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1、第九章 压杆稳定,9.1 引言,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,9.3 中、小柔度压杆的临界应力,9.4 压杆的稳定条件,9.5 压杆的合理设计,9.6 用能量法求压杆的临界载荷,材料力学,9.1 引言,当轴向压力超过一定数值时，压杆的平衡由稳定向不稳定转变，这个载荷称为临界载荷 Fcr,F小于Fcr时，稳定平衡。,给杆件一个横向扰动，杆件仍能恢复原来的平衡状态。（轴向平衡）,F大于等于Fcr时，不稳定平衡。,杆件既能在轴线上达到平衡，又能在弯曲状态下达到平衡（F=Fcr)。给杆件一个横向扰动，杆件由轴向平衡转向弯曲状态，从而造成失稳。,稳定性结构或者物体保持或者恢复原有平衡状态
2、 的能力。,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,Imin=b3h/12(hb),一、两端球铰细长压杆的欧拉临界载荷,如图两端为球铰的细长压杆承受轴力F的作用。,假设力F已经达到临界值Fcr，且压杆处于弯曲平衡状态，现在看此时杆的挠曲线满足什么条件。,考察C点有：,因为是球铰，杆在抗弯能力最弱的纵向平面内弯曲。,即上式中的I 应取最小值Imin。如对于矩形截面梁有：,令：,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,则压杆的平衡微分方程可化为：,齐次二阶常微分方程,上式通解为：,A，B为待定常数。,由球铰的位移边界条件有：,代入通解：,方程有非零解的条件是：,即：,9.2 细长压杆的
3、欧拉(Euler)临界载荷,上式的解为：,又：,所以有：,最小值即为临界载荷：,两端球铰细长压杆的欧拉临界载荷,对应的压杆的挠曲线为：,屈曲模态Buckling mode,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,二、一端固定，一端球铰细长压杆的临界载荷,如图一端固定一端球铰的细长压杆，设在临界载荷F作用下处于微弯平衡，考察点(x,y)有：,代入挠曲线微分方程有：,令：,有：,其通解为：,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,所以有：,由位移边界条件有：,分别代入上面两式：,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,A，B，FBy有非零解的条件是：,即：,由图解法有：,代入：,
4、有：,一端固定一端球铰细长压杆的欧拉临界载荷,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,三、其它杆端约束下细长压杆的临界载荷,临界载荷的拐点确定法,如图一端固定，一端铰支的细长压杆，其拐点位于离铰支座 0.7l 处。,拐点处弯矩为零，所以可一看成长度为 0.7l 的两端球铰的情况。,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,类似的，一端自由一端固定的细长压杆的临界载荷为：,一端滑动固定一端固定的细长压杆的临界载荷为：,不同杆端约束下细长压杆的临界载荷可统一写为：,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,表示杆端约束情况，称为长度系数。,称为相当长度。,固定端-自由端,球铰-球铰,
5、滑动固定端-固定端,球铰-固定端,各种支承约束条件下等截面细长压杆临界载荷的欧拉公式,支承情况,两端铰支,一端固定另端铰支,两端固定,一端固定另端自由,失稳时挠曲线形状,临界载荷Fcr的欧拉公式,长度系数,=1,0.7,=0.5,=2,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,第九章 压杆稳定,9.1 引言,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,9.3 中、小柔度压杆的临界应力,9.4 压杆的稳定条件,9.5 压杆的合理设计,9.6 用能量法求压杆的临界载荷,材料力学,9.3 中、小柔度压杆的临界应力,由欧拉临界压力公式,可得欧拉临界应力公式:,其中A为压杆的横截面面积;i 为横截
6、面的最小惯性半径，即,如矩形截面的最小惯性半径为：,令：,则有欧拉临界应力为：,压杆的柔度或长细比,柔度是一个无量纲量，它综合反映了压杆长度，约束条件，截面形状尺寸对临界应力的影响。,柔度越大，临界应力就越小杆件越容易失稳。,欧拉临界应力公式适用于压应力小于比例极限 的场合。,9.3 中、小柔度压杆的临界应力,一般来说，压杆在不同纵向平面内具有不同的柔度值，压杆的临界应力应该按最大柔度值来计算。,即：,令：,当：,称为大柔度杆（或者细长杆）,欧拉临界应力公式适用于大柔度杆!,与材料性质有关。,对于Q235钢制成的压杆，只有柔度大于100时，才能应用欧拉临界应力公式。,9.3 中、小柔度压杆的临
7、界应力,时称为中柔度压杆或中长压杆。,此时中长压杆的临界应力超过了比例极限，因此欧拉公式不适用。一般由直线或者抛物线经验公式计算。,中长压杆的临界应力的直线经验计算公式：,适用范围：,令：,临界应力总图,中柔度杆的临界应力也可用抛物线公式计算：,9.3 中、小柔度压杆的临界应力,细长杆,中长杆,短粗杆,例1：由Q235钢制成的矩形截面压杆，两端用销钉支承。,求临界压力。,解：,先求压杆的柔度。,不同纵向面内柔度不同，在xy平面内：,9.3 中、小柔度压杆的临界应力,9.3 中、小柔度压杆的临界应力,在xz平面内：,压杆的：,所以：,大柔度压杆。,用欧拉临界应力公式,第九章 压杆稳定,9.1 引
8、言,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,9.3 中、小柔度压杆的临界应力,9.4 压杆的稳定条件,9.5 压杆的合理设计,9.6 用能量法求压杆的临界载荷,材料力学,9.4 压杆的稳定条件,一、稳定条件,或,对压杆进行稳定性计算时，一般不考虑铆钉孔或者螺栓孔对杆的局部削弱，但要校核此处的强度。,9.4 压杆的稳定条件,二、折减系数法,折减系数同时取决于材料性质和压杆的柔度（参考图9.11)。,根据折减系数法，压杆的稳定条件可写为：,稳定计算的三类问题,1.稳定校核,2.选择截面,3.确定许用载荷,9.4 压杆的稳定条件,例2 如图所示立柱，下端固定，上端受轴向压力F=200KN。立柱
9、用工字钢制成，柱长l=2m,材料为Q235钢,许用应力。在立柱中点横截面C处，因构造需要开一直径为d=70mm的圆孔。试选择工字钢号。,解：因为为受压立柱，应同时考虑立柱的强度和稳定性,根据稳定性条件有：,折减系数和截面面积（柔度）有关，而面积未知，因此需要进行试算。,（1）取,则有：,9.4 压杆的稳定条件,所以立柱的稳定许用应力为：,工作应力大于稳定许用应力很多，因此需要调整折减系数。,9.4 压杆的稳定条件,则有：,查表选No22a号钢：,则立柱的柔度为：,仍需调整折减系数。,9.4 压杆的稳定条件,（3）取 值位于 之间：,则：,选No25a钢,则有：,查表：,所以有：,但超过量小于5
10、%，所以可以选用No.25a工字钢。,9.4 压杆的稳定条件,（4）强度校核,对于No25a工字钢，腹板厚度：,则截面C的净面积：,截面应力：,所以强度条件也满足。,9.4 压杆的稳定条件,例3 如图所示的简易吊车，最大起吊重量G=50KN，CD为空心杆，其内外径分别为d=6cm,D=8cm,材料为Q235钢，其，,E=200Gpa,稳定安全系数，试校核CD压杆的稳定性。,解：,CD压杆为两端铰支压杆，空心圆杆的惯性半径为,杆长,中柔度杆，故采用直线型公式：,（但大于）,9.4 压杆的稳定条件,则临界压力为：,CD杆的工作压力由静力平衡方程求出：,由稳定条件有：,CD压杆的稳定性不够。,9.4
11、 压杆的稳定条件,例4 已知一端固定，一端球铰的圆截面压杆的最大工作压力为4kN,其长度l=1.25m，规定的，材料的，E=210Gpa,试确定其截面直径d。,解,由于压杆的直径未定，所以不能求其柔度。,先假定此压杆为大柔度压杆，又长度系数0.7,则用欧拉公式计算有：,又由稳定性条件有：,所以截面直径：,9.4 压杆的稳定条件,得到截面直径 d 后，可计算压杆的柔度，即：,又：,故原假设为大柔度压杆是正确的，压杆的直径应取d=21mm。,9.4 压杆的稳定条件,9.4 压杆的稳定条件,解：1.确定组合截面形心和形心主惯性轴,图c所示组合截面的形心离角钢短肢的距离显然就是 y035.7 mm，并
12、落在对称轴y轴上。根据y轴为对称轴可知，图c中所示通过组合截面形心的y轴和z轴就是该组合截面的形心主惯性轴。,2.计算组合截面的形心主惯性矩,9.4 压杆的稳定条件,可见，在组合截面对于所有形心轴的惯性矩中，Imax=Iz，Imin=Iy,按通常的说法就是z 轴为强轴，而y轴为弱轴。,3.计算压杆的柔度,此压杆两端为球形铰支座，在各个纵向平面内对杆端的约束相同，故失稳时横截面将绕弱轴 y 轴转动。压杆的柔度应据此计算。,9.4 压杆的稳定条件,4.计算压杆的稳定许用应力,由图9.11查得l97时j0.575，从而得,9.4 压杆的稳定条件,压杆稳定性计算步骤,a、计算、与:,b、由压杆类型算,
13、，大柔度杆，,，中柔度杆，根据有关经验 公式计算。,c、由稳定性条件进行稳定校核或确定许用载荷：,d、设计截面，这一类稳定性计算一般用折减系数法通过试算 来实现。,第九章 压杆稳定,9.1 引言,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,9.3 中、小柔度压杆的临界应力,9.4 压杆的稳定条件,9.5 压杆的合理设计,9.6 用能量法求压杆的临界载荷,材料力学,9.5 压杆的合理设计,影响压杆稳定性的因素有截面形状，压杆长度，约束条件及材料性质等。,要提高压杆稳定性，也要从这几方面着手。,一、合理选择材料,细长压杆,临界力只与弹性模量有关。由于各种钢材的E值大致相等，所以选用高强度钢或低碳
14、钢并无差别。,中柔度杆,临界应力与材料的强度有关，选用高强度钢在一定程度上可以提高压杆的稳定性。,9.5 压杆的合理设计,二、合理选择截面,柔度越小，临界应力越大。,在面积不变的情况下，应该选择惯性矩比较大的截面。,如空心杆等。,同时要考虑失稳的方向性，尽量做到各个可能失稳方向的柔度大致相等。,如压杆两端为销铰支承，由于两个方向的 不同，则应该选择 的截面，使得两个方向上的柔度大致相等，即：,增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）,9.5 压杆的合理设计,三、改变压杆的约束条件,9.5 压杆的合理设计,细长压杆的临界压力与相当长度的二次方成反比，所以增强对压杆的约束可极大的提高其临界压力。,如
15、采用稳定性比较好的约束方式，或者在压杆中间增添支座，都可以有效的提高压杆的稳定性。,9.5 压杆的合理设计,例6 厂房的钢柱由两根槽钢组成，并由缀板和缀条联结成整体，承受轴向压力F=270 kN。根据杆端约束情况，该钢柱的长度系数取为m1.3。钢柱长7 m，材料为Q235钢，强度许用应力s=170 MPa。该柱属于b类截面中心压杆。由于杆端连接的需要，其同一横截面上有4个直径为d0=30 mm的螺钉孔。试为该钢柱选择槽钢型号。,9.5 压杆的合理设计,解：1.按稳定条件选择槽钢号码,为保证此槽钢组合截面压杆在xz平面内和xy平面内具有同样的稳定性，应根据ly=lz确定两槽钢的合理间距h。现先按
16、压杆在xy平面内的稳定条件通过试算选择槽钢号码。,假设j0.50，得到压杆的稳定许用应力为,因而按稳定条件算得每根槽钢所需横截面面积为,9.5 压杆的合理设计,由型钢表查得，14a号槽钢的横截面面积为 A=18.51 cm218.5110-4 m2，而它对z轴的惯性半径为iz=5.52 cm=55.2 mm。,下面来检查采用两根14a号槽钢的组合截面柱其稳定因数j 是否不小于假设的j 0.5。,注意到此组合截面对于z 轴的惯性矩 Iz 和面积 A 都是单根槽钢的两倍，故组合截面的iz 值就等于单根槽钢的iz 值。于是有该组合截面压杆的柔度：,9.5 压杆的合理设计,由图9.11查得，Q235钢
17、压杆相应的稳定因数为j0.262。显然，前面假设的j0.5这个值过大，需重新假设j 值再来试算；重新假设的j 值大致上取以前面假设的j0.5和所得的j0.262的平均值为基础稍偏于所得j 的值。,重新假设j0.35，于是有,9.5 压杆的合理设计,试选16号槽钢，其 A=25.1510-4 m2，iz=61 mm，从而有组合截面压杆的柔度：,由表9-3得j=0.311，它略小于假设的j0.35。现按采用2根16号槽钢的组合截面柱而j0.311进行稳定性校核。此时稳定许用应力为,按横截面毛面积(不计螺孔)算得的工作应力为,9.5 压杆的合理设计,虽然工作应力超过了稳定许用应力，但仅超过1.5，这
18、是允许的。,2.计算钢柱两槽钢的合理间距,由于认为此钢柱的杆端约束在各纵向平面内相同，故要求组合截面的柔度ly=lz。根据 可知，也就是要求组合截面的惯性矩Iy=Iz。,9.5 压杆的合理设计,如果z0，Iy0，Iz0，A0分别代表单根槽钢的形心位置和自身的形心主惯性矩以及横截面面积则IyIz的条件可表达为,亦即,消去公因子2A0后有,在选用16号槽钢的情况下，上式为,9.5 压杆的合理设计,由此求得 h81.4 mm。实际采用的间距h不应小于此值。,3.按钢柱的净横截面积校核强度,钢柱的净横截面积为,按净面积算得的用于强度计算的工作应力为,它小于强度许用应力s=170 MPa，满足强度条件。
19、,第九章 压杆稳定,9.1 引言,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,9.3 中、小柔度压杆的临界应力,9.4 压杆的稳定条件,9.5 压杆的合理设计,9.6 用能量法求压杆的临界载荷,材料力学,9.6 用能量法求压杆的临界载荷,前面对几种典型情况的欧拉临界压力公式，是用求解压杆微弯时的挠曲线平衡方程的方法求压杆的临界载荷。但对于比较复杂的载荷，支承方式或截面变化，采用能量法比较简洁。,能量法的基本思路：,1、在临界载荷作用下，压杆可在微弯状态平衡。,2、压力沿轴线方向所做的功转化为压杆微弯状态下的应变能。,3、假设出符合位移边界条件的挠曲线方程，则根据第2条，可以求出临界载荷的大小
20、。,9.6 用能量法求压杆的临界载荷,如图所示压杆，假设在临界载荷作用下达到微弯平衡状态，,临界压力在轴向位移上所做的功等于压杆微弯状态下的应变能即：,B点的轴向位移：,其中：,所以：,9.6 用能量法求压杆的临界载荷,又：,由以上两式有：,所以挠曲线确定后，就可以知道临界压力的大小。挠曲线一般可以采用满足位移边界条件的近似曲线代替。,9.6 用能量法求压杆的临界载荷,例 用能量法求两端球铰的压杆的临界压力。,解：,设压杆微弯曲时的挠曲线方程为：,该挠曲线满足位移边界条件：,则任一截面上的弯矩为：,由：,有：,9.6 用能量法求压杆的临界载荷,所以有：,如果根据式,则有：,精确解：,9.6 用能量法求压杆的临界载荷,因为挠曲线只是近似曲线，如果对它求两次导数，会引起数值上更大的偏差。,9.6 用能量法求压杆的临界载荷,例 如图细长杆，一端固定，另一端自由，承受集度为q的轴向均布载荷作用。试用能量法确定载荷q的临界值qcr。,其中 为压杆自由端的挠度。,解法一：,压杆微弯时，横截面x的轴向位移为：,均布载荷所做的功：,9.6 用能量法求压杆的临界载荷,又,精确解：,与精确解相差6%,9.6 用能量法求压杆的临界载荷,解法二：,取如图两套坐标系，,则有x截面上的弯矩为：,又 截面上的挠度为，,代入上式有，,则有：,跟精确值相差,
