下面介绍不必显化，就能直接求出隐函数导数的方法.,例17.求e y+xy2e=0所确定的隐函数y=y(x)的导数y.,解：(1)方程两边同对x求导.,注意到y是x的函数,ey,y2都是x的复合函数.,e yy+y2+2xy y=0,(2)解出y.(ey+2xy)y=y2,故,例18.求由y5+2y x 3x7=0所定隐函数y=y(x)在 x=0的导数 y(0).,解:(1)两边同时对x求导,注意到y是x的函数.y5 是x的复合函数.,从而 5y4 y+2y 121x6=0,(2)解出y
17、,(3)注意到在原方程中,当x=0时,y=0.代入得,例19.,解:,(1)方程两边同对x求导,注意y是x的函数.,(2),(3)当x=2，,(4)切线方程,或,设参数方程,确定了平面上一条曲线，从而也就确定了y是x的函数(当是一一对应时),六、参数方程求导法则,设,x=(t),y=(t)可导,(t)0,则,事实上,因x=(t)单调,可导,且(t)0.从而存在反函数 t=1(x),可导,且有,另外,因t=1(x),故y=(t)=(1(x)是x的复合函数.,从而,例20.求由摆线的参数方程,所确定的函数y=y(x)的导数,解:,例21.求星形线,解:,故,有时常要求幂指函数或带连乘积的函数的导数
18、.,这时可两端取对数,再利用隐函数的求导思想和方法来求导,称为取对数求导法.,七、取对数求导法,例22.,解:求幂指函数的导数,通常可用对数求导法.,两边取对数,注意到 y 0,x 0,两边对x求导,注意到y是x的函数,从而lny是x的复合对数.,从而,解(二)：,由于对y=f(x)两端取对数时要求y 0.这限制了对数求导法的应用范围.应想办法去掉这种限制.,两边取绝对值,再取对数.,设y=f(x)g(x).其中f(x),g(x)均非0且在点x处可导。,(i)当y 0时,(ii)当y 0时,同理,当f(x),g(x)不等于0时,得,即,注意:对数求导法只能求使y0的x处的导数.若要求使y=0的x处的导数,则须另想办法.,例23.,解:可用对数求导法求导数.,两边对x求导,y是x的函数.,故,例20.,解:由于f(0)=0.不能用对数求导法.,
