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1、1.函数的定义域(1)函数的定义域是指.（2）求定义域的步骤是：写出使函数式有意义的不等式（组）；解不等式组；写出函数定义域.（注意用区间或集合的形式写出）（3）常见基本初等函数的定义域：分式函数中分母不等于零.偶尔根式函数、被开方式大于或等于0.,2.2 函数的定义域、值域,要点梳理,使函数有意义的自变量的取值范围,一次函数、二次函数的定义域为.y=ax,y=sinx,y=cosx,定义域均为.y=tanx,定义域为.函数f(x)=x0的定义域为.2.函数的值域(1)在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫,叫函数的值域.,R,R,xxR且x0,函数值,函数值的集合,（2）基本初等
2、函数的值域 y=kx+b(k0)的值域是.y=ax2+bx+c(a0)的值域是:当a0时,值域为；当a0且a1)的值域是.y=logax(a0且a1)的值域是.y=sinx,y=cosx的值域是.y=tanx的值域是.,R,yyR且y0,R,R,(0,+),-1,1,1.(2008全国理，1)函数 的定义域 为（）A.xx0 B.xx1 C.xx10 D.x0 x1 解析 要使函数有意义，需函数的定义域为xx10,基础自测,C,2.（2007北京理，2）函数f(x)=3x(0 x2)的反函数的定 义域为（）A.（0,+）B.（1，9 C.（0，1）D.9，+）解析 0 x2,13x9,f(x)
3、的值域为(1,9,f(x)的反函数的定义域为（1，9.3.若函数f(x)=loga(x+1)(a0且a1)的定义域和值域都是 0，1，则a等于（）A.B.C.D.2 解析 0 x1,1x+12,又0loga(x+1)1,故 a1,且loga2=1,a=2.,D,D,4.函数 的值域是（）A.B.C.D.解析,B,5.若函数y=x2-3x-4的定义域为0，m，值域为 则m的取值范围是（）A.B.C.D.解析 故由二次函数图象可知 解得,B,求下列函数的定义域（1）(2)(3)【思维启迪】对于分式要注意分子有意义，分母不为零；开偶次方根，被开方数大于等于零.解(1)由题意得 化简得,题型一 求函数
4、的定义域,故函数的定义域为xx0且x-1.,(2)由题意可得故函数的定义域为(3)要使函数有意义，必须有x1,故函数的定义域为1，+）探究拓展 求函数的定义域，实质上是解不等式（组）的过程，具体来说，求函数定义域的步骤为：列出使函数有意义的x适合的不等式（组）；解这个不等式（组）；把不等式（组）的解表示为集合或区间的形式作为函数的定义域.,设函数y=f(x)的定义域为0，1，求下列函数的定 义域.（1）y=f(3x)；(2)（3）（4）y=f(x+a)+f(x-a).【思维启迪】简单复合函数的定义域要用整体代换的思想 列出x满足的条件，再通过解不等式（组）解出x的范围.解（1）03x1,故 y
5、=f(3x)的定义域为,题型二 抽象函数的定义域,（2）仿（1）解得定义域为1，+）（3）由条件，y的定义域是 定义域的交集.列出不等式组故 的定义域为（4）由条件得 讨论：当 即 时，定义域为a,1-a;当 即 时，定义域为-a,1+a,综上所述：当 时，定义域为a,1-a;当 时，定义域为-a,1+a.探究拓展 对于抽象函数的定义域问题,要注意如下两点：（1）fg(x)的定义域为a,b指的是x的取值范围为a,b，而不是g(x)的范围为a,b，如：f(3x-1)的定义域为1，2，指的是f(3x-1)中的x的范围是1x2.(2)若f(x)=g(x)+h(x),则f(x)的定义域为g(x)的定义
6、域和 h(x)的定义域的交集.,求下列函数的值域：（1）（2）（3）【思维启迪】（1）是分式型可考虑分离常数，配方法或者 判别式法.（2）是无理函数型，可考虑换元法或者单调性 法.（3）可结合反函数求解.解（1）方法一（配方法）,题型三 求函数的值域,而方法二（判别式法）由y=1时，x，y1.又xR,必须=（1-y）2-4y(y-1)0.y1,函数的值域为（2）方法一（单调性法）定义域 函数y=x,均在,上递增，故 函数的值域为方法二（换元法）令 则t0，且（3）由 得，ex0,即 解得-1y1.函数的值域为y-1y1。,探究拓展（1）若函数为分式结构（如（1），且分母有未知数的平方，则常考虑
7、分离常数法，或采用判别式法.（2）若含有根式结构的函数（如（2），通常用换元法，若能确定其单调性可采用单调性法.通常用单调性法求值域，常见的有y=ax+b+(a、b、d、e均为常数，且ad0)的，看a与d是否同号，若同号用单调性求值域，若异号则用换元法求值域.,（12分）若函数 的定义域和值域均 为1,b(b1),求a、b的值.【思维启迪】求出f(x)在1,b上的值域，根据值域已 知的条件构建方程即可解.解 2分 其对称轴为x=1,即1，b为f(x)的单调递增区间.4分 6分 8分 由解得 12分,题型四 根据定义域、值域求参数的取值,探究拓展 本题主要考查一元二次函数的定义域和值域问题，主要
8、体现了配方法求函数的值域.由于含有字母，在分析时，要考虑字母的范围.基本初等函数的定义域主要从式子的存在性入手分析，经常考虑分母、被开方数、对数的真数等方面，几种常见函数的定义域和值域都有必然的联系.,方法与技巧1.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且 它是研究函数性质的基础.因此，我们一定要树立函数定义 域优先意识.求函数的定义域关键在于列全限制条件和准确求解方程或 不等式（组）；对于含有字母参数的函数定义域，应注意 对参数取值的讨论；对于实际问题的定义域一定要使实际 问题有意义.2.函数值域的几何意义是对应函数图象上点的纵坐标的变化 范围.利用函数几何意义，数形结合可求某些函
9、数的值域.,3.函数的值域与最值有密切关系，某些连续函数可借助函数 的最值求值域，利用配方法、判别式法、基本不等式求值域 时，一定注意等号是否成立，必要时注明“=”成立的条件.失误与防范1.求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特 别注意定义域对值域的制约作用.函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调 性在确定函数最值过程中的作用.特别要重视实际问题的最 值的求法.2.对于定义域、值域的应用问题，首先要用“定义域优先”的原 则，同时结合不等式的性质.,1.求下列函数的定义域：（1）（2）（3）（4）解(1)由 所以-3x2且x1.,故所求函数的定义域为（-3，1）(1,2
10、).(2)由 得函数的定义域为（3）由得借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为,(kZ),（4）由若k0，xR.若k0，则当 即a2时，函数的定义域为；当 即0k,若0k1,则函数的定义域为R;若k1，则x，即原式无意义.,2.若函数f(x)的定义域是0，1，则f(x+a)f(x-a)的定义域是（）A.B.a,1-a C.-a,1+a D.0,1 解析 f(x)的定义域为0，1，要使f(x+a)f(x-a)有意义，须 且,B,3.求下列函数的值域：（1）（2）解（1）（分离常数法）故函数的值域是（2）（换元法）1-x20,令x=sin,则有 故函数值域为,4.（2008广东重点中学联考）
11、已知函数f(x)=x2-4ax+2a=+6(xR)(1)求函数的值域为0，+）时的a的值；(2)若函数的值均为非负值,求函数f(a)=2-aa+3的值域.解（1）函数的值域为0，+），=16a2-4(2a+6)=0 2a2-a-3=0（2）对一切xR,函数值均非负，,f(a)=2-a(a+3)=-a2-3a+2二次函数f(a)在 上单调递减，f(a)的值域为,1.已知函数f(x)的定义域为（0，2,函数 的定义 域为（）A.-1，+）B.（-1，3 C.D.解析 由不等式解 得-1x3.2.B 3.D 4.B,B,5.设 g(x)是二次函数，若f(g(x)的值域 是0，+）,则g(x)的值域是
12、（）A.（-，-11，+）B.（-，-10，+）C.0，+）D.1，+）解析 f(x)的图象如图所示：因f(g(x)的值域为0，+），故g(x)的值域为0，+）.不可能为 A、B.因为g(x)为二次函数，不可能值域同时取到-和+.故选C.,C,6.B 7.3,+）8.若函数y=lg(4-a2x)的定义域为R,则实数a的取值范围为.解析 当xR时，4-a 2x0恒成立.a0,a0时，定义域为R.9.(1)(-3,0)（2，3）（2）,a0,10.（2007北京理，19）如图，有一块半椭圆形钢板，其 长半轴长为2r，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯 形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的 端点在椭圆上.记CD=2x,梯形面积为S.(1)求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；(2)求面积S的最大值.解（1）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系 O-xy（如图）,则点C的横坐标为x,点C的纵坐标y满足方程 解得 其定义域为x0 xr.,（2）记f(x)=4(x+r)2(r2-x2),00;当 时,f(x)0,所以 是f(x)的最大值.因此，当 时，S也取得最大值，最大值为即梯形面积S的最大值为11.（1）（2）12.（1）略(2)0，1（3）,返回,
