材料力学(赵振伟)第四章扭转.ppt

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1、1,第三章 扭转,第三章 扭 转,材料力学,2,第三章 扭转,3-1 概述,3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图,3-3 薄壁圆筒的扭转,3-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件,3-5 等直圆杆的扭转时的变形、刚度条件,3-6 等直圆杆扭转时的应变能,3-7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形,扭转变形小结,第三章 扭转,3,对称扳手拧紧镙帽,承受扭转变形的构件,3-1 扭转的概念和实例,4,汽车传动轴,3-1 扭转的概念和实例,5,m,m,m,m,3-1 扭转的概念和实例,6,受力特点:所受外力是一些力偶矩,作用在垂直于杆轴的平面内。变形特点:杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动。,3-1 扭转

2、的概念和实例,7,3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图,1分钟输入功：,1分钟m 作功：,单位,1、外力偶矩的计算,8,3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图,2、扭矩的概念,扭转变形的杆往往称之为扭转轴,扭转轴的内力偶矩称为扭矩,3、扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到,m,m,m,Mn,9,右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩为正，反之为负。,扭矩符号规定：,4 扭矩的符号规定右手螺旋法则,3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图,10,例题 已知圆轴受外力偶矩mA、mB、mC 作用而处于匀速转动平衡状态，试求1-1、2-2截面上的扭矩。,3-

3、2 外力偶矩、扭矩和扭矩图,11,用截面法求内力：,扭矩,3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图,12,截面2-2上的内力：,3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图,13,（+）,5 扭矩随圆轴横截面的位置变化的图线扭矩图,（-）,扭矩图,3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图,14,例题 图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经由B、C、D轮输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速n=300r/min，求作该轴的扭矩图。如将A、D轮的位置更换放置是否合理？,3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图,15,经由A、B、C、D轮传递的外力偶矩分别为,解：,3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图,16,绘出扭矩图：,3-2 外力偶矩、扭矩

4、和扭矩图,17,（-）,扭矩Mn-图,（+）,（在CA段和AD段）,3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图,单位：,18,将A、D轮的位置更换，则,扭矩Mn-图,（AD段）,因此将A、D轮的位置更换不合理。,3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图,单位：,19,课堂练习 图示圆轴中，各轮上的转矩分别为mA4kNm，mB10kNm,mC6kN m，试求11截面和22截面上的扭矩，并画扭矩图。,6KNm,4KNm,3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图,（+）,（-）,20,分析与讨论,从轴的扭转强度考虑，哪一种布置最合理？（单位：kNm）,3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图,21,1、实验：,一、薄壁圆筒横截面上的应力,3

5、-3 薄壁圆筒的扭转,22,2、变形规律：,圆周线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。,纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。,结论：,横截面上,可认为切应力沿壁厚均匀分布,且方向垂直于其半径方向。,根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；,3-3 薄壁圆筒的扭转,23,3、切应力的计算公式：,薄壁圆筒横截面上的切应力计算式,3-3 薄壁圆筒的扭转,24,二、关于切应力的若干重要性质,1、剪切虎克定律,3-3 薄壁圆筒的扭转,在剪应力的作用下，单元体的直角将发生微小的改变，这个改变量 称为剪应变。,25,在弹性范围内切应力与切应变成正比关系。,3-3 薄壁圆筒的扭转,

6、此即为剪切胡克定律（Hooke law in shearing），式中G为比例常数，称为剪切弹性模量或切变模量(shearing modulus)。,做薄壁圆筒的扭转试验可得,26,从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体,单元体,存在t,得,2、切应力互等定理,3-3 薄壁圆筒的扭转,27,切应力互等定理,单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为纯剪切应力状态。,在相互垂直的两个面上，切应力总是成对出现，并且大小相等，方向同时指向或同时背离两个面的交线。,3-3 薄壁圆筒的扭转,28,分析圆轴扭转剪应力的方法与分析杆件轴向拉压的正应力的方法，基本相同，就是：根据表面变形

7、作出平面假定；由平面假定得到应变分布，亦即得到变形协调方程；再由变形协调方程与应力应变关系得到应力分布，也就是含有待定常数的应力表达式；最后利用静力方程确定待定常数，从而得到计算应力的公式。,3-4 等值圆杆扭转时的应力强度条件,29,1 受扭圆轴横截面上的剪应力,应力分布,应力公式,变 形,应变分布,3-4 等值圆杆扭转时的应力强度条件,30,Me,Me,平面假定,变形几何,（1）变形协调方程,圆轴受扭发生变形后，其横截面依然保持平面，并且绕圆轴的轴线刚性地转过一角度。所谓“刚性地转过一角度”，就是横截面上的直径在横截面转动之后依然保持为一直线。,3-4 等值圆杆扭转时的应力强度条件,31,

8、设到轴线任意远处的剪应变为（），则从图中可得到如下几何关系：,3-4 等值圆杆扭转时的应力强度条件,32,称为单位长度相对扭转角,对于同一截面，,上式表明：圆轴扭转时，其横截面上任意点处的剪应变与该点至截面中心之间的距离成正比。上式即为圆轴扭转时的变形协调方程。,3-4 等值圆杆扭转时的应力强度条件,33,横截面上各点的剪应力与点到横截面中心的距离成正比，即剪应力沿横截面的半径呈线性分布。,3-4 等值圆杆扭转时的应力强度条件,(2)物理方程,34,静力学方程,35,(3)静力学方程,作用在横截面上的剪应力形成一分布力系，这一力系向截面中心简化结果为一力偶，其力偶矩即为该截面上的扭矩。,3-4

9、 等值圆杆扭转时的应力强度条件,36,IP就是圆截面对其中心的极惯性矩。式中的GIP称为圆轴的扭转刚度（torsional rigidity）。,3-4 等值圆杆扭转时的应力强度条件,37,圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式,这就是圆轴扭转时横截面上任意点的剪应力表达式，其中Mx由平衡条件确定；IP由积分求得。,3-4 等值圆杆扭转时的应力强度条件,38,扭转截面系数,受扭圆轴横截面上的剪应力计算公式:,39,实心圆截面,40,空心圆截面,41,2 受扭圆轴任意斜截面上的应力分析,铸铁,低碳钢,铸铁试件受扭为什么沿45螺旋面断开？,低碳钢试件受扭为什么沿横截面断开？,42,A,A,e,f,e,f

10、,43,讨论:,44,为保证圆轴安全工作，要求轴内的最大工作切应力不超过材料的许用切应力，即：,式中的许用扭转切应力,是根据扭转试验,并考虑适当的工作安全系数确定的.,3、扭转强度条件,45,4、强度条件的应用,（1）校核强度,（2）设计截面,（3）确定载荷,46,例 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径 d2=100mm。扭转力偶矩 MA=22 kNm，MB=36 kNm，MC=14 kNm。材料的许用切应力t=80MPa，试校核该轴的强度。,解：1、求内力，作出轴的扭矩图,T图(kNm）,47,BC段,AB段,2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度,即该轴满足强度条件

11、。,T图（kNm）,48,例：某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，传递 扭矩T=1.98kNm，t=100MPa，试校核轴的强度。,解：计算截面参数：,由强度条件：,故轴的强度满足要求,故同样强度下,空心轴较实心轴合理。,若将空心轴改成实心轴，仍使,则,由上式解出：d=46.9mm。,空实心轴的面积比为：,49,1 扭转角 与剪切角,m,m,3-4等值圆杆扭转时变形、刚度条件,50,2 圆轴扭转时的变形计算,等值圆杆扭转时变形、刚度条件,51,如图所示阶梯轴。外力偶矩m10.8KNm，m22.3KNm，m31.5KNm，AB段的直径d14cm，BC段的直径d27cm。已知材

12、料的剪切弹性模量G80GPa，试计算AB和AC。,0.8kNm,1.5kNm,例题,52,图示一空心传动轴，轮1为主动轮，力偶矩m19KNm，轮2、轮3、轮4为从动轮,力偶矩分别为m24KNm，m33.5KNm，m41.5KNm。已知空心轴内外径之比d/D1/2，试设计此轴的外径D，并求出全轴两端的相对扭转角24。G80GPa，60MPa。,5kN,1.5kN,4kN,例题,53,已知钻探机杆的外径D=60mm，内径d=50mm，功率P=7.35kW，转速n=180r/min，钻杆入土深度L=40m，G=80GPa，=40MPa。设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：（1）单位长度上土壤

13、对钻杆的阻力矩m；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（3）求A、B两截面相对扭转角。,单位长度阻力矩,例题,54,一内径为d、外径为D=2d的空心圆管与一直径为d的实心圆杆结合成一组合圆轴，共同承受转矩Me。圆管与圆杆的材料不同，其切变模量分别为G1和G2，且G1=G2/2，假设两杆扭转变形时无相对转动，且均处于线弹性范围。试问两杆横截面上的最大切应力之比1/2为多大？并画出沿半径方向的切应力变化规律。,因两杆扭转变形时无相对转动,例题,55,一、扭转时的变形,相对扭转角：,GIp抗扭刚度 表示杆抵抗扭转变形能力的强弱。,刚度条件,其中：q许用扭转角，取值可根据有关设计标淮或规范确定。,扭

14、转时的变形 刚度条件,单位长度的扭转角：,或,56,试分别按实心圆轴和空心圆轴选择其直径，并比较二种截面轴之重量。,57,危险截面：AC段。,58,由此应选直径 D=11.6cm，dD25.8cm,由此应选直径,59,解：,由传动轴的尺寸计算抗扭截面模量：,轴的最大剪应力,例题2 某汽车传动轴，用45号钢无缝钢管制成，其外径D=90mm,壁厚t=2.5mm，使用时最大扭矩为Mx=1500 N.m,试校核此轴的强度。已知=60MPa。若此轴改为实心轴，并要求强度仍与原空心轴相当，则实心轴的直径 为？,60,所以此轴安全。,若此轴改为实心轴，而,式中,解得：,61,实心轴的横截面面积为,空心轴的横

15、截面面积,空心轴与实心轴的重量之比：,因此在承载能力相同的条件下，使用空心轴比较节约材料、比较经济。,62,采用空心轴可有效地减轻轴的重量，节约材料。因为,根据应力分布规律，轴心附近处的应力很小，对实心轴而言，轴心附近处的材料没有较好地发挥其作用；,从截面的几何性质分析，横截面面积相同的条件下，空心轴材料分布远离轴心，其极惯性矩Ip必大于实心轴，扭转截面系数Wp也比较大，强度和刚度均可提高；,通常所讲保持强度不变，即指最大切应力值不变；保持刚度不变，即指截面图形极惯性矩保持不变。,对于轴的强度或刚度，采用空心轴比实心轴都较为合理。,63,例题3 图示等截面圆轴，已知d=90mm,l=50cm,

16、。轴的材料为钢，G=80GPa,求（1）轴的最大剪应力；（2）截面B和截面C的扭转角；（3）若要求BC段的单位扭转角与AB段的相等，则在BC段钻孔 的孔径d应为多大？,64,（+）,（-）,扭矩图,解：,(1)轴的最大剪应力,作扭矩图：,因此,65,（2）扭转角,截面B：,66,截面C,67,（3）BC段孔径d,由,得,解得：,68,例题4 图示圆截面杆AB左端固定，承受一集度为t的均布力偶矩作用。试导出计算截面B的扭转角公式。,解：,取微段作为研究对象。,根据平衡条件求得横截面上的扭矩为：,微段两端截面的相对扭转角为,A,B,69,因此,70,例5 图示圆截面轴AC，承受扭力矩MA，MB与M

17、C 作用，试计算该轴的总扭转角AC并校核轴的刚度。已知MA180Nm，MB320 N m，MC140Nm，I3.0105mm4，l=2m，G80GPa，0.50m。,解：1扭转变形分析,AB段BC段的扭矩分别为：T1180 Nm，T2-140 Nm,设其扭转角分别为AB和BC，则：,71,各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。,由此得轴AC的总扭转角为,2 刚度校核 AB段的扭矩最大，应校核该段轴的扭转刚度。AB段的扭转角变化率为：,该轴的扭转刚度符合要求。,72,自由扭转：,非圆截面轴扭转时，横截面不再保持平面而发生翘曲。,约束扭转：,横截面可以自由翘曲。,横截面的翘曲受到限制。,横截

18、面上只有切应力而无正应力,横截面上既有切应力又有正应力,矩形截面杆的自由扭转,73,矩形截面轴扭转时切应力的分布特点,角点切应力等于零,边缘各点切应力沿切线方向,最大切应力发生在长边中点,74,分别计算两种截面杆最大切应力,圆杆：,矩形杆：,查表：0.267,分别计算两杆截面面积,圆杆：,矩形杆：,矩形截面面积与圆形面积相近，但是最大切应力却增大了近一倍，因此工程中应尽量避免使用矩形截面杆作扭转杆件。,例8 一圆形截面杆和矩形截面杆受到相同扭矩T=400Nm作用，圆杆直径d=40mm，矩形截面为60mm20mm，试比较这两种杆的最大切应力和截面面积。,75,练习题,76,例9 传动轴如图所示，

19、转速 n=500转/分钟，主动轮B输入功率NB=10KW，A、C为从动轮，输出功率分别为 NA=4KW，NC=6KW，试计算该轴的扭矩。,A,B,C,先计算外力偶矩,计算扭矩：,AB段,mA,Mn1设为正的,Mn1,77,BC段,Mn2设为正的,mc,Mn2,78,例10 5吨单梁吊车，NK=3.7kW,n=32.6r/min.试选择传动轴CD的直径，并校核其扭转刚度。轴用45号钢，=40MPa,G=80103MPa,=1/m。,79,（1）计算扭矩,轴CD各截面上的扭矩等于车轮所受的外力偶矩T轮，则,Nm,马达的功率通过传动轴传递给两个车轮，故每个车轮所消耗的功率为,80,（2）计算轴的直径

20、,选取轴的直径 d=4.5cm。,（3）校核轴的刚度,81,例11 一传动轴，已知d=45cm,n=300r/min。主动轮输入功率NA=367kW,从动轮B、C、D输出的功率NB=147kw,NC=ND=11kW。轴的材料为45号钢，G=80103MPa，=40MPa,=2/m，试校核轴的强度和刚度。,(1)计算外力偶矩,(2)画扭矩图,求最大扭矩 用截面法求得AB.AC.CD各段的扭矩分别为:,1,1,2,2,3,3,B,A,C,D,82,(3)强度校核,满足强度条件.,(4)刚度校核:,故满足刚度条件,83,第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转,第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转,84,第

21、四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转,85,第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转,86,第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转,87,第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转,88,第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转,89,第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转,90,第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转,91,第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转,92,第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转,93,第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转,94,第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转,95,第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转,96,第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转,97,第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转,98,第四章 扭转/

22、七 薄壁杆的自由扭转,99,第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转,100,第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转,101,第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转,102,第四章 扭转,六 扭转超静定问题,103,扭转超静定问题的解法：,（1）建立静力平衡方程；,（2）由变形协调条件建立变形协调方程；,（3）应用扭矩与相对扭转角之间的物理关系：，代入变形协调方程，得到补充方程；,（4）补充方程与静力平衡方程联立，求解所有的未知反力偶或扭矩。,104,例题6 一两端固定的圆截面杆AB受力偶矩作用如图。要求：1）作扭矩图；2）若m=10KN.m,材料的=60MPa，试选择此等直圆截面杆直径。,105,例题7 一组合杆由实心杆1和空心管2结合在一起所组成，杆和管的材料相同。剪切模量为G,试求组合杆承受外力偶矩m以后，杆和管内的最大剪应力，并绘出横截面上应力分布的规律。如果杆和管的材料不相同，结果又怎样？,解：,（1）静力学关系,（2）变形协调条件,106,（3）物理关系：,代入变形协调方程，得补充方程,（4）补充方程与静力平衡方程联立，解得,107,（5）最大剪应力,杆1：,管2：,