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1、5.2 向量的分解与向量的坐标运算,基础自测1.（2008辽宁文，5）已知四边形ABCD的顶点A（0，2）、B（-1，-2）、C（3，1）,且=2 则顶点D的坐标为（）A.B.C.(3,2)D.(1,3),A,补充、已知A（-1，-1），B（11，3）,P为AB上的一点且AP2PB，求P坐标,2.已知a=(4,2),b=(x,3),且ab，则x等于（）A.9B.6C.5D.3,B,3.已知两点A（4，1），B（7，-3），则与 同向 的单位向量是（）A.B.C.D.,A,C,4.（2008安徽理，3）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=（2，4），=（1，3），则 等于（）A.（-2
2、，-4）B.（-3，-5）C.（3，5）D.（2，4）,B,补充：已知点A（1,0）、B（0,2）、C（-1,-2），则以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为_,（0，-4）或（2，4）或（-2，0）.,5.已知向量a=（8,x），b=(x,1)，其中x0，若(a-2b)(2a+b)，则x的值为.,4,7、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(-1,3)，若点C满足其中,且，则点C的轨迹方程为（）,D,题型一 平面向量基本定理【例1】,题型分类 深度剖析,如图所示，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同两点M、N，若 则m+n的值
3、为.,2,练习：若O是内一点，则O是的（）A内心B外心C垂心D重心,题型二 向量的坐标运算【例2】,已知向量 与 的对应关系用 表示,(3)证明：对于任意向量 及常数m，n 恒有 成立.,(1)设 求向量 及 的坐标(2)求使（p，q为常数）的向量 的坐标。,题型三 平行向量的坐标运算【例3】,设两个向量,和,，其中,为实数,，则,的取值范围是（）,.(-6，1.-1，6,若,.-6,1.4,8,（07浙江高考）,方法与技巧1.坐标的引入使向量的运算完全代数化，成了数形结合的载体，也加强了向量与解析几何的联系.2.中点坐标公式：P1（x1,y1）,P2(x2,y2),则P1P2中点P的坐标为
4、在ABC中，若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则ABC的重心G的坐标为,思想方法 感悟提高,失误与防范1.要区分点的坐标与向量的坐标的区别，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量的坐标中同样有方向与大小的信息.2.在处理分点问题比如碰到条件“若P是线段AB的分点，且|PA|=2|PB|”时，P可能是AB的内分点，也可能是AB的外分点，即可能的结论有：或3.数学上的向量是自由向量，向量x=(a,b)经过平移后得到的向量的坐标仍是（a,b）.,一、选择题1.（2009湖北文，1）若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c=（）A.3a+bB.3a-b
5、 C.-a+3bD.a+3b 解析 设c=xa+yb,则(4,2)=x(1,1)+y(-1,1),4=x-y,x=3.2=x+y.y=-1.,定时检测,B,故c=3a-b.,2.若a=(2cos,1),b=(sin,1),且ab，则tan 等于（）A.2B.C.-2D.解析 ab，2cos 1=sin.tan=2.,A,3.已知向量a=(1,2),b=(0,1),设u=a+kb,v=2a-b，若 uv，则实数k的值为（）A.-1B.C.D.1 解析 u=（1，2）+k（0，1）=（1，2+k），v=（2，4）-（0，1）=（2，3），又uv，13=2（2+k），得k=.,B,4.（2009重庆
6、文，4）已知向量a=(1,1),b=(2,x).若a+b与4b-2a平行，则实数x的值是（）A.-2B.0C.1D.2 解析 a+b=(3,1+x),4b-2a=(6,4x-2),a+b与4b-2a平行，则4x-2=2(1+x),x=2.,D,5.已知向量=（1，-3），=（2，-1），=（m+1，m-2），若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件是（）A.m-2B.m C.m1D.m-1 解析 若点A、B、C不能构成三角形，则只能共线.(2，-1)-（1，-3）=(1，2)，（m+1，m-2）-（1，-3）=（m，m+1）.假设A、B、C三点共线，则1(m+1)-2m=0,即m=1.
7、若A、B、C三点能构成三角形，则m1.,C,6.已知O为原点，A、B是两定点，=a，=b，且点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则 等于（）A.a-bB.2（a-b）C.2（b-a）D.b-a 解析 设=a=（x1，y1），=b=（x2，y2），则A（x1，y1），B（x2，y2）.设P（x，y），则由中点坐标公式可得 Q（2x1-x,2y1-y）,R(2x2-2x1+x,2y2-2y1+y).(2x2-2x1,2y2-2y1)=2(x2,y2)-2(x1,y1),即=2（b-a）.,C,二、填空题7.（2009广东理，10）若平面向量a，b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴
8、，b=(2，-1),则a=.解析|a+b|=1,a+b平行于x轴，故a+b=(1,0)或（-1，0）,a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1)或a(-1,0)-（2，-1）=（-3，1）.8.已知向量a=(2x+1,4),b=(2-x,3)，若ab，则实数x的值等于.解析 由ab得3(2x+1)=4(2-x),解得x=.,(-1,1),或（-3，1）,9.已知向量集合M=a|a=（1，2）+（3，4），R,N=b|b=（-2，-2）+（4，5）,R，则MN=.解析 由(1,2)+1(3,4)=(-2,-2)+2(4,5),MN=(-2,-2).,(-2,-2),三、解答题10.已知A(1,-
9、2),B（2，1），C（3，2），D（-2，3），以，为一组基底来表示.解=(1，3)，=(2，4)，=(-3，5)，=（-4，2），=（-5，1），（-3，5）+（-4，2）+（-5，1）=（-12，8).,根据平面向量基本定理，必存在唯一实数对m,n使得（-12，8）=m（1，3）+n（2，4）.-12=m+2n,8=3m+4n,得m=32，n=-22.,11.已知A(-2，4),B（3，-1）,C（-3，-4）.设=a，=b，=c，且=3c，=-2b，（1）求：3a+b-3c；（2）求满足a=mb+nc的实数m,n.解 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)
10、3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),-6m+n=5 m=-1-3m+8n=-5,n=-1.,解得,12.在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知向量m=（a，b），向量n=（cos A，cos B），向量p=，若mn,p2=9,求证：ABC为等边三角形.证明 mn，acos B=bcos A.由正弦定理，得sin Acos B=sin Bcos A，即sin(A-B)=0.A、B为三角形的内角，-A-B.A=B.p2=9，8sin2+4sin2A=9.,41-cos（B+C）+4（1-cos2A）=9.4cos2A-4cos A+1=0，解得cos A=.又0A,A=.ABC为等边三角形.,返回,
