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1、第六章,刚体定轴转动,复 习,质点的角动量,力矩,角动量定理,角动量守恒定律,若,本章主要内容,1 刚体的运动2 刚体的角动量3 刚体受到的力矩4 刚体定轴转动定律5 刚体的动能定理6 刚体的角动量守恒定律,6.1 刚体的运动与描述,质点的运动只代表物体的平动，物体实际上是有形状、大小的，它可以平动、转动，甚至更复杂的运动。因此，对于机械运动的研究，只限于质点的情况是不够的。,刚体是一种特殊的质点系，无论在多大外力作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。即物体的形状、大小都不变的固体称为刚体（rigid body）。,刚体考虑了物体的形状和大小，但不考虑它的形变，刚体同质点一样，也是一个
2、理想化模型。,一、刚体的运动,固联在刚体上的任一条直线，在各个时刻的位置始终保持彼此平行的运动，叫做刚体的平动。,1.平动,刚才的动画演示了一个圆柱体的平动。在运动过程中，我们看到，刚体中所有质点的位移都是相同的。,而且在任何时刻，各个质点的速度和加速度也都相同。这时我们可以选取刚体上任一点的运动来代表刚体的运动。,2.转动,如果刚体上所有各点绕同一直线（转轴）作圆周运动，则称为刚体的转动。,转动时，轴外各点在同一时间间隔内走过的弧长虽然不一样，但角位移全同。,固定转轴：转轴不随时间变化 刚体定轴转动瞬时转轴：转轴随时间变化 一般转动,3.刚体的一般运动,例如，一个车轮的滚动，可以分解为车轮随
3、着转轴的平动和整个车轮绕转轴的转动。,在研究刚体一般运动时，我们一般将它分解为质心的平动（应用质心运动定理）和刚体绕过质心轴的转动（应用转动定律）。,一个汽车轮子在地上的滚动,A、B、C、各点的运动都不相同,刚体的运动平动转动,平动：刚体上所有点运动状态都相同,转动：各质元均作圆周运动,二.刚体平动的描述,刚体的平动,可用质心运动来代表整体的运动,1。质心的位矢,设N个质点m1,m2,mN，对应的位矢,定义：,质心的位矢,质心 重心,2。质心运动定理,质心的速度：,质心的加速度：,设mi 受力,则：,对所有质点求和：,0,质心运动定理,即：质心运动如同一质点，只是将质量全部集中于该点，所受的力
4、是质点系受的所有外力。,注：质心上可能既无质量，又未受力。,2,角位置,角速度,角加速度,三.刚体（定轴）转动的角量描述,6.2 刚体的定轴转动定律,一.刚体定轴转动所受力矩,力矩,一般定义：,此处,即可是对某点也可是对某轴而言,当刚体作定轴转动时，力矩就可以用标量来表示。,习惯上,把定轴用z表示,力矩,表示为,1）在垂直oo 的平面内,2）不在垂直oo 的平面内,对刚体绕oo轴转动无贡献,计算力矩时只需考虑 的力矩,总可分解成两个分量：,5,合外力矩,1。一个质点的情况,法向力,对轴的矩为零,切向力,对轴的矩,二.刚体定轴转动定律,见右下平面图,（刚体类似于多质点系）,设某刚体绕固定轴Z轴转
5、动,Z,mi,取质量元mi，其到转轴的距离 ri,受力如图示，,根据牛顿定律：,各质元加速度不同，,但角加速度相同,用 ri乘以上式：,将所有质元相加：,fi,fj,0,ro,2。连续质量分布刚体的情况,定义,刚体对定轴（z 轴）的 转动惯量,则有,定轴转动定律,由,与牛顿定律比较：,或,J,m,m 反映质点的平动惯性,J 反映刚体的转动惯性,3。理解注意,是合外力矩,这条定律表明，刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比。,内力矩成对抵消，不能改变刚体的角动量，因而不能改变刚体的角速度。,这是角动量定理在刚体定轴转动情形下的特例,（1）,（2
6、）,（3）,质量连续分布,质量离散分布,对刚体定义,转动惯量,单质点,单位：kgm2,质量元,第 i 个质点的质量,到转轴的距离,到转轴的距离,三.转动惯量及计算,质量为线分布,质量为面分布,质量为体分布,、分别为质量的线密度、面密度和体密度。,只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体才能用积分计算出刚体的转动惯量。,如图套两个质点的细杆长l，杆绕空端转动，分析整个系统绕 o 点的转动惯量。将两质点换位再作计算。,解：,例题1：,由,结论：,J 与刚体的质量分布有关J 与转轴的位置有关,因为质量分布是对转轴而言的，上例也可看作质心离转轴越远转动惯量越大。,形状和转轴确定后，J 与刚体的质
7、量有关,讨论,影响转动惯量的因素,求长为L、质量为 m 的均匀细棒对端点轴和中垂轴的转动惯量。,解：,例题2：,取如图坐标,取质量元,求质量为m、半径为R 的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。,解：,例题3：,取质量元,求质量为m、半径为R 均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。,解：,例题4：,这样的一个圆盘可以视为半径不等的有宽度的圆环拼接而成。,任取其中一环,利用前例环的转动惯量结果,内半径为 R1 外半径为 R2 质量为 m 的匀质中空圆柱绕其对称轴的转动惯量。,解：,例题5：,质量为m 半径为R 的匀质薄球壳绕过中心轴的转动惯量。,解：,例题6：,在球面取一圆环
8、带，,半径,质量为m 半径为R 的匀质球体绕过球心轴的转动惯量。,解：,例题7：,把球体看作无数个同心薄球壳的组合,如图所示，滑轮半径为r。（设绳与滑轮间无相对滑动）若m2与桌面间的摩擦系数为，求系统的加速度a 及张力 T1 与 T2；若桌面光滑，再求。,解：,例题8：,力和力矩分析、,方法1 按隔离法,建坐标,对质点用牛顿定律,对刚体用转动定律,限制性条件,解得：,若桌面光滑，摩擦力矩为零,解法2,由系统角动量定理,取 m1、m2、J 为系统,外力矩,系统的角动量,（任一时刻）（对滑轮转轴）,由角动量定理,由,解得：,再由牛顿定律可得张力。,这也是定轴转动定律(整体分析方法),一根均质细杆（
9、m、L），一端可在竖直平面内自由转动。杆最初静止在水平位置，由此下摆 角求角加速度和角速度。,解：,例题9：,下摆过程重力矩做功,以杆为对象,取质元,当杆处在下摆 角时，该质量元所受重力对 o 点的矩为,重力对整个棒的合力矩为：,代入转动定律，可得：,代入转动动能定理,匀质圆盘的质量为 m，半径为 R，在水平桌面上绕其中心旋转。设圆盘与桌面之间的摩擦系数为，求圆盘从以角速度 0 旋转到静止需要多少时间？,解：,例题10：,摩擦力矩导致减速,盘上任取微圆环,圆环上各质点所受摩擦力矩全同，取0的方向为正，圆环所受力矩为,整个圆盘所受的力矩为,根据转动定律，得,角加速度为常量，所以,当圆盘停止转动时=0，,得,
