功率谱密度和白噪声过程.ppt

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1、平稳随机过程的功率谱密度 白噪声随机过程,主讲人:张有光电 话:82314978办公室:新主楼F806,第六讲:,主要内容,一、平稳过程的功率谱密度二、谱密度与自相关函数三、平稳过程的互谱密度四、白噪声过程,一、平稳过程的功率谱密度,1、能量型信号2、信号的频谱3、信号的能谱4、功率型信号5、平均功率的谱表示和功率谱密度6、平稳过程的功率谱密度,1、能量型信号,能量型信号,其中,s(t)为信号,W为总能量。,2、信号的频谱,在的情况下,能量型信号s(t)的傅立叶变换存在,即,称F()为信号s(t)的频谱。,?,3、信号的能谱密度,能量型信号的能谱E()为,由巴塞伐尔等式,可得到,能量守恒!,4

2、、功率型信号,能量无限,平均功率有限的信号称为功率型信号。即,Ps为信号的平均功率。,5、平均功率的谱表示,功率型信号不满足绝对可积条件。为了能够利用傅立叶变换给出平均功率的谱表示式,构造截尾函数:,平均功率的谱表示,sT(t)能够满足绝对可积条件。sT(t)的频域结构,sT(t)的平均功率:,平均功率的谱表示,由巴塞伐尔等式,可得到,两边同除以2T,并由截尾函数的定义,得到,平均功率的谱表示,令T趋于无穷,功率型信号s(t)在(-,)上的平均功率可表示为,功率型信号的平均功率谱密度,功率谱密度,功率型信号的平均功率谱密度,简称功率谱密度,定义为:,6、平稳过程的功率谱密度,平稳随机过程的样本

3、函数是功率型的。,6、平稳过程的功率谱密度,由于平稳随机过程的均方值是常数,平稳过程的功率谱密度,定义,为平稳随机过程X(t)的功率谱密度。这样,Px又可以写成,平均功率谱的表达式,平稳过程的功率谱密度,为双边功率谱密度,但在实际应用中,负频率不存在,故引入 单边谱密度,二、谱密度与自相关函数,1、功率谱密度与自相关函数的关系维纳-辛钦公式2、功率谱密度两种定义的等价条件3、功率谱密度的性质,1、谱密度与自相关函数的关系,平稳随机过程的功率谱密度是它的自相关函数的傅立叶变换:,谱密度与自相关函数的关系,由傅立叶逆变换公式,有上述两式统称为 维纳-辛钦公式,返回,注释:对比“信号与系统”中维纳辛

4、钦公式,2、功率谱密度两种定义的等价条件,对于第一种定义,将其展开,功率谱密度两种定义的等价条件,通过变量置换,最后得到:,只要则上式中第二项为零,故此时,也就是说,平稳随机过程在自相关函数绝对可积的情况下,维纳-辛钦公式成立。此时功率谱密度的两种定义等价。,功率谱密度两种定义的等价条件,功率谱的意义,3、功率谱密度的性质,若过程X(t)是实平稳的,则自相关函数是实偶函数,因此功率谱密度也是实偶函数,即,证明:,功率谱密度的性质,由于R()和S()都是偶数,于是维纳-辛钦公式还可以写成:,例 2.4-1,设随机相位余波 的功率谱密度,其 是在区间 内均匀分布.解:,例 2.4-2,随机电报信号

5、自相关函数求功率谱密度,例 2.4-3,已知功率谱,应用留数定理,留数和,例 2.4-4,若平稳随机过程功率谱,三、互谱密度,1、互谱密度的定义2、互谱密度的维纳-辛钦公式形式定义3、互谱密度的性质,1、互谱密度的定义,定义:设随机过程X(t)和Y(t)是联合平稳的,则定义互谱密度为,2、互谱密度的维纳-辛钦公式,随机过程X(t)和Y(t)的互谱密度是它们的互相关函数RXY()的傅立叶变换:,2、互谱密度的维纳-辛钦公式,当若X(t)是一个二端电压、Y(t)是流经该器件的电流,则上式左边就是消耗的功率。,两个正交随机过程性质,随机过程X(t)和Y(t)正交,此时有:,3、互谱密度的性质,1),

6、2),3),奇函数偶函数,先证明:,令:,互谱密度函数不是实的、正的偶函数,从定义和施瓦茨不等式,四、白噪声过程,1、白噪声过程的定义2、白噪声过程的自相关函数3、白噪声的相关系数,1、白噪声过程的定义,若一个均值为零的平稳过程 具有恒定功率谱密度,则称W(t)为白噪声过程。其中N0表示单边功率谱密度。,相当于信号与系统中的冲击响应函数,2、白噪声过程的自相关函数,根据维纳-辛钦公式,白噪声过程的自相关函数:,2、白噪声过程的自相关函数,白噪声的自相关函数和功率谱密度,3、白噪声过程的相关系数,白噪声的相关系数:,可见白噪声在任意两个相邻时刻的取值都不相关。还句话说,白噪声随时间的起伏变化较快

7、,频域来说频谱很宽。,注释:白噪声平均功率,白噪声是一种理想化的数学模型,在物理上不可实现,因为按照白噪声的定义它的平均功率是无限大。,由于白噪声数学表述上的简洁性,是很多物理现象的一种近似。如电子管中的散弹噪声,通信传播中的信道干扰。显然白噪声是各态历经过程,它可以看成是大数定律中随机序列推广到连续时间的情形。,4、非白噪声,非白噪声成为有色噪声,或相关噪声,其功率谱密度:,其功率谱密度不再是均匀的,而是频率的函数。,5、矢量白噪声,定义:若一个n维独立矢量随机过程 均值矢量为,本节课小结,1、平稳过程的功率谱密度2、谱密度与自相关函数:维纳辛钦定理,计算功率谱的方法;3、平稳过程的互谱密度4、白噪声过程,习题,P83:27P84:28、29、30、31,

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