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1、9.6.2 向量的直角坐标运算 说 课 设 计,全日制普通高级中学教科书（人教版）数学第二册（下B）,宁波万里国际学校 陈剑飞,建立空间坐标系后，自然联想到平面向量的直角坐标运算能否推广到空间向量,而这并不难掌握.问题是推广的这些结论为什么成立?这是学生的疑点.我们可以从平面向量及空间向量坐标的表示,通过比较.从而得出平面向量与空间向量,只是表达方式不同,实质并没有变化.,一 教材分析.,知识结构框架图及分析,平面向量与平面直角坐标系,教学要求:掌握空间向量的坐标运算规律.利用坐标运算规律解决简单的立体几何问题.,重点：空间向量的直角坐标运算.,难点：空间向量的坐标运算在立体几何中的应用.,突
2、破难点的关键：是适当建立空间坐标系.正确表示出所需要的向量的坐标.,二、教学方法分析,教学方法步骤流程图诱导尝试归纳变式回授调节,诱导：1.在回顾平面向量直角坐标运算后提问：在建 立空间坐标系后，空间向量是否存在直角坐 标运算，它们是否成立？2.平面向量运算可以解决平面几何问题，空间 向量直角坐标运算是否可以解决立体几何问题.怎么解决?,尝试：1.空间向量的直角坐标运算的推广及部分证明.2.例3的教学.,归纳：分为三部分 1.空间向量坐标运算的建立,重在比较.2例1.注重公式的应用和变式.3例2，例3.注重基本步骤.,变式：公式的应用充分提供变式训练，包括三个 层次：1.直接应用.2.间接应用
3、.3.在空间图形中的应用.,回授调节：课内或课外随时根据学生的反馈进行教学的调节 或解答疑难.,题1.如图,在矩形OABC中,OA=,OC=2,D为BC的中点.求证:ACOD.,三、教学过程分析,1.创设问题情景提供联想的平台.提出问题,形成学生的“认知冲突”.,提出问题:题2.如图，在正方体AC1中,E、F分别是BB1、CD的中点,那么 D1FDE 成立吗?,本题用综合法解，学生会有困难.由题1会联想到用坐标向量法,只须判断 是否成立?但现在不能解决这个问题,所以建立空间向量坐标运算就显得很迫切.让学生在迫切要求之下学习.激发学生的求知欲望.,2.尝试指导 探究知识的尝试重要的是充分发挥学生
4、的学习的主动性,改变被动的学习状态.平面向量坐标运算，主要是指加减法、数乘向量、数量积、平行、垂直等.可让学生回顾.空间向量坐标运算形式如何?都成立吗?可让学生推广、证明.学生觉得有必要可以在师生间，学生间进行无组织交流.这种交流可以加深对知识的理解、方法的掌握.为了形成统一的认识,老师可对两种坐标运算的数量积进行对比讲授.,平面向量坐标运算 设a=（a1,a2）,b=（b1,b2）i2=j2=1,ij=0 ab=(a1,a2,)（b1,b2）=(a1i+a2j)（b1i+b2j）=a1b1i2+a2b2j2+a1b2ij+a2b1ij=a1b1+a2b2,空间向量坐标运算设a=（a1,a2,
5、a3）,b=（b1,b2,b3）i2=j2=k2=1,ij=ik=jk=0ab=(a1,a2,a3）（b1,b2,b3）=(a1i+a2j+a3k)（b1i+b2j+b3k）=a1b1i2+a2b2j2+a3b3k2+(a1b2+a2b1)ij+(a1b3+a3b1)ik+(a2b3+a3b2)jk=a1b1+a2b2+a3b3,3.归纳小结 归纳小结是形成知识结构的一个重要过程,可让学生在教材的空白处写出两种坐标运算及证明的对比表.并让部分学生进行语言表达.让学生有更多的机会参与学习,通过数学语言表达可以使知识更有条理,更系统.,4.变式训练 从公式到应用公式是从一般到特殊的过程.通过特殊化
6、，进一步理解公式的结构特点.根据认知规律，例1为简单模仿，它提供模仿的范例.变式练习为综合运算及公式的应用.三个练习应用了七个运算律,按由易到难,由简单到综合进行按排.逐步增加创造性因素,练习后及时反馈矫正.让学生形成正确的认知.,变式练习1.已知,向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值为()A 1,B,C,D.变式练习2.已知点A(1,2,5),B(-1,3,2).若向量 与=(4,m+n,m-n)平行,求m,n的值.,例.已知a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),求：a+b,a-2b,a(a+b),3(a b)2.,例题分析与变式练习,
7、例.如图,正方形ABCD的边长为2,PD平面AC,QA平面AC,且PD=2,QA=1.M为PQ的中点,R为BC的中点.那么在直线AB上是否存在一点N,使得MNPR.,例题分析示意图,N点坐标满足的条件,建立坐标系(假设N点存在),通过建立空间坐标系，把几何问题转化为代数运算，这种数形结合的方法学生并不陌生，在平面向量中就曾用到.在新的情境中用这个方法，是平面向量到空间向量的一个迁移，可以进一步培养学生的空间想象能力，几何数量化意识，从而充分体现向量的直角坐标运算引入的合理性.和它的强大功能，同时把例设计为开放题，留给学生更多的思考空间.,例.如图,在正方体A-C1中,E、F分别是BB1、CD的中点.求证：D1F平面ADE.,解题示意图,引导学生反思,加强知识间的联系.培养学生的发散思维.和识别空间图形的能力.,分析：有了例题2的基础，坐标法解决本题并不困难，可先让学生尝试，然后适度指导.,反思1.用综合法怎样证明.并比较两 种方法的优缺点.反思2.变式:题的条件不变,结论改为 求证:D1FDE.让学生体会两种证法,向量法是变得简单,综合法是加大了难度,因为辅助线AE很难想到.,思考题:如果把空间向量的直角坐标运算推广到四维,将会是什么结论?在现实生活中有没有四维的例子.培养学生类比推广意识.因为类比推广是数学发现的源泉.,
