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1、1 向量的内积、长度及正交性,一、内积的定义及性质,定义:,n 维向量,的内积,内积的性质:,二、向量的长度及性质,定义:,n 维向量 x 的长度(或范数),长度的性质：,长度为1的向量叫单位向量;,任意一个非零向量 x,此外向量的内积满足Schwarz 不等式:,于是对非零向量 x,y,定义 x 与 y 的夹角,三、正交向量组的概念及求法,当 x,y=0时,称向量 x 与 y 正交;,特别地,零向量与任何向量都正交.,一组两两正交的非零向量构成的向量组称为正交向量组,定理:,正交向量组必线性无关,在实际应用中,常以正交向量组作为向量空间的基，叫做向量空间的正交基;,而由单位向量构成的正交基叫
2、做规范正交基(或标准正交基).,解：,四、规范正交基的求法,(1)先使用Schimidt正交化法正交化:,（2）再单位化，取,解:先正交化，,取,续解:,已正交化得,再单位化得规范正交向量组,五、正交矩阵与正交变换,定义:,若 n 阶方阵A 满足 AT A=E(即A1=AT),则称 A 为正交矩阵(简称为正交阵).,方阵A 为正交矩阵的充要条件是 A 的列（行）向量都是单位向量且两两正交,正交矩阵的性质:,设A,B 为 n 阶正交矩阵,则,(1)A1=AT 也为正交矩阵,且|A|=1 或1.,(2)AB 也为正交矩阵.,定义:,若 P 为正交阵,则线性变换 y=P x 称为正交变换.,正交变换的性质:,(1)正交变换可逆，且其逆变换也是正交变换.,(2)正交变换保持向量的内积及长度不变,例：判别矩阵 A=是否为正交阵？,解：,只需验证 AT A 是否等于 E？,由于,所以 A是正交矩阵.,证：,因为,所以 A+3E 是正交矩阵.,
