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1、第十二章 极限与导数,函数的极限与连续性,第 讲,3,1.当自变量x取正值并且无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于 时，函数f(x)的极限是a，记作.2.当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于 时，函数f(x)的极限是a，记作.,正无穷大,负无穷大,3.如果 且，那么就说当x趋向于 时，函数f(x)的极限是a，记作.4.当自变量x无限趋近于常数x0(但不等于x0)时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x 时，函数f(x)的极限是a，记作.,无穷大,趋近于x0,5.如果当x从点x=x0左侧(即xx0)无限趋
2、近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a，就说a是函数f(x)在点x0处的，记作.6.如果当x从点x=x0右侧(即xx0)无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a，就说a是函数f(x)在点x0处的，记作.7.的充要条件是.,左极限,右极限,8.如果 那么=;=;=(b0).,ab,ab,9.如果函数y=f(x)在点x=x0处及其附近有定义，且，就说函数f(x)在点x0处连续.如果函数f(x)在某个区间内 都连续，就说函数f(x)在这个区间内连续.10.如果f(x)是闭区间a，b上的连续函数，那么f(x)在闭区间a，b上有.,最大值和最小值,每一点处,1.已知函数f(x)是偶函数,且则下列
3、结论一定正确的是()解：因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x).又 所以又f(x)=f(-x),所以,B,2.等于()解:因为所以,A,3.若 在点x=0处连续，则f(0)=.解:因为f(x)在点x=0处连续，所以,题型1 求函数的极限,1.求下列各极限：,解：(1)原式(2)原式,(3)因为所以所以 不存在.(4)原式,点评：若f(x)在x0处连续，则应有 故求f(x)在连续点x0处的极限时，只需求f(x0)即可；若f(x)在x0处不连续，可通过变形，消去因式x-x0，转化成可直接求f(x0)的式子.求分式型函数的极限，一般是先通分、约分，然后再求.若分式中含有根式的，注意分母有理化
4、、分子有理化在变形中的应用.,求下列极限:(1)解：(1)原式,(2)原式,题型2 求函数极限式中的参数值,2.已知 求a、b的值.解：因为 存在，所以x=-2是方程x2+ax+2=0的一个根，所以(-2)2-2a+2=0，解得a=3.所以,点评：根据分式型极限求解过程的逆向思维，当遇到求 型式子的极限时，一般是分子中含有分母为零值的那个因式，因此，按待定系数法或方程的思想进行求解.,则a+b=.解：所以有a=2，且4a+b=0，则b=-8，所以a+b=-6.,-6,3.设函数f(x)=，g(x)=试确定函数F(x)=f(x)+g(x)的连续区间.解：由题设，F(x)=,题型3 函数的连续性,
5、x(x0),0(x0),x+1(x1),x(x1)，,x+1(x0),2x+1(0 x1),2x(x1).,因为所以F(x)在x=0处连续.因为所以F(x)在点x=1处不连续，而F(x)在其余各点都连续.故F(x)的连续区间是(-，1)，(1，+).,点评：函数的连续性，一是可以根据图象来观察；二是根据函数在某点x0处连续的充要条件：来转化，得到相应的等式.,已知函数(1)试求f(x)的定义域，并画出f(x)的图象；(2)求 并指出 是否存在.解：(1)当|x|2时，当|x|2时，,当x=2时，当x=-2时，不存在，f(x)不存在.所以 f(x)=,-1(x2或x-2),0(x=2),1(-2
6、x2).,所以f(x)的定义域是x|xR且x-2.图象如下图.(2)因为所以 不存在.,1.函数f(x)在点x=x0处有极限，不要求f(x)在x=x0时有意义，即x0可以不在函数f(x)的定义域内.即使f(x)在x=x0处有定义，也不一定等于f(x0).若 存在，且 则2.遇到求 型，或 型或-型函数极限时，则应对函数表达式进行恒等变形，变形手段主要有：因式分解，通分与分解，分子或分母有理化等.,3.基本初等函数在其定义域内每一点都连续.如果函数f(x)在闭区间a，b内连续，且f(a)f(b)0，则必存在x0(a，b)，使得f(x0)=0.4.函数f(x)在点x0处连续，反映在函数的图象上是在
7、点x=x0处是不间断的，这是“连续”的直观理解.5.如果函数f(x)在点x0处不连续，则称x0是f(x)的间断点.如果函数f(x)在x0间断，则可能有下列三种情况：,(1)f(x)在点x0没有定义；(2)f(x)在点x0有定义，但是极限 不存在；(3)f(x)在点x0处有定义，且极限 存在，但是6.由连续函数的定义及函数极限的运算法则，我们可以得到连续函数的下列运算性质：,如果函数f(x)、g(x)在某一点x=x0处连续，那么函数f(x)g(x)，f(x)g(x)，在点x=x0处都连续.7.由连续函数的定义，我们可以得到计算函数极限的一种方法：如果函数f(x)在其定义区间内是连续的，点x0是定义区间内的一点，那么求xx0时函数f(x)的极限，只要求出f(x)在点x0处的函数值f(x0)就可以了，即,
