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1、第九章 压杆稳定,9.1 引言,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,9.3 中、小柔度压杆的临界应力,9.4 压杆的稳定条件,9.5 压杆的合理设计,9.6 用能量法求压杆的临界载荷,材料力学,各种支承约束条件下等截面细长压杆临界载荷的欧拉公式,支承情况,两端铰支,一端固定另端铰支,两端固定,一端固定另端自由,失稳时挠曲线形状,临界载荷Fcr的欧拉公式,长度系数,=1,0.7,=0.5,=2,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,临界应力总图,中柔度杆的临界应力也可用抛物线公式计算：,9.3 中、小柔度压杆的临界应力,细长杆,中长杆,短粗杆,9.4 压杆的稳定条件,一、稳定条
2、件,或,对压杆进行稳定性计算时，一般不考虑铆钉孔或者螺栓孔对杆的局部削弱，但要校核此处的强度。,9.4 压杆的稳定条件,二、折减系数法,折减系数同时取决于材料性质和压杆的柔度（参考图9.11)。,根据折减系数法，压杆的稳定条件可写为：,稳定计算的三类问题,1.稳定校核,2.选择截面,3.确定许用载荷,9.4 压杆的稳定条件,压杆稳定性计算步骤,a、计算、与:,b、由压杆类型算,，大柔度杆，,，中柔度杆，根据有关经验 公式计算。,c、由稳定性条件进行稳定校核或确定许用载荷：,d、设计截面，这一类稳定性计算一般用折减系数法通过试算 来实现。,9.5 压杆的合理设计,影响压杆稳定性的因素有截面形状，
3、压杆长度，约束条件及材料性质等。,要提高压杆稳定性，也要从这几方面着手。,一、合理选择材料,细长压杆,临界力只与弹性模量有关。由于各种钢材的E值大致相等，所以选用高强度钢或低碳钢并无差别。,中柔度杆,临界应力与材料的强度有关，选用高强度钢在一定程度上可以提高压杆的稳定性。,9.5 压杆的合理设计,二、合理选择截面,柔度越小，临界应力越大。,在面积不变的情况下，应该选择惯性矩比较大的截面。,如空心杆等。,同时要考虑失稳的方向性，尽量做到各个可能失稳方向的柔度大致相等。,如压杆两端为销铰支承，由于两个方向的 不同，则应该选择 的截面，使得两个方向上的柔度大致相等，即：,增大截面惯性矩 I（合理选择
4、截面形状）,9.5 压杆的合理设计,三、改变压杆的约束条件,9.5 压杆的合理设计,细长压杆的临界压力与相当长度的二次方成反比，所以增强对压杆的约束可极大的提高其临界压力。,如采用稳定性比较好的约束方式，或者在压杆中间增添支座，都可以有效的提高压杆的稳定性。,9.5 压杆的合理设计,例6 厂房的钢柱由两根槽钢组成，并由缀板和缀条联结成整体，承受轴向压力F=270 kN。根据杆端约束情况，该钢柱的长度系数取为m1.3。钢柱长7 m，材料为Q235钢，强度许用应力s=170 MPa。该柱属于b类截面中心压杆。由于杆端连接的需要，其同一横截面上有4个直径为d0=30 mm的螺钉孔。试为该钢柱选择槽钢
5、型号。,9.5 压杆的合理设计,解：1.按稳定条件选择槽钢号码,为保证此槽钢组合截面压杆在xz平面内和xy平面内具有同样的稳定性，应根据ly=lz确定两槽钢的合理间距h。现先按压杆在xy平面内的稳定条件通过试算选择槽钢号码。,假设j0.50，得到压杆的稳定许用应力为,因而按稳定条件算得每根槽钢所需横截面面积为,9.5 压杆的合理设计,由型钢表查得，14a号槽钢的横截面面积为 A=18.51 cm218.5110-4 m2，而它对z轴的惯性半径为iz=5.52 cm=55.2 mm。,下面来检查采用两根14a号槽钢的组合截面柱其稳定因数j 是否不小于假设的j 0.5。,注意到此组合截面对于z 轴
6、的惯性矩 Iz 和面积 A 都是单根槽钢的两倍，故组合截面的iz 值就等于单根槽钢的iz 值。于是有该组合截面压杆的柔度：,9.5 压杆的合理设计,由图9.11查得，Q235钢压杆相应的稳定因数为j0.262。显然，前面假设的j0.5这个值过大，需重新假设j 值再来试算；重新假设的j 值大致上取以前面假设的j0.5和所得的j0.262的平均值为基础稍偏于所得j 的值。,重新假设j0.35，于是有,9.5 压杆的合理设计,试选16号槽钢，其 A=25.1510-4 m2，iz=61 mm，从而有组合截面压杆的柔度：,由图9.11得j=0.311，它略小于假设的j0.35。现按采用2根16号槽钢的
7、组合截面柱而j0.311进行稳定性校核。此时稳定许用应力为,按横截面毛面积(不计螺孔)算得的工作应力为,9.5 压杆的合理设计,虽然工作应力超过了稳定许用应力，但仅超过1.5，这是允许的。,2.计算钢柱两槽钢的合理间距,由于认为此钢柱的杆端约束在各纵向平面内相同，故要求组合截面的柔度ly=lz。根据 可知，也就是要求组合截面的惯性矩Iy=Iz。,9.5 压杆的合理设计,如果z0，Iy0，Iz0，A0分别代表单根槽钢的形心位置和自身的形心主惯性矩以及横截面面积则IyIz的条件可表达为,亦即,消去公因子2A0后有,在选用16号槽钢的情况下，上式为,9.5 压杆的合理设计,由此求得 h81.4 mm
8、。实际采用的间距h不应小于此值。,3.按钢柱的净横截面积校核强度,钢柱的净横截面积为,按净面积算得的用于强度计算的工作应力为,它小于强度许用应力s=170 MPa，满足强度条件。,第九章 压杆稳定,9.1 引言,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,9.3 中、小柔度压杆的临界应力,9.4 压杆的稳定条件,9.5 压杆的合理设计,9.6 用能量法求压杆的临界载荷,材料力学,9.6 用能量法求压杆的临界载荷,前面对几种典型情况的欧拉临界压力公式，是用求解压杆微弯时的挠曲线平衡方程的方法求压杆的临界载荷。但对于比较复杂的载荷，支承方式或截面变化，采用能量法比较简洁。,能量法的基本思路：,1
9、、在临界载荷作用下，压杆可在微弯状态平衡。,2、压力沿轴线方向所做的功转化为压杆微弯状态下的应变能。,3、假设出符合位移边界条件的挠曲线方程，则根据第2条，可以求出临界载荷的大小。,9.6 用能量法求压杆的临界载荷,如图所示压杆，假设在临界载荷作用下达到微弯平衡状态，,临界压力在轴向位移上所做的功等于压杆微弯状态下的应变能即：,B点的轴向位移：,其中：,所以：,9.6 用能量法求压杆的临界载荷,又：,由以上两式有：,所以挠曲线确定后，就可以知道临界压力的大小。挠曲线一般可以采用满足位移边界条件的近似曲线代替。,9.6 用能量法求压杆的临界载荷,例 用能量法求两端球铰的压杆的临界压力。,解：,设
10、压杆微弯曲时的挠曲线方程为：,该挠曲线满足位移边界条件：,则任一截面上的弯矩为：,由：,有：,9.6 用能量法求压杆的临界载荷,所以有：,如果根据式,则有：,精确解：,9.6 用能量法求压杆的临界载荷,因为挠曲线只是近似曲线，如果对它求两次导数，会引起数值上更大的偏差。,9.6 用能量法求压杆的临界载荷,例 如图细长杆，一端固定，另一端自由，承受集度为q的轴向均布载荷作用。试用能量法确定载荷q的临界值qcr。,其中 为压杆自由端的挠度。,解法一：,压杆微弯时，横截面x的轴向位移为：,均布载荷所做的功：,9.6 用能量法求压杆的临界载荷,又,精确解：,与精确解相差6%,9.6 用能量法求压杆的临
11、界载荷,解法二：,取如图两套坐标系，,则有x截面上的弯矩为：,又 截面上的挠度为，,代入上式有，,则有：,跟精确值相差,第九章 压杆稳定,材料力学,欧拉临界应力,稳定条件,或,折减系数法,欧拉临界载荷,第八章 能量法,一、杆件的应变能,二、应变能普遍表达式(克拉贝隆原理),三、卡氏定理,能量法,四、互等定理,五、虚功原理 单位力法 图乘法,六、超静定问题 力法,七、冲击应力,求解弹性体系(如杆件)的变形可采用的方法：,1、分析法/解析法,平衡方程静力平衡关系几何方程变形几何关系物理方程应力应变关系,利用应变能的概念，解决与弹性体系变形有关的问题的 方法。在求解组合变形、曲杆或杆系以及超静定问题
12、时，能量 法是一种非常有效的方法，是结构分析的基础。,能量法/基本概念,2、能量法,能量法有关的几个基本概念,3、能量守恒：忽略缓慢加载过程中动能和其它形式的能量损 失，杆件能量守恒，即杆内所储存的应变能U 在数值上与外力所作的功 W 相等。功能原理 UW,1、外力功:线弹性体系在外力的作用下产生变形，每个外力 在与它相对应的位移上所作的功 W。,2、应变能:弹性体受外力作用下产生变形而储存了能量，这个 被储存的能量即为应变能或变形能 U。,能量法/基本概念,一、杆件产生基本变形时的应变能,1、轴向拉伸或压缩,F,L,L,O,B,L,F,A,能量法/杆件的应变能,式中 轴力，A 横截面面积,由
13、拉压杆件组成的杆系的应变能：,能量法/杆件的应变能,取微段研究：,微段的应变能：,整个杆件的拉压应变能,受力复杂杆(轴力沿杆的轴线变化)的应变能,q,L,dx,x,能量法/杆件的应变能,2、圆截面杆的扭转,m,L,m,O,B,m,A,圆截面杆的应变能,式中 T 圆杆横截面上的扭矩；圆杆横截面对圆心的极惯性矩。,能量法/杆件的应变能,受力复杂的圆截面杆(扭矩沿杆的轴线为变量),整个杆的扭转应变能为,可取微段分析：,能量法/杆件的应变能,3、平面弯曲,纯弯曲梁的应变能：,式中 M 梁横截面上的弯矩；I 梁横截面对中性轴的惯性矩,能量法/杆件的应变能,横力弯曲梁(弯矩沿梁的轴线为变量)的应变能,整梁
14、的弯曲应变能,按微段分析：,和拉压、扭转应变能比较,能量法/杆件的应变能,4、剪切,纯剪切时微段梁的应变能：,FS,dx,FS,由于切应力在截面上并非均匀分布。引入系数k,因此微段梁的应变能为：,能量法/杆件的应变能,整个梁的剪切应变能：,式中,(b为截面的宽度，S为截面对中性轴的静矩),(2)一般实心截面的细长梁:剪切应变能远小于其弯曲应变能，通常忽略不计。,(1)k 由截面的几何形状决定:矩形截面:k=1.2,圆截面:k=10/9,圆环形截面:k=2,能量法/杆件的应变能,例：矩形截面悬臂梁，长L，截面高h，宽b，k=1.2。,细长梁,整个梁的弯曲应变能：,细长梁的剪切应变能远小于弯曲应变
15、能，可忽略不计！,整个梁的剪切应变能：,得,解：,二、应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理),F,基本变形下应变能的一般表达式：,式中F广义力(力或力偶)；广义位移(线位移或角位移)且 F=C(力与位移成线性关系),表明：弹性体的应变能是一个状态量，仅决定于外力和位移的最终值，与加载的过程无关。,能量法/克拉贝隆原理,应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理)的导出,能量法/克拉贝隆原理,证明：,即外力增加的过程为：,若材料是线弹性的，则对应的位移也以的比例增加，相应的位移为：,式中：01(从0线性增加到1),能量法/克拉贝隆原理,如果增加d，则位移的相应增量为：,则外力,在以上位移增量上所作的功为（略去
16、高阶微量）：,积分得,此式称为克拉贝隆原理。,能量法/克拉贝隆原理,特别注意点：,广义力，可以是一个力，也可以是一个力偶，或者是一对力，或者是一对力偶。,在所有力共同作用下(因 与全部作用力有关)，与广义力 相对应的沿着力的方向的广义位移。力沿力矢方向的线位移 力偶力偶转向的角位移 一对力该对力两作用点沿力矢方向的相对线位移 一对力偶该对力偶两作用截面间沿力偶转向的相对角位移,能量法/克拉贝隆原理,力：F，位移：,力：m，位移：,例子,力：F，位移：,力：m，位移：,能量法/克拉贝隆原理,关于应变能计算的讨论,以上计算公式仅适用于线弹性材料在小变形下的应变形能的计算。,应变能可以通过外力功计算
17、，也可以通过杆件微段上的内力功等于微段的应变能，然后积分求得整个杆件上的应变能。,3 应变能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理 在应变能计算中不能使用。只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不做功时，才可应用。例如：,能量法/克拉贝隆原理,4 应变能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆系结构中，各杆可独立选取坐标系。,能量法/克拉贝隆原理,M(x)只产生弯曲转角,FN(x)只产生轴向线位移,T(x)只产生扭转角,不计FS 产生的应变能,例1 试计算图示吊车架的应变能，并应用它求节点A的 竖直位移。已知E=200GPa,F=57.6kN。斜杆AB由两根 50505mm等边角钢组成，每
18、根角钢的横截面面积，横杆AC由两根No.10槽钢组成，每根槽钢的横截面面积。设各杆自重可以不计。,能量法/克拉贝隆原理,解:,由节点A的平衡条件求得AB杆的内力：,AC杆的内力为：,杆系的应变能：,设节点A的竖直位移为，则由 得：,能量法/克拉贝隆原理,例2 图示等截面悬臂梁，E,A,I 已知。在自由端受集中力F 和集中力偶m 作用。设材料是线弹性的，试计算梁的应变能。考虑两种不同的加载次序，略去剪力的影响。,解：(1)集中力F和集中力偶m同时由零开始按比例逐渐增加至最终值。,梁自由端的转角为：,(方向与m一致),自由端的垂直位移为：,梁的应变能,能量法/克拉贝隆原理,(2)先作用F,加载时做功为：,再加力偶矩m，外力所作的功为：,梁的总应变能：,从这两种不同的加载次序来看，梁的应变能仅与载荷的始态和终态有关，而与加载次序无关。,能量法/克拉贝隆原理,(3)AB 梁的应变能也可通过截面上的内力来计算。,代入应变能的内力表达式：,弯矩方程：,能量法/克拉贝隆原理,从结果中可以看到：第一、三项分别为F和m单独作用时的应变能，故F、m同时作用在杆内所引起的应变能不等于各载荷单独作用时所引起的应变能之和。其原因是这两个载荷都使梁产生了同一种弯曲变形，彼此都在对方引起的位移上做了功（结果中的第二项即代表F和m共同作用时在相互影响下所做的功）。,能量法/克拉贝隆原理,
